1.4第2课时 正方形的判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过长方形纸对折剪角的动手操作导入，前承平行四边形、矩形、菱形的判定方法，后延伸至中点四边形探究，借助转化关系表格构建知识支架。 其亮点在于融合动手实践与几何画板辅助，通过剪正方形活动培养几何直观（数学眼光），定理证明与分类讨论发展推理能力（数学思维），中点四边形对角线关系表格提升表达（数学语言）。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

正方形的判定 1 北师版九年级上册 1 创设情境，导入新课 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？ 探究新知，经历过程 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 四 边 形 平行四 边 形 正方 形 菱形 两组对边分别平行 (或两组对边分别相等 或一组对边平行且相等) 两条对角线互相平分 两组对角分别相等 四条边都相等 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，且有一个角是直角 有三个角是直角 有一个角是直角 （或对角线相等） 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 距形 有一个角是直角 (或对角线相等) 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边（对角线互相垂直）相等。 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角（对角线相等）。 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD， 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS）， ∴AB = AD， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 【选自教材P20 随堂练习 第1题】 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90°， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 【选自教材P20 随堂练习 第1题】 定理：对角线相等的菱形是正方形。 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形。 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD， ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）。 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形。 ∴∠ABC = 90°。 ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）。 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形。 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°。 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°。 ∴∠EBC = ∠ECB。∴ EB = EC。 ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）。 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180°－∠EBC －∠ECB = 180°－ 45°－ 45°= 90°。 ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______。 ②若 EF = 8 cm，则 AC =______。 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。 任意四边形的中点四边形是平行四边形。 几何画板.GSP 【选自教材P20 随堂练习 第2题】 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 尝试·思考 （1）如图，四边形 ABCD 是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。 A B C D 猜想：以四边形四边中点为顶点的四边形是正方形。 几何画板.GSP 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为正方形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD。 ∴四边形 PFQO 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°。 ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°。 ∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为正方形。 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形。 你能试着证明这个结论吗？ 几何画板.GSP 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为菱形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD。 ∴四边形 EFGH 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）。 尝试·思考 （2）类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 菱形 菱形 ？ 正方形 正方形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形。 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 几何画板.GSP 平行四边形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形。 几何画板.GSP 你能试着证明这个结论吗？ 菱形的中点四边形 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为矩形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。 ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°。 ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）。 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 正方形 （3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 归纳 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 回顾·反思 回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟？积累了哪些经验？ 巩固练习，深化提高 1. 在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，下列条件能判断 ABCD 是正方形的是（ ） A. OA = OC，OB = OC B. OA = OB = OC = OD C. OA = OC，OB = OD，AC = BD D. OA = OB = OC = OD，AC⊥BD A B C D O D 2. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 BD 延长线上的一点，且 EA = EC。 （1）求证：□ABCD 是菱形； （2）若∠DAC =∠EAD +∠AED，求证：□ABCD 是正方形。 证明：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO。 又∵ EA = EC， ∴ EO⊥AC，即 AC⊥BD。 ∴ □ABCD 是菱形。 （2）∵ ∠ADO = ∠EAD + ∠AED = ∠DAC， ∴ AO = DO。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC = 2AO，BD = 2DO。 ∴ AC = BD。 ∴ 菱形 ABCD 是正方形(对角线相等的菱形是正方形)。 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AC⊥BD 于点 O，E，F，G，H 分别是 AD，AB，BC，CD 的中点。 （1）求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）若AC = BD，求证：四边形 EFGH 是正方形。 证明：（1） ∵ E，F，G，H 分别为 AD，AB，BC，CD 的中点。 ∴ EF，GH 分别是△ABD 和△CBD 的中位线， ∴ EF∥BD，EF = BD，GH∥BD，GH = BD， ∴ ∠1 = ∠BOC，EF GH， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。 同理，FG∥AC，EH∥AC，FG = EH = AC， ∴ ∠1+∠EFG = 180°。 ∵AC⊥BD，∴ ∠1 =∠BOC = 90°， ∴ ∠EFG = 180°－∠1 = 90°，∴ □EFGH 是矩形。 （2） ∵AC = BD，FG = AC，EF = BD， ∴ EF = FG。 ∴ 矩形 EFGH 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 课堂小结 判定一个四边形是正方形的思路 思考角度 证明思路 边 角 对角线 四边形 + 对角线相等且互相垂直平分 → 正方形 平行四边形 + 对角线相等且互相垂直 → 正方形 菱形 + 对角线相等 → 正方形 矩形 + 对角线互相垂直 → 正方形 菱形 + 一个角是直角 → 正方形 矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 1. 阅读教材p20-21 “阅读·思考”； 2. 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $