专题6 提升点13 函数中的同构问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　函数中的同构问题 求解与函数性质、比较大小等有关的问题时，常用的求解策略是构造一个新函数，通过研究新函数的性质解决与原函数相关的问题，此方法称为构造函数法． 类型一　地位同等同构型 　(1)(2025·泰安一模)若2＋log5a＝16b＋2log25(7b)，则(　　) A．a＜b8 B．a＞b8 C．a＞8b D．a＜8b (2)若对任意x1，x2∈[－2，0)，x1<x2，<a恒成立，则a的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 【解析】　(1)由题意可得a，b＞0，则16b＋2log25(7b)＝24b＋log5(7b)＜24b＋log5(8b)，即2＋log5a＜24b＋log5(8b)， 令f(x)＝2x＋log52x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f()＝2＋log5a，f(4b)＝24b＋log5(8b)， 即f()＜f(4b)，故＜4b，即a＜8b. (2)因为x1<x2，所以x1－x2<0，则<a可化为x2ex1－x1ex2>a(x1－x2)，整理得x2ex1＋ax2>x1ex2＋ax1，因为x1x2>0，所以＋>＋，令f(x)＝＋，则函数f(x)在[－2，0)上单调递减，则f′(x)＝≤0在[－2，0)上恒成立，所以ex(x－1)≤a在[－2，0)上恒成立，令g(x)＝ex(x－1)，则g′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex<0在[－2，0)上恒成立，则g(x)＝ex(x－1)在[－2，0)上单调递减，所以g(x)≤g(－2)＝－，故只需满足a≥－. 【答案】　(1)D　(2)A 【解题技法】　地位同等同构策略 对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有一致的结构，往往构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有： 原式 转化 构造函数 >k(x2>x1) f(x1)－f(x2) <kx1－kx2 构造y＝f(x)－kx，为增函数 <(x2>x1) f(x1)－f(x2) > 构造y＝f(x)＋，为减函数 　1.已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x－ln x>y－ln y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设f(t)＝t－ln t，t>0，则f′(t)＝1－＝，由f′(t)>0得t>1；由f′(t)<0得0<t<1.所以f(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以当x>y>1时，f(x)>f(y)，即x－ln x>y－ln y成立，故充分性成立．但x－ln x>y－ln y成立时，可能有x＝，y＝1，此时x<y，故必要性不成立．综上，“x>y>1”是“x－ln x>y－ln y”的充分不必要条件． 2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：选D.令f(x)＝(x＞0)， 则f′(x)＝， 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． a＝＝＝f(e2)，b＝＝＝＝f(4)， c＝＝＝f(e)，因为e＜4＜e2， 所以f(e2)＜f(4)＜f(e)，即a＜b＜c. 类型二　还原同构型 　(1)(2025·长春质量监测)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，满足xf′(x)－2f(x)＜0，且f(2)＝4，则不等式f(2x)－4x＞0的解集是(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) (2)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有f(x)＞f′(x)·tan x成立，则(　　) A．f()＞f() B．f(1)＞2f()sin 1 C．f()＜f() D．f()＜f() 【解析】　(1)令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝，因为xf′(x)－2f(x)＜0(x＞0)，所以g′(x)＝＜0(x＞0)，则g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．因为f(2)＝4，所以g(2)＝＝1.由f(2x)－4x>0，得f(2x)>4x，即＝＞1，即g(2x)＞g(2)，所以0＜2x＜2，解得x＜1. (2)因为x∈(0，)，所以sin x＞0，cos x＞0.由f(x)＞f′(x)tan x，得f(x)cos x－f′(x)sin x＞0. 设F(x)＝，x∈(0，)， 则F′(x)＝＜0，所以F(x)在区间(0，)上单调递减，所以F()＞F()， 即f()＞f()，A正确；同理B，C，D错误． 【答案】　(1)D　(2)A 【解题技法】　 常见类型 构造函数 利用ex进行构造　 (1)对于不等式f′(x)＋f(x)>(<)0，构造函数F(x)＝exf(x)； (2)对于不等式f′(x)－f(x)>(<)0，构造函数F(x)＝ 利用x进行构造　 (1)对于不等式xf′(x)＋f(x)>(<)0，构造函数F(x)＝xf(x)； (2)对于不等式xf′(x)－f(x)>(<)0，x≠0，构造函数F(x)＝ 利用enx进行构造　 (1)对于不等式f′(x)＋nf(x)>(<)0，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)对于不等式f′(x)－nf(x)>(<)0，构造函数F(x)＝ 正弦型 (1)对于不等式sinx·f′(x)＋cos x·f(x)>(<)0，构造函数F(x)＝sin x·f(x)； (2)对于不等式sin x·f′(x)－cos x·f(x)>(<)0，sin x≠0，构造函数F(x)＝　 余弦型 (1)对于不等式cos x·f′(x)－sin x·f(x)>(<)0，构造函数F(x)＝f(x)·cos x； (2)对于不等式cos x·f′(x)＋sin x·f(x)>(<)0，cos x≠0，构造函数F(x)＝ 　1.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数．若f(1)＝e，且f′(x)＋ex<f(x)在R上恒成立，则不等式f(x)<(2－x)ex的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：选D.由f(x)<(2－x)ex， 可得f(x)＋xex<2ex， 即＋x<2＝＋1. 设函数g(x)＝＋x，可得g(x)<g(1). g′(x)＝＋1 ＝<0， 所以函数g(x)在R上单调递减， 由g(x)<g(1)，解得x>1. 即不等式f(x)<(2－x)ex的解集为(1，＋∞). 2．设f(x)的导函数为f′(x)，xf′(x)＋f(x)＝(x＞0)，且f(1)＝0，则f(2)，f(3)，f(5)的大小关系是________________． (按从小到大的顺序排列) 解析：因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＝， 所以xf(x)＝ln (ax)＋c，即f(x)＝. 所以f(1)＝ln a＋c＝0，a＝e－c，故f(x)＝， 又因为f′(x)＝， 当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0， 即f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减． 因为f(2)＝＝＝f(4)，且e＜3＜4＜5， 所以f(5)＜f(4)＝f(2)＜f(3). 答案：f(5)＜f(2)＜f(3) 类型三　指对跨阶同构型 　设实数λ＞0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式eλx－≥0恒成立，则λ的最小值为________． 【解析】　方法一(同“左”同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x⇔λxeλx≥eln xln x. 令f(x)＝xex，上述不等式可等价转化为f(λx)≥f(ln x).当x∈(1，＋∞)时，λx>0，ln x>0，f′(x)＝(1＋x)ex>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以λx≥ln x；当x∈(0，1]时，λxeλx>0，eln x ln x≤0，恒有λxeλx＞eln xln x，此时也满足λx>ln x. 所以当x>0，λ>0，f(λx)≥f(ln x)时，恒有λx≥ln x，所以λ≥. 令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝， 当x∈(0，e)时，h′(x)>0， 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0， 所以h(x)在(0，e)上单调递增， 在(e，＋∞)上单调递减， 则h(x)max＝h(e)＝， 所以λ≥，λ的最小值为. 方法二(同“右”同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x⇔ln (eλx)·eλx≥x ln x.令g(x)＝x ln x(x>0)，上述不等式可等价转化为g(eλx)≥g(x)，易知g(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减．因为x＞0，λ＞0，所以eλx＞1. 当x∈(1，＋∞)时，由g(eλx)≥g(x)，知eλx≥x； 当x∈(0，1]时，ln (eλx)·eλx>0，x ln x≤0，恒有ln (eλx)·eλx>x ln x，此时也满足eλx＞x. 所以当x＞0，λ＞0，g(eλx)≥g(x)时，恒有eλx≥x， 所以λx≥ln x，所以λ≥. 下同方法一． 方法三(取对数同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0)⇔λxeλx－x ln x≥0⇔λxeλx≥x ln x，若x∈(0，1]，恒有λx＞0≥ln x．若x∈(1，＋∞)，有λxeλx≥x ln x⇔ln (λx)＋λx≥ln x＋ln (ln x)，令φ(x)＝x＋ln x，x>0，上述不等式可等价转化为φ(λx)≥φ(ln x)，易知φ(x)在(0，＋∞)上是增函数，则λx≥ln x．所以当x＞0，λ＞0，总有λx≥ln x，所以λ≥.下同方法一． 【答案】　 【解题技法】　指对跨阶同构策略 主要针对单变量，同左同右取对数： 原式 转化 构造函数 积型：aea≤b ln b 同左：aea≤(ln b)eln b 构造f(x)＝xex 同右：ea ln ea≤b ln b 构造f(x)＝x ln x 取对数：a＋ln a≤ln b＋ln (ln b) 构造f(x)＝x＋ln x 商型：< 同左：< 构造f(x)＝(x≠0) 同右：< 构造f(x)＝(x≠1) 取对数：a－ln a<ln b－ln (ln b) 构造f(x)＝x－ln x 和差：ea±a>b±ln b 同左：ea±a> eln b±ln b 构造f(x)＝ex±x 同右：ea±ln ea>b±ln b 构造f(x)＝x±ln x 　已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是(　　) A．x＞y B．x＞ln y C．x＜y D．x＜ln y 解析：选B.方法一：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－x＞eln y－ln y．令f(x)＝ex－x，则不等式ex－x＞eln y－ln y，等价于f(x)＞f(ln y).因为f′(x)＝ex－1，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，又x>0，由f(x)＞f(ln y)，得x＞ln y；若y∈(0，1]，则ln y≤0，由x＞0，得x＞ln y.综上所述，x＞ln y. 方法二：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y. 令g(x)＝x－ln x(x>0)，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g(ex)＞g(y)，因为g′(x)＝，所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，因为x＞0，所以ex＞1. 若y∈(1，＋∞)，由g(ex)＞g(y)，有ex＞y； 若y∈(0，1]，恒有ex＞y. 综上所述，ex＞y，即x＞ln y． 学科网（北京）股份有限公司 $