3.2 探索三角形相似的条件第4课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦黄金分割的定义、黄金比计算及应用。课堂导入从现实中优美图形和建筑提问，通过五角星探究相似三角形与比例关系，衔接相似三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以生活实例和几何图形为载体，培养数学眼光，通过五角星探究和方程推导黄金比发展推理能力，结合《蒙娜丽莎》、人体比例等实例强化应用意识。帮助学生建立数学与现实的联系，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第3章　图形的相似 2 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 情景导入 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 探究 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示 （1）从图中找出相等的角、相等的线段. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 5 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示 （2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形. 如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC 小亮认为，= .你同意他的看法吗？说说你的理由. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 6 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 = ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A A C 例 计算黄金比. 解：由= ，得AC 2＝AB·BC 设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×（1－x） 即x2＋x－1＝0 则BC＝1－x . 解这个方程，得x， x （不合题意，舍去） 所以，黄金比 ≈ 0.618 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 A A C 黄金比是一个比值﹐它没有单位! 归纳 = 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. = = A B C D 并且AD＝BC，AC＝BD. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 尝试交流 A B D C E F 图1 图2 如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B D C E F 图1 图2 那么我们可以惊奇地发现 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? = 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B D C E F 图2 由 = ，可得 = 因此点E是AB的黄金分割点. 也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的. A B C L K D E G H F 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 黄金分割也被应用于各种艺术品创作当中 绘画：《蒙娜丽莎》 雕像：《维纳斯》 苹果logo 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 公认最完美的人体比例也和黄金分割挂钩 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 自然界中的黄金分割 生活中的黄金分割 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 黄金分割点的作法： 方法一： 如图，已知线段AB， （1）过点B作BD⊥AB，使AB＝2BD； （2）连接AD，在DA上截取DE＝DB； （3）在AB上截取AC＝AE； 点C即为所求的黄金分割点. A B D E C 拓展 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 黄金分割点的作法： 方法二： 如图，已知线段AB， （1）以线段AB为边作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至点F，使EF＝EB； （4）以AF为边作正方形AFGH； A B D C E 点H即为所求的黄金分割点. F G H 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例2】如何找到一条线段的黄金分割点？ 已知线段AB，按照如下方法画图： (1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB； (2)连接DA，在DA上截取DE＝DB； (3)在AB上截取AC＝AE，则点C就是线段AB的黄金分割点。 提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？ 方法指导：设AB＝2，分别求出AC和BC的长，并计算= 的值。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：设AB＝2，则BD＝DE＝ AB＝1。 ∴AD＝＝， ∴AC＝AE＝AD－DE＝ －1， ∴BC＝AB－AC＝2－(－1)＝3－ ， ∴AC2＝(－1)2＝6－2 ， AB·BC＝2×(3－ )＝6－2 。 ∴AC2＝AB·BC，即= 。 ∴点C是线段AB的黄金分割点， = ＝ 。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例3】在人体下半部与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感。小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 【方法指导】想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：设肚脐到脚底的距离为x m， 根据题意，得＝0.60，解得x＝0.96。 设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美， 则＝0.618。 解得y≈0.075，而0.075 m＝7.5 cm。 故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 A A C = 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果= ，那么下列说法错误的是 ( ) A．线段AB被点C黄金分割 B．点C叫作AB的黄金分割点 C．AC与AB的比叫作黄金比 D．AC＝BC D 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为10 cm，则它的宽约为 ( ) A．6.18 cm B．6.80 cm C．16.18 cm D．3.82 cm A 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝________。 135° 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。 (1)求线段AH，BH的长； (2)求证：AH2＝AB·BH； (3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(1)∵E为AD的中点， ∴AE＝1。 在Rt△AEB中，由勾股定理， 得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22＝5。 ∴BE＝， ∴EF＝BE＝。 ∴AF＝－1。 ∵四边形AFGH是正方形， ∴AH＝AF＝－1， ∴BH＝AB－AH＝2－(－1)＝3－。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。 (2)求证：AH2＝AB·BH； 解：(2)AH2＝(－1)2＝6－2， AB·BH＝2×(3－)＝6－2， ∴AH2＝AB·BH。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。 解：(3)H是线段AB的黄金分割点。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $