1.3 第1课时 矩形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上

该初中数学课件围绕矩形的定义、性质（边、角、对角线、对称性）及直角三角形斜边中线性质展开，通过活动平行四边形教具演示角的变化导入，类比菱形学习构建知识脉络，以问题引导和表格梳理搭建学习支架。 其亮点在于融合动手操作（测量书本、折纸）与几何画板动态演示，培养学生数学眼光中的几何直观与空间观念。通过性质证明的逻辑推理和小组合作探究，发展数学思维中的推理能力，课堂小结系统梳理知识，助力学生形成结构化认知，也为教师提供了直观高效的教学资源。

矩形的性质 1 北师版九年级上册 1 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察： 几何画板.GSP 点击播放 复习导入 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形。 角的大小。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 探究新知，经历过程 矩形 邻边相等 有一个直角 菱形 类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？ 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 尝试·思考 （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果； （2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？ 探索活动 点击播放 几何画板.GSP 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。 你能证明这两个定理吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°； 证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠CDA， ∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）。 ∴∠ABC +∠BCD = 180°。 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°。 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：（2）AC = DB。 （2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB。 ∴△ABC ≌∠DCB。 ∴AC = DB。 定理 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠DAB = ∠DCB =∠ADC =∠ABC = 90° ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AC = DB 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。   （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 点击播放 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。   （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 点击播放 矩形的性质 矩形的对边平行且相等。 角 对角线 边 矩形的对角线相等。 矩形的对角线互相平分。 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角相等。 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。 如图，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E。将矩形纸片沿 AC剪开，得到如图所示的图形， 观察·思考 BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， ∴BE = DE = AE = CE, 在Rt△ABC 中， AC为斜边，BE 为斜边上中线， ∴BE = AC。 定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点。 可得： 几何语言： 例1 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长。 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°（矩形的四个角都是直角）， AC = BD（矩形的对角线相等）， OA = OC = AC， OB = OD = BD（矩形的对角线互相平分）。 ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°－ 120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5。 巩固练习，深化提高 1. 如图，在矩形 ABCD 中， 有（ ）个直角三角形，分别为 _________________________________， 它们有什么关系？ 有（ ）个等腰三角形，分别为_________________________________， 它们有什么关系？ 4 △ABC、△BCD、△ADC、△DAB △ABC≌△BCD≌△ADC≌△DAB 4 △AOB、△AOD、△COD、△BOC △AOB≌△COD、△AOD≌△COB 2. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线。若∠A = 20°，则∠BCD 的度数为（ ） A. 110° B. 70° C. 50° D. 20° B 3. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于点 O，AB = 6，OA = 4. 求 BD 与 AD 的长。 【选自教材P13 随堂练习】 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等）， ∴BD = 2AO = 8， 在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2， AD2 + 62 = 82， ∴AD = 。 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 作OG⊥AC，交 AB 于点 G，连接 CG。若∠BOG = 15°，求∠BCG 的度数。 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝ 90°，BD = AC， OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OB = OC，∴∠OCB = ∠OBC。 ∵OG⊥AC，∴GA = GC，∠GOC = 90°， ∴∠ACG = ∠CAG。 ∵∠BOG ＝ 15°， ∴∠BOC = ∠GOC － ∠BOG = 90°－ 15°= 75°， ∴∠OCB = ∠OBC = （180°－∠BOC）= 52.5°， ∴∠CAB = 90°－∠OCB = 37.5°， ∴∠ACG = ∠CAB = 37.5°， ∴∠BCG = ∠OCB －∠ACG = 52.5°－37.5°= 15°。 5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，且 AE 平分∠BAC，求AC 的长。 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO = CO。 ∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠BAE =∠OAE。 ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEB =∠AEO = 90°。 又∵ AE = AE，∴ △ABE≌△AOE。 ∴ AB = AO = 3，∴ AC = 2AO = 6。 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形. 矩形的性质： 具有平行四边形的一切特征. 四个角都是直角. 对角线相等且平分. 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $