3.1 相似多边形课时1（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“图形的相似”第一课时，核心知识点包括线段的比、成比例线段、比例基本性质及相似多边形的概念与性质。课堂导入从生活中形状相同的图形提问，引出线段长度关系，逐步过渡到成比例线段和比例性质，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以生活实例为起点，如地形图等高线计算实际距离的例题，培养几何直观与抽象能力。通过问题链引导概念形成，结合比例性质证明和相似多边形性质应用，发展推理意识，助力学生用数学思维分析问题，教师可借助清晰脉络提升教学效率。

第三章 图形的相似 3.1 相似多边形课时1 九上数学北师 1.了解线段的比及成比例线段的概念及表示，渗透抽象能力及几何直观。 2.认识图形的相似，了解相似多边形、相似比的概念及表示方法，掌握相似多边形的性质及相关计算。 3.结合相似多边形了解比例的基本性质，能运用比例的相关性质分析问题。 学习目标 2 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形。 你能在图中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 大小不同 课堂导入 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图 形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 知识点1 两条线段的比 思考：它们的线段长度会有怎样的关系？ 对应线段的长度可能存在固定的比例关系 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系。 新知讲解 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 注意：计算时必须统一长度单位。 思考：线段的比的本质是什么? 线段的比，本质是两个数的比。 新知讲解 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 如果把表示成比值k，那么=k或AB=k·CD。 新知讲解 如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm， AB﹕A′B′=5﹕3，就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五 边形的大小关系。 A B E A′ B′ E′ C D C′ D′ 知识点1 两条线段的比 新知讲解 在地图或工程图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺。比例尺也是两条线段比的一种。 知识点1 两条线段的比 新知讲解 图中的曲线是地形图中等高线(同一条曲线上的海拔相同)，如果量得两地点A，B的图上距离是3cm，那么A，B间的实际距离为 m。 解析：∵3cm=0.03m，比例尺为1׃50 000， ∴A，B间的实际水平距离为0.03÷ =1 500(m)。 ∵A，B间的垂直距离为900-100=800(m)， ∴由勾股定理知A，B间的实际距离为=1 700(m)。 例1 1 700 知识点1 两条线段的比 新知讲解 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (1)AB，BC，A′B′，B′C′的长度分别是多少? 解：(1)AB=2，BC=2，A′B′=1，B′C′=。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 新知讲解 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (2)分别计算，，的值，你发现了什么? (2)=2=2，= ，= 发现=2 = =。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 新知讲解 在四条线段a，b，c，d 中，如果a与b的比等于c与d的比， 即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段， 简称比例线段。 AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段， AB，BC，A′B′， B′C′也是成比例线段。 知识点2 成比例线段 新知讲解 判断四条线段是不是成比例线段的步骤： 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段； 否则，不是成比例线段。 知识点2 成比例线段 新知讲解 下列各组线段中，能构成成比例线段的是( ) A.3 cm，7 cm，6 cm，9 cm B.2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C.3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D.1 cm，2 cm，3 dm，4 dm 解析：一化；二排；三算；四判断。 例2 C 知识点2 成比例线段 新知讲解 如果a，b，c，d四个数成比例，即=，那么ad=bc吗？ 反过来，如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗? 由于且0，两边同乘(等式性质) 得，化简后ad=bc； 反过来，由于，且0，利用等式的性质， 等式两边同时除以cd，即可得=，即a，b，c，d四个数成比例。 知识点3 比例的基本性质 新知讲解 比例的基本性质： 如果=，那么ad=bc。 如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=。 知识点3 比例的基本性质 外项积=内项积 新知讲解 已知4x=3y(x，y都不等于0)，那么下列各式正确的是( ) A. = B. C. = D. = 例3 C 知识点3 比例的基本性质 新知讲解 观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗? (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角?你是怎么知道的? (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例? 解：图中的五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形。 (1)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D 与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角。 (2)AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′， DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等， 称为对应边。 知识点4 相似多边形 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 新知讲解 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 例如，在图中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”。 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 知识点4 相似多边形 新知讲解 相似多边形对应边的比叫作相似比。 例如，六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′， 对应边的比 = = = = =。 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比k1=， 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比k2= 注意：两个全等三角形相似比为1。 知识点4 相似多边形 新知讲解 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 知识点4 相似多边形 新知讲解 知识点4 相似多边形 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y，α的值。 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴=，∠C′=∠C=83°。 ∵AB=6，A′B′=4，D′C′=5，B′C′=6， ∴ ，解得x=7.5， y= 9。 在四边形A′B′C′D′中，α=360°-∠A′-∠B′-∠C′ =360°-134°-60°-83°=83°。 例4 新知讲解 1.你知道地图比例尺的含义吗?生活中还有哪些利用线段比的事例? . . 解：地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，如1׃10 000，意为图上距离是1 cm，实际距离为10 000 cm。 例如，工件图纸比例表示工件缩小或放大，如1׃2，意为工件缩小2倍画在图纸上。 随堂练习 2.a，b，c，d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段d的长。 . . 解：因为a，b，c，d是成比例线段， 所以a ׃ b=c ׃ d，即3 ׃ 2=6 ׃ d。 所以d=4 cm。 随堂练习 3.图中每组两个矩形相似吗?说说你的理由。 . . 解：(1)相似。理由：两个矩形各角分别相等，各边成比例。 (2)不相似。理由：两个矩形的各边不成比例。 3 3 2 2 3 2.5 4 4.5 (1) (2) 随堂练习 4. 如图，点G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F，求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似。 . . 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAC=∠BAC=45°。 ∵GE⊥AD，GF⊥AB，∠BAD=90°， ∴四边形AFGE是矩形。 易知EG=GF，∴四边形AFGE是正方形，∴ AF=FG=GE=AE， ∴==，且∠EAF=∠DAB，∠AFG=∠ABC，∠FGE=∠BCD， ∠AEG=∠ADC， ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似。 随堂练习 两条线段长度的比 形状相同的图形 两条线段的比 比例的性质 线段a与b的比等于线段c与d的比，即= = ad=bc a，b，c，d都不等于0 成比例线段 各角分别相等、 各边成比例的两个多边形叫作相似多边形 相似多边形 概念 性质 相似多边形对应边的比 对应角相等、对应边成比例 相似比 课堂小结 $