1.3第2课时 矩形的判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，通过复习矩形定义、性质及判定方法导入，搭建新旧知识支架，引导学生从已知平行四边形性质过渡到探究矩形判定条件。 其亮点在于运用几何画板动态演示平行四边形框架变化（数学眼光的几何直观），引导从性质逆命题猜想判定定理并证明（数学思维的推理意识），规范几何语言表达，小结分类梳理判定条件。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

矩形的判定 一 北师版九年级上册 1 创设情境，复习导入 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 1. 矩形的定义是什么？ 2. 矩形的性质有哪些？ 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等 矩形的两条对角线相等且互相平分 矩形的四个角都是直角 3. 根据上节课所学内容，如何判定一个四边形是矩形呢？ 探究新知，经历过程 探索活动 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击播放 几何画板.GSP 几何语言： 矩形的判定方法 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ADC = 90° ∴四边形 ABCD 是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 A B D C 思考·交流 A B D C 矩形的角具有怎样的性质？你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？为什么？ 性质：矩形的四个角都是直角 逆命题：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是矩形。 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流。 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 思考 已知：如图，在四边形 ABCD，∠A =∠B =∠C = 90°。 求证：四边形 ABCD 是矩形。 证明：∵∠A =∠B =∠C= 90°, ∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C = 180°。 ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴四边形 ABCD 是矩形。 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 定理 有三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90° ∴四边形 ABCD 是矩形。 几何语言： （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 思考 已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB。求证：□ ABCD 是矩形。 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC ≌ △DCB。∴∠ABC =∠DCB。 ∵AB∥DC，∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴∠ABC =∠DCB = ×180°= 90°。 ∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理 对角线相等的平行四边形是矩形。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC = BD ∴四边形 ABCD 是矩形。 几何语言： 例2 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 □ ABCD 的面积。 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC，OB = OD。 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4。 ∴OA = OB = OC = OD = 4。 ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。 ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC = 。 ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = 。 巩固练习，深化提高 1. 下列判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形。 ( ) （2）四个角都相等的四边形是矩形。 ( ) （3）对角线相等的四边形是矩形。 ( ) （4）对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形。 ( ) × × √ √ 2. 如图： （1）当_________时，□ ABCD 是矩形； （2）当_____________________________时，四边形 ABCD 是矩形. AC = BD ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90° 3. 已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是边 AD 的中点，且 MB = MC。 求证：四边形 ABCD 是矩形。 【选自教材P14 随堂练习】 证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点， ∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 4. 如图，线段 DE 与 AF 分别为△ABC 的中位线与中线。 （1）求证：AF 与 DE 互相平分。 （2）当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形 ADFE 为矩形？请说明理由。 （1）证明：∵ 线段 DE 与 AF 分别为△ABC 的中位线与中线。 ∴ D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点。 ∴ EF∥AD，DF∥AE。 ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形， ∴ AF 与 DE 互相平分。 （2）解：当 AF = BC 时，四边形 ADFE 为矩形。 理由如下： ∵ 线段 DE 为△ABC 的中位线， ∴ DE = BC， ∵ AF = BC， ∴ AF = DE， ∴ □ ADFE 为矩形。 5. 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些 剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接 在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形 几何画板.GSP 课堂小结 四边形 有三个角是直角 矩形 对角线互相平分且相等 矩形 平行 四边形 对角线相等 矩形 有一个角是直角 矩形 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定. 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $