1.4第1课时 正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义与性质，通过平行四边形分别转化为菱形、矩形，再由菱形、矩形转化为正方形的脉络，结合几何画板动态演示，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于以“思考·交流”引导学生自主发现正方形是特殊的菱形和矩形，培养推理意识，通过规范证明和例题解析强化数学语言表达，课堂小结系统梳理定义与性质，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

正方形的性质 1 北师版九年级上册 1 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 创设情境，导入新课 一个角是直角 平行四边形 距形 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 菱形 正方形 几何画板.GSP 几何画板.GSP （1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流。 正方形是特殊的平行四边形 探究新知，经历过程 思考·交流 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 正方形的性质 你能证明吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴∠A = 90°，AB = AD， 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴正方形是矩形，正方形是菱形。 ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD。 A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形。对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD。 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO。 ∵正方形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD。 A B C D O AB = BC = CD = DA ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 几何语言： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 ∵四边形 ABCD 是正方形， 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 解：BE = DF， 且 BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°。 ∴∠BCE =∠DCF。 又∵CE = CF。 ∴△BCE≌△DCF。∴BE = DF。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）延长 BE 交 DF 于点 M。 ∵△BCE ≌ △DCF。 ∴∠CBE = ∠CDF。 ∵∠DCF = 90°。 ∴∠CDF +∠F = 90°。 ∴∠CBE +∠F = 90°。 ∴∠BMF = 180°－（∠CBE + ∠F）= 180°－ 90°= 90°。 ∴BE ⊥ DF。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1)请在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D O 连接正方形的对角线 AC、BD。 作对角线 AC 的垂直平分线，在 AC 中取点 E，F，使 OE = OF 。 顺次连接 A、E、C、F 四点，四边形 AECF 即为所求菱形。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (2)请在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D 在正方形的边 AB 上任取一点 E（不与端点重合）。 在边 BC 上取点 F，边 CD 上取点 G，边 DA 上取点 H，使得 AE = BF = CG = DH。 顺次连接 E、F、G、H 四点，四边形 EFGH 即为所求菱形。 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？ 巩固练习，深化提高 解：图中共有 8 个等腰三角形. △OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB 2. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = _______°，∠DAC = _______° ，∠BOC = _______°。 45 45 90 3. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 _______。 22.5° 正方形的每一条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角是45°。 4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC， △FCD与 △FCB， △FAD 与 △FAB。 【选自教材P18 随堂练习 第1题】 4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明. 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF， 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB。 【选自教材P18 随堂练习 第1题】 5. 如图，在菱形 ABCD 中，将 A，C 两点沿对角线 AC 分别移动到 A′，C′ 的位置，得到正方形 A′BC′D。已知菱形 ABCD 的面积为 120 cm2，正方形 A′BC′D 的面积为 50 cm2，求 AC 的长。 【选自教材P18 随堂练习 第2题】 正方形的面积 = 边长的平方 = 两条对角线乘积的一半 解：∵SA′BC′D = 50 cm2。 ∴ SA′BC′D = ×BD2 = 50 cm2， 解得 BD = 10 cm。 又∵SABCD = 120 cm2， SABCD = ×BD×AC ， 解得 AC = 24 cm。 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $