精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高一下学期第三次月考考试数学试题

2025－2026学年高一下学期第三次月考考试 数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，则点到平面EBD的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数是纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 12. 已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 截面图形是一个五边形 C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D. 截面图形的周长为 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 14. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 15. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 16. 如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点， 且则二面角的正切值为__________ 四、解答题（共70分，17题10分，其余各12分） 17. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 18. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 19. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 20. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 21. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 22. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一下学期第三次月考考试 数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及模长公式即可求解． 【详解】由， 则， 所以． 2. 已知向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，解得，所以. 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 5. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 7. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，则点到平面EBD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】注意到，利用等体积法可得答案. 【详解】， ，，则. 在中，由题意及图形结合勾股定理可得，， 则由余弦定理可得， 则.则. 设到平面EBD的距离为，则. 又，则. 故选：D 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数是纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因为，则，所以A错误， 对于B，复数的虚部为，所以B正确， 对于C，因为，则为纯虚数，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的模的计算公式分析判断选项A、B，利用向量垂直时数量积为0判断选项C，利用投影向量公式分析判断选项D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ， 选项A：，， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， ，故C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 12. 已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 截面图形是一个五边形 C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D. 截面图形的周长为 【答案】AB 【解析】 【分析】由异面直线的定义判断A，应用平面的基本性质画出截面图，再根据已知及各项描述依次判断正误即可. 【详解】A，在正方体中，与既不平行也不相交， 平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线，正确； B，延长，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q， 连接交于点G，连接交于点H， 再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，正确； C，由题意知，线段EG为点I的轨迹， 因为，所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点， 则，即点I的轨迹长度为，错误； D，，，且， 则五边形的周长为，错误． 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 14. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积. 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 15. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 16. 如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点， 且则二面角的正切值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间垂直关系作出二面角的平面角，再结合勾股定理和正切函数可求得正切值. 【详解】 由已知是线段上的点， 且 利用勾股定理可得：， 由余弦定理可得：， 过点作，连接，由底面， 底面，所以有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故就是二面角的一个平面角， 而，则， 则， 所以二面角的正切值为， 故答案为： 四、解答题（共70分，17题10分，其余各12分） 17. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标表示以及平行关系和模长公式计算可得结果， （2）利用垂直关系的数量积表示计算解方程可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，又，， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 解得． 18. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接，， （1） ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 19. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得； （2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 20. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，求得，即可求解. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在长方体中，且，可得四边形为正方形， 所以为线段中点， 因为点为的中点，则， 又因为平面，且平面，则平面. 【小问2详解】 解：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，且点P为的中点，则， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以，所以故直线与平面所成角为. 21. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和差的正弦、余弦公式化简等式即可求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 ． 因为，所以， 所以 ，解得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得． 因为，，所以，所以． 由正弦定理，得 ． 因为， 所以的面积． 由题意，得，解得． 22. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $