精品解析：河北保定市百师联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一6月数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先找出包含的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可. 【详解】如图， 若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去. 综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（ ） A. 一条直线 B. 一条线段 C. 一个圆 D. 一段圆弧 【答案】A 【解析】 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 3. 已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，，可得或，故D错误. 4. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底判定规则，逐一验证每组向量是否线性相关（共线），共线的一组向量无法构成平面基底. 【详解】平面向量可充当基底的充要条件是两个向量不共线，由是基底可知线性无关. 选项A：设，整理得， 不存在实数满足等式，两向量不共线，可以作为基底. 选项B：若，联立，无实数解， 两向量不共线，可以作为基底. 选项C：记，，可得， 两向量满足数乘关系、互相平行，不能作为基底. 选项D：若， 联立，矛盾，两向量不共线，可以作为基底. 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆台的高，利用圆台体积公式求解. 【详解】，所以原图，所以圆台的高也为， 又 所以圆台体积为. 6. 如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面平面 C. 直线与是异面直线 D. 直线和所成角的正切值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行即可判断A；根据面面平行判定定理即可判断B；利用反证法可得矛盾判断C；根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】对于A，取中点，连接， 由于是的中点，在正方体中可知， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因此，故四点共面，故A正确； 对于 B，如图，连接， 由于均为中点，所以，， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面. 若与相交，则交点在和上， 平面，与平面仅交于点，而，故与不相交； 若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾； 所以与是异面直线，故C正确； 对于D，由于，所以， 故为直线和所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以， 所以， 所以直线和所成角的正切值为，故D错误. 7. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ​ ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 8. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用侧面展开半圆的弧长关系与侧面积求出圆锥母线、底面半径，算出圆锥高，借助轴截面三角形等面积法求内切球半径，最后代入球体积公式计算. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径为， 侧面展开半圆的弧长与圆锥底面周长相等，，整理得. 圆锥侧面积等于半圆面积，，解得，代入得. 圆锥的高. 沿轴线截取圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长， 腰长，截面面积. 设内切球半径为，轴截面三角形内切圆半径等于球半径， 由面积等积关系， 则，解得，， 内切球的体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则为实数 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过复数代数形式代换与复数基本性质逐一辨析选项，依托复数大小规则、共轭定义、复数乘法运算完成正误判断. 【详解】选项A，复数不能比较大小，只有实数才有大小关系， 、均为虚数，无法写出，A错误. 选项B，设，共轭复数. 由，得，整理得，即， ，B正确. 选项C，由，得， 已知，复数乘积为0则至少一个因子为0，因此，即，C正确. 选项D，设， ，， 由，平方得， 展开化简：， ， 取，满足，但，D错误. 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时，或 C. 若向量和向量的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 若向量在向量上的投影向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行和垂直的坐标关系即可求解AB，根据数量积的坐标运算即可求解C，根据投影向量的计算公式即可求解D. 【详解】对于A， 若，则，解得或，故A错误， 对于B，若，则，解得或，B正确， 对于C， 因为向量和向量的夹角为钝角， 所以，且， 解得，且， 故与的夹角为钝角，则的取值范围为，C错误， 对于D，向量在向量上的投影向量， 结合条件可得， 所以，  解得或，故D错误. 11. 如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C. 当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D. 一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】过点作直线平行于，结合线面角的定义推理判断AC；确定点的位置，进而求出体积判断C；将矩形与矩形置于同一平面求解判断D. 【详解】对于AC，过点作直线平行于，交圆柱曲面于点， 依题意，，四边形为正方形， 连接相交于点，则为的中点， 当重合时，，因此存在点，使得，A正确； 连接，则，又为的中点，⊥， 又，， 过点作，交于点，由⊥平面，平面，得⊥， 又⊥，，平面，则⊥平面， 又平面，因此⊥，又，平面， 则平面，与底面所成角为， 又，，则， 因此，C正确； 对于B，取的中点，则为圆柱的上底面圆的圆心， 而的中点，连接并延长交半圆周于点， ，，则， 其中，，， 因此三棱锥的体积为，B正确； 对于D，将平面与平面沿着公共棱展开到同一平面内， 连接，其中，则， 而，则一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离不为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则的实部为_______（用实数作答）． 【答案】## 【解析】 【详解】的实部为. 13. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，证明过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，再求其面积即可. 【详解】取中点，因为为中点，故， 因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记的交点为，则， 由已知，所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为. 14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量坐标运算可得的终点对应的轨迹圆和的的终点轨迹所在射线，进而将问题转化为直线上的点到圆上点的最小距离，利用点到直线的距离公式结合圆的半径求解. 【详解】因为是单位向量，所以可令，设， 由，可得：，整理得：， 即的终点轨迹是以为圆心，半径的圆. 因为非零向量与夹角为，所以的终点在射线上， 故的几何意义是：射线上的点到圆上点的距离，最小值为圆心到射线的距离减去圆半径. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离：， 垂足为，在射线上，因此最小距离为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 16. 已知复数，（是虚数单位）． （1）求的共轭复数； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据虚数单位的性质结合复数的除法运算求得，再利用共轭复数的定义求解； （2）根据复数的乘法运算化简，再利用复数的几何意义列式求解； （3）先化简，再根据复数模的公式结合二次函数求最值. 【小问1详解】 因为，，，， 所以. 所以. 【小问2详解】 ， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 17. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． （1）记平面平面，证明：； （2）证明：三条直线，，交于一点． 【答案】（1）证明：在和中， 因为，分别是和的中点，所以，． 又因为，所以，．所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． （2）证明：由（1）得，，，所以四边形为梯形． 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为． 因为点，平面，所以点平面，同理点平面． 又因为平面平面，所以点， 所以三条直线，，交于一点． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径，求边的值； （3）若，延长至，使得，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）根据的面积求得，利用等面积法以及余弦定理求得. （3）利用正弦定理列方程，求得，进而求得，由此求得的面积． 【小问1详解】 由及正弦定理，得． 因为， 所以． 因为，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 由（1）得，则的面积，即． 又因为内切圆的半径，且， 所以，即． 由余弦定理，得， 即，解得． 【小问3详解】 在中，由正弦定理，得①． 在中，，， 由正弦定理，得②． 由①②得，化简得． 因为，所以． 因为，，所以． 所以． 19. 如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． （1）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． （2）当平面时，求的值． 【答案】（1）不是，体积的最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）借助反证法，假设三棱锥的体积是定值，则有平面，借助线面平行性质及面面平行判定定理及性质定理可得，又因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾，即可得三棱锥的体积不为定值；在线段的所有点中，到平面的距离最小，则可借助等面积法求出三棱锥体积即可得三棱锥体积的最小值； （2）借助线面平行判定定理及其性质定理，可得当线段平面时，满足平面，则可借助等体积法计算，到平面的距离，，即可得的值. 【小问1详解】 三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 因为平面，所以平面， 如图，过点作交于点，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 取的中点，连接，则为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值； 由图知，线段在平面的同侧， 且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 则， 所以三棱锥体积的最小值为； 【小问2详解】 如图，连接，，． 由正方体的对角面是矩形，得． 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 当线段平面时，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则， 因为是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一6月数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（ ） A. 一条直线 B. 一条线段 C. 一个圆 D. 一段圆弧 3. 已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面平面 C. 直线与是异面直线 D. 直线和所成角的正切值为 7. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则为实数 C. 若且，则 D. 若，则 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时，或 C. 若向量和向量的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 若向量在向量上的投影向量为，则 11. 如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C. 当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D. 一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则的实部为_______（用实数作答）． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____． 14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 16. 已知复数，（是虚数单位）． （1）求的共轭复数； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； （3）求的最小值. 17. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． （1）记平面平面，证明：； （2）证明：三条直线，，交于一点． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径，求边的值； （3）若，延长至，使得，，求的面积． 19. 如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． （1）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． （2）当平面时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $