期末复习（五）分式与分式方程讲义-2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

期末复习（五）分式与分式方程 考点1 分式有（无）意义及值为零的条件 【例1】要使分式有意义，则x的取值应满足 (D) A．x≥3 B．x≠3 C．x＞0 D．x≠0 方法点拨：对于分式,当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义. 【针对训练】 1.若分式的值为0，则x应满足x=1. 考点2 分式的基本性质及约分 【例2】下列运算正确的是 (A) A.= B.= C.= D.= 方法点拨：解决此类问题时，可先对分式的分子、分母进行因式分解，观察是否含有公因式，再进行约分,并注意灵活运用符号法则. 【针对训练】 2.化简分式:=. 考点3 分式的运算 【例3】计算：÷(1-). 方法点拨：分式的加减运算重点在于找到最简公分母，乘除运算重点在于找到公因式，二者均考查因式分解.在分式的化简过程中，要注意约去的公因式应不等于0，代入求值时，需对代入的值进行检验. 解：原式=÷ =· =. 【针对训练】 3.先化简，后求值：（1-）÷，其中a=2 023. 解：原式=·=. 当a=2 023时，原式==. 考点4 分式方程的解法 【例4】解方程：=. 方法点拨：先将分式方程转化为整式方程，再解分式方程，并注意验根. 解：方程两边同乘(x2-4)，得 x+2=4. 解得x=2. 检验：当x=2时，x2-4=0. 故x=2是增根，原方程无解. 【针对训练】 4.解方程：-1=. 解：方程两边同乘(x2-4x+4)，得 x(x-2)-(x2-4x+4)=4. 解得x=4. 检验：当x=4时，x2-4x+4≠0. 故原方程的解为x=4. 考点5 分式方程的应用 【例5】某园林队原计划由6名工人对180 m2的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比原计划提前3 h完成.若每人每小时绿化的面积相同，求每人每小时绿化的面积. 方法点拨：列分式方程解决实际问题时，关键在于找准数量关系，根据数量关系列出方程后求解即可，最后注意验根及判断是否符合实际. 解：设每人每小时绿化的面积为x m2.根据题意可列方程为-=3. 解得x=2.5. 经检验，x=2.5是原分式方程的解，且符合题意. 故每人每小时绿化的面积为2.5 m2. 【针对训练】 5.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2 m2，用60 m2建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的． (1)求每个A，B类摊位的占地面积； (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，求最多建多少个A类摊位． 解：(1)设每个A类摊位占地面积为x m2，则每个B类摊位占地面积为(x-2)m2.由题意，得 =×.解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意. B类：5-2=3(m2). 故每个A类摊位占地面积为5 m2，每个B类摊位占地面积为3 m2； (2)设建A类摊位的数量为m个，则建B类摊位的数量为(90-m)个，由题意，得 90-m≥3m，解得m≤22.5. 故最多建22个A类摊位. 一、选择题 1.在式子，，，中，分式有 (B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列分式中属于最简分式的是 (B) A． B． C． D． 3.若分式的值为正数，则x的取值范围是 (C) A．x＞-2 B．x＜1 C．x＞-2且x≠1 D．x＞1 4.计算÷(+1)的结果是 (A) A． B． C． D． 5.若分式“·”可以进行约分化简，则“〇”不可以是 (C) A．1 B．X C．-x D．4 6.若+＝，则+的值为 (B) A． B．3 C．5 D．7 7.若分式方程=+1有增根，则k的值是 (B) A．0 B．1 C．2 D．3 8.某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数.在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程-＝10，则题目中用“……”表示的条件应是 (B) A.实际每天多生产5个，延期10天完成 B.实际每天多生产5个，提前10天完成 C.实际每天少生产5个，延期10天完成 D.实际每天少生产5个，提前10天完成 二、填空题（每题4分，共16分） 9.若分式有意义，则y应满足y≠-6． 10.分式,-,的最简公分母是12x3y3. 11.若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1． 12.已知a为-2<a≤2范围的整数，则÷(a-1-)的值是. 三、解答题（共32分） 13.解方程： (1)-＝0； (2)+2＝． 解：(1)去分母,得3(x-3)-2x=0. 解得x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. ∴x=9为原方程的解； (2)去分母,得1-x+2(x-2)=-1. 解得x=2. 检验：当x=2时，x-2=0. ∴x=2是原方程的增根. ∴原方程无解． 14.已知=2,求的值. 解：由=2可知xy=2(x+y), 则= ===-. 15.某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ （2）若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ 解：(1)设甲工程队单独完成此项目需x天，则乙工程队单独完成此项目需1.5x天． 依题意，得+=, 解得x=40. 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．故甲工程队单独完成此项目需40天，乙工程队单独完成此项目需60天； (2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时，总的施工费用不超过22万元．根据题意，得 +=1, 0.6a+0.35b≤22. 解得b≥40． 故要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（五）分式与分式方程 考点1 分式有（无）意义及值为零的条件 【例1】要使分式有意义，则x的取值应满足 ( ) A．x≥3 B．x≠3 C．x＞0 D．x≠0 方法点拨：对于分式,当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义. 【针对训练】 1.若分式的值为0，则x应满足 . 考点2 分式的基本性质及约分 【例2】下列运算正确的是 ( ) A.= B.= C.= D.= 方法点拨：解决此类问题时，可先对分式的分子、分母进行因式分解，观察是否含有公因式，再进行约分,并注意灵活运用符号法则. 【针对训练】 2.化简分式:= . 考点3 分式的运算 【例3】计算：÷(1-). 方法点拨：分式的加减运算重点在于找到最简公分母，乘除运算重点在于找到公因式，二者均考查因式分解.在分式的化简过程中，要注意约去的公因式应不等于0，代入求值时，需对代入的值进行检验. 【针对训练】 3.先化简，后求值：（1- ）÷，其中a=2 023. 考点4 分式方程的解法 【例4】解方程：=. 方法点拨：先将分式方程转化为整式方程，再解分式方程，并注意验根. 【针对训练】 4.解方程：-1=. 考点5 分式方程的应用 【例5】某园林队原计划由6名工人对180 m2的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比原计划提前3 h完成.若每人每小时绿化的面积相同，求每人每小时绿化的面积. 方法点拨：列分式方程解决实际问题时，关键在于找准数量关系，根据数量关系列出方程后求解即可，最后注意验根及判断是否符合实际. 【针对训练】 5.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2 m2，用60 m2建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的． (1)求每个A，B类摊位的占地面积； (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，求最多建多少个A类摊位． 一、选择题 1.在式子， ， ，中，分式有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列分式中属于最简分式的是 ( ) A． B． C． D． 3.若分式的值为正数，则x的取值范围是 ( ) A．x＞-2 B．x＜1 C．x＞-2且x≠1 D．x＞1 4.计算÷(+1)的结果是 ( ) A． B． C． D． 5.若分式“·”可以进行约分化简，则“〇”不可以是 ( ) A．1 B．X C．-x D．4 6.若+＝，则+的值为 ( ) A． B．3 C．5 D．7 7.若分式方程=+1有增根，则k的值是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8.某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数.在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程-＝10，则题目中用“……”表示的条件应是 ( ) A.实际每天多生产5个，延期10天完成 B.实际每天多生产5个，提前10天完成 C.实际每天少生产5个，延期10天完成 D.实际每天少生产5个，提前10天完成 二、填空题（每题4分，共16分） 9.若分式有意义，则y应满足 ． 10.分式,-,的最简公分母是 . 11.若关于x的方程=+1无解，则a的值是 ． 12.已知a为-2<a≤2范围的整数，则÷(a-1-)的值是 . 三、解答题（共32分） 13.解方程： (1)-＝0； (2)+2＝． 14.已知=2,求的值. 15.某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ （2）若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$