2026年广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校初中部九年级阶段自测 数学试卷

北京师范大学南山附属学校初中部 2025-2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷 【时间：90分钟总分：100分】 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的) 1.如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是( A.0.5 B.-0.5 C.-1.5 D.-2.5 2.武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中，可以近似看成轴对称图形的是() 大米大方 3.通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s, 比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000074”用科学记数法表示为( A.0.74×104 B.7.4×104 C.7.4×103 D.74×10-6 4.下列运算正确的是（) A.(-2a2=-4a B.3+2=5m2 c.(2-a}=a2+4-4a D.(21-n)(2+m)=4m2+n 5.如图，平行四边形ABCD,根据尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是() A.∠DAE=∠BAE B.2∠DEA=∠DAB C.BC=DE D.DE=BE (第5题) (第6题) 6.如图，在水平桌面上的两个E均垂直于桌面，，P,O在一条直线上.若b=2.8cm,b=2.1cn,①号 1 E的测试距离=6m,则②号E的测试距离马为() A.4.5cm B.4.5m C.I 7m D.3m 7.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月 产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列 出的方程为( A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)=9100 C.2500(1-2x)}2=9100 D.2500(1+2x)/=9100 8.如图①，在口ABCD中，AC是对角线，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D匀速运动至点D停 止.若点P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为x(s),△ADP的面积为y(cm),y与x的函数图 象如图②所示.当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为() A.2cm B.2v3cm c.(2W3-2cm D.4cm ◆/cm 2V3 8 图① 图② 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 一.若分式号有意义，则实数x的取值花围是 10.某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距 水面120的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A,B之间的距离是 m. （tan22°取0.4) 22A5 水面 (第10题) (第11题) (第12题) (第13题) 11.黄金矩形的宽与长之比为黄金分制比，即矩形的短边为长边的5-1倍。如图，用黄金矩形ABCD框住 2 整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE,得到黄金矩形CDEF,再作正方形DEGH,得到黄金矩形CFGH·, 2 这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋，已知AB=√5+1， 则阴影部分的面积为 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC,OA分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上， 反比例函数y=上的图象与AB相交于点P,与BC相交于点B,若点B的坐标为(3,2)，四边形BBOF的面 积是4，则k的值为 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tm∠CAB=)CD平分∠ACB,B为DC延长线上一点，且 ∠CEA=∠CBE,那么 CD 的值为 DE 三、解答题（本题共7小题，共61分） 4.计算：卜3+27+ 2sin30°. 3x+2>2(x-1)① 15. 解不等式组 x+2_2x-1≥1②' 并求出它的所有整数解之和. 2 3 16. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动.为了解全校学生 对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调 查结果制成如下统计图（不完整）、结合调查信息，回答下列问题： +人数 科技 30---- 劳技类 20 20----- 体育类 阅读类 30% 10 10 艺术类 0 25% 科技类体育类艺术类阅读类劳技类类别 (1)本次问卷共调查了 名学生，请补全条形统计图： (②)若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ (3)某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中，请用列表 法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率 17.2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点 燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音.某公司计划采购甲、 乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数 量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍. (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ 3 (②)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2 倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 18.如图，AB是OO的弦，直径DG⊥AB,垂足为点F,C为弧AG上的一点，连接DC,交线段AB于点E, 作∠DCH=∠AED,CH交DG延长线于点H. (1)求证：CH是⊙O的切线： 包若CD=4k5,anH-子，求o0的半径 H 0 19.在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的2倍，我们称这个点为“双倍点”，例如A1,2) 就是“双倍点”，若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例 如二次函数y=(x-1)+2就是“双倍二次函数”. (1)求直线y=3.x+2上的“双倍点”的坐标： ②)反比例函数y=-2图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由： (3)已知二次函数y=2x2+bx+c(b,c是常数)是“双倍二次函数”，且函数图象与y轴的交点是“双倍 点”，求二次函数的解析式： (4)若“双倍二次函数”y=x2+x+n(m,n是常数)的图象过除顶点外的另一个“双倍点”(p,8),并 当t-1≤x≤t时，函数最小值为7，求t的值. 20.综合与实践 老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕 点A顺时针旋转得到矩形AEFG,其中点E,F分别是点B,C的对应点 1)如图1，连接DG,BB,则DC的值为 BE (②)如图2，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O,连接BE, ①DE的长度为 .②求证：OG=OB (3)若直线EB,DG交于点H,当BE=8时，请直接写出BH的长. 图 图2 备用图 4北京师范大学南山附属学校初中部 2025-2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷参考答案 选择题（共8小题，每题3分，共24分） 题号 1 2 3 5 6 7 答案 ⊙ C C & A C 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 10.180 11.4-元 12.-2 2-5 13. 三.解答题（共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题10分，第18 题9分，第19题11分，第20题11分，共61分) 14.【答案】解：3+√27 2sin30°. …4分 =3+33+2-2×1 =4+3W5.… …6分 3x+2>2(x-1)① 15.【答案】解： {x+2_2x=1≥1② 2 3 解不等式①得：x>-4 解不等式②得：x≤2 ∴.不等式组的解集为：4<x≤2，… …4分 整数解为：-3，-2，-1,0,1,2 ∴，整数解之和为：-3+(-2)+（-1)+0+1+2=-3… …6分 16.【答案】(1)100… …分 补全条形统计图如下： 答案第1页，共6页 个人数 30 30 25 20 20 5 …2分 10 10 0 科技类体育类艺术类阅读类劳技类类别 (2)解：1000× 15 =150(名)， 100 答：估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类社团活动；…4分 (3)解：列表如下： 男 男 女 男 (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，女) 女 (女，男) (女，男) …6分 共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种， ∴选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为= 42 …8分 63 17.【答案】(1)解：设购买一个乙种机器人需x万元，则购买一台甲种机器人需(x-5)万 元，根据题意得， 1200 s2x650 x-5 解得x=65, 经检验，x=65是原方程的解，且符合题意， ..x-5=65-5=60, 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元：…5分 (2)解：设该公司购进甲种机器人a台，总花费为w万元， 根据题意，得：a≤2(40-a), 解得，as8 1p=60a+65(40-a)=-5a+2600, 答案第2页，共6页 -5<0, w随a的增大而减小， :as8 ,a为整数， ∴当a=26时，w取得最小值， 此时1p=-5×26+2600=2470(万元)， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元. …10分 18.【答案】(1)证明：连接OC,则OC=OD, H G D.∠OCD=∠ODC, B DG⊥AB, .∠DFE=90°， ·:∠DCH=∠OCH+∠OCD,∠AED=∠DFE+∠ODC,且∠DCH=∠AED, .∠OCH+∠OCD=∠DFE+∠ODC, ∠OCH=∠DFE=90°， ∴.CH⊥OC, OC是⊙O的半径， .CH是OO的切线. …4分 (2)解：作CK⊥DH于点K,则∠DKC=∠OCH=90°， G D.∠H+∠COK=∠OCK+∠COK=90°， .∠OCK=∠H, tan∠OcK=tanH= 4 答案第3页，共6页 设OK=3x,CK=4x(x>0),则OC=OD=5x, 在Rt△DCK中，D2+CK=CD2,即：3x+5x)2+(4x}=(4W5, .x=1, .0C=5x=5, .⊙O的半径为5.… …9分 19.【答案】(1)解：设直线y=3x+2上的双倍点”的坐标(h,2), .2h=3h+2, 解得：h=-2, .2h=-4, .直线y=3x+2上的双倍点的坐标(-2，-4).…2分 （2)解：不存在“双倍点”，理由如下： 设0m,20在反比例函数y=2图象上， 1 ·21=-2 .m2=-1<0,此方程无实数解， 在反比例函数y=-2图象上不存在双倍点.4分 (3)解：，二次函数解析式为y=2x2+bx+c, 当x=0时，y=C, ,函数y=2x2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是(0，c), ,函数y=2x2+bx+c的图象与y轴的交点是“双倍点”， .c=2×0=0, (B)b2 y=2x2+bx+c=2x2+bx=2+4)8 b 顶点坐标为 4’8 ,该二次函数是“双倍二次函数”， 解得：b=0或b=4, 答案第4页，共6页 .二次函数的解析式为y=2x2或y=2x2+4x.…8分 （4)解：设“双倍二次函数”y=x2+x+n=(x-k)2+2k, ,(p,8)为双倍点”， p=4, .(4-k)2+2k=8, 解得：k=2或k=4, 当k=4时，顶点为(4,8)，不合题意，舍去： k=2时，这个“双倍二次函数”为y=(x-2)+4, .抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4)， ∴.当t<2时，t-1≤x≤t在对称轴左侧，y随x的增大而减小， .当x=t时，函数有最小值7，即(t-2)+4=7, 解得：t=2-√5或t=2+√5>2（舍去）： 当t-1≤2≤t时，x=2时，函数的最小值为4，不存在满足条件的t值： 当t-1>2时，即t>3时，t-1≤x≤t在对称轴右侧，y随x的增大而增大， .当x=t-1时，函数有最小值7，即(t-1-2)+4=7, 解得：t=3+√5或t=3-√3<3（舍去）， 综上所述，t的值为2-√5或3+5.… …11分 20.【答案】(1) 。。。。。。。。。。 …3分 (2)27… …5分 ②证明：如图1，过点B作BM⊥AE于点M, 由旋转可知，AB=AE, .∠ABE=∠AEB, :AB∥CD, .∠ABE=∠CEB, 图1 .∠CEB=∠AEB, .BE平分∠AEC. 答案第5页，共6页 又：∠C=90°，BM⊥AE, .BC=BM. 由旋转可知，AG=AD=BC, ..AG=BM. :∠GAO=∠B.MO=90°，∠AOG=∠MOB, .△AOG≌△MOB(AAS), OG=OB;… …8分 (3)解：BH的长为3√3-4或3√5+4，理由如下， 由旋转得AD=AG,AB=AE,∠DAG=∠BAE, .∠ADG=∠AGD=∠ABE=∠AEB, :∠ABE+∠ABH=180°， D .∠ADH+∠ABH=180°， 在四边形ADHB中，∠DAB=90°， ∴∠DHB=90°， ,·AB=AE=BE=8, :△ABE为等边三角形， 同理△ADG为等边三角形. 图2 如图2，令DH与BC的交点为I, .IDC=30°，∠DIC=∠BIH=60°， c-85,Bm=6-85 3 3 .BH=BI.sin60°= 6- 3x5-5-4, -32 如图3，同理可得BH=3√5+4， 图3 综上所述，BH的长为35-4或3√3+4. …11分 答案第6页，共6页