第5章 分式与分式方程（思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第5章 分式与分式方程 （思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 知识点梳理04：分式方程的应用 5 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：分式的概念与性质 5 易错知识点02：分式的运算 6 易错知识点03：分式方程 6 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：认识分式 7 重点考点讲练01：分式的规律性问题 7 重点考点讲练02：分式无意义的条件 10 重点考点讲练03：求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 11 重点考点讲练04：求使分式值为整数时未知数的整数值 14 重点考点讲练05：将分式的分子分母各项系数化为整数 16 重点考点讲练06：最简分式 17 期末考向二：分式的乘除法 19 重点考点讲练07：分式乘除混合运算 19 重点考点讲练08：含乘方的分式乘除混合运算 21 期末考向三：分式的加减法 23 重点考点讲练09：分式加减混合运算 23 重点考点讲练10：分式加减的实际应用 26 重点考点讲练11：分式加减乘除混合运算 29 重点考点讲练12：分式化简求值 32 期末考向四：分式方程 34 重点考点讲练13：分式方程无解问题 34 重点考点讲练14：分式方程的行程问题 36 重点考点讲练15：分式方程的工程问题 38 重点考点讲练16：分式方程的经济问题 40 重点考点讲练17：分式方程和差倍分问题 42 重点考点讲练18：分式方程的其它实际问题 45 优选真题难度分层练 48 中档题—夯实基础能力 48 压轴题—强化解题技能 53 同学你好，本套讲义针对学校课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的概念与性质 1. 分式与整式的混淆： 学生可能无法准确区分分式和整式，特别是在分母中含有字母的情况下。例如，是分式，因为分母中含有字母 x；而是整式，因为分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件理解不清： 学生可能忽视分式有意义的条件是分母不能为0。例如，对于分式，当 b = 0 时，分式无意义。 3. 分式的基本性质应用错误： 学生可能错误地应用分式的基本性质，即分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。例如，将的分子和分母同时乘以 c（c≠0）得到是正确的，但将的分子乘以 c、分母乘以 d（c≠d且c,d≠0）得到则是错误的。 易错知识点02：分式的运算 1. 分式的乘除法运算错误： 学生可能在进行分式的乘除法运算时，出现分子与分子相乘、分母与分母相乘（乘法）或除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘（除法）的错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 2. 分式的加减法运算错误： 学生可能在进行同分母分式的加减法运算时，忘记分母不变、只将分子相加减的原则。或者在进行异分母分式的加减法运算时，不会先通分再加减。例如，计算时，错误地得到而不是。 3. 分式运算中的符号处理不当： 学生可能在分式运算中忽视符号的处理，导致运算结果错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 4. 分式化简不彻底： 学生可能在分式化简过程中，没有将分子和分母中的公因式完全约去，导致化简结果不是最简分式。例如，化简时，错误地得到而不是。 易错知识点03：分式方程 1. 分式方程无解与增根混淆不清： 学生可能无法准确理解分式方程无解与增根的区别。无解是指方程没有满足条件的解，而增根是在去分母过程中产生的、使最简公分母为0的解，它可能不是原方程的解。例如，解方程时，如果去分母后得到 x = 2x - 2，解得 x = 2，但代入最简公分母x(x−1)得0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。 2. 解分式方程时去分母错误： 学生可能在解分式方程时，错误地去分母或漏乘某些项。例如，解方程时，如果错误地去分母得到2(x−1)−(x+1)=(x+1)，则会导致后续计算错误。 3. 解分式方程后未检验： 学生可能在解出分式方程的解后，忘记将解代入最简公分母进行检验，从而可能得到增根或错误解。 4. 列分式方程解决实际问题时建模错误： 学生可能在列分式方程解决实际问题时，无法准确理解题意、找出等量关系并正确设立未知数，导致列出的方程错误。 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 1. 分式与分式方程的混合运算错误： 学生可能在进行分式与分式方程的混合运算时，出现运算顺序错误或符号处理不当等问题。 2. 分式与分式方程在几何问题中的应用错误： 学生可能无法将分式与分式方程的知识应用于解决几何问题，如利用分式方程求解图形的面积、周长等。 期末考向一：认识分式 重点考点讲练01：分式的规律性问题 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【思路点拨】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【规范解答】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 【训练2】（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式． 【规范解答】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， ∴第n个数为． 故答案为：． 重点考点讲练02：分式无意义的条件 【母题精讲】（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【规范解答】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 【训练1】（21-22八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义分母为零，进行计算即可，解题的关键是由分式无意义分母为零，列出方程并正确求解． 【规范解答】由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级上·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义， ∴， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 重点考点讲练03：求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【母题精讲】（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【思路点拨】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【规范解答】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 【训练2】（20-21八年级上·辽宁大连·期末）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0 解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3， 所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3． 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2） 【思路点拨】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可； （2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可． 【规范解答】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解， 根据“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞3， 解不等式组②得，x＜﹣3， ∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3； （2）由题得不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①，或②， 解不等式组①得，， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 重点考点讲练04：求使分式值为整数时未知数的整数值 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，从而可得的最大值，求解，又求出，再根据 是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值． 【规范解答】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ∴，． ∵M可以被9整除，， ∴是9的倍数， 又∵，且b为自然数， ∴，且是奇数， ∴，即． 解得：， ∵为一个“两同和七数”， ∴当时，则， ∴的最大值为； 又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即． ∴， 又∵，且a为正整数， ∴，且是奇数， 又∵是整数， ∴或或1或3， 解得：或4或3或2， ∴或4113或3114或2115． ∴满足条件 M 的最小值是：． 故答案为：；． 【训练1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【规范解答】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【训练2】（23-24八年级上·江西上饶·期末）整数 为 时，式子为整数． 【答案】 【思路点拨】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或． 故答案为：． 重点考点讲练05：将分式的分子分母各项系数化为整数 【母题精讲】（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【思路点拨】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【训练1】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）系数化成整数且结果化为最简分式：= ． 【答案】 【思路点拨】利用分式的性质，分子分母同乘100，再进行化简即可． 【规范解答】解：根据分式的基本性质得：， 故答案为：． 【训练2】（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【思路点拨】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 重点考点讲练06：最简分式 【母题精讲】（23-24八年级上·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键． 根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可． 【规范解答】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意； D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【训练1】（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【思路点拨】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【训练2】（21-22八年级下·河南平顶山·期末）下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据最简分式的定义即可求出答案． 【规范解答】解：①，故此分式不是最简分式，不符合题意； ②是最简分式，符合题意； ③，故此分式不是最简分式，不符合题意； ④是最简分式，符合题意； 故选：B． 期末考向二：分式的乘除法 重点考点讲练07：分式乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）（1）有三个不等式，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集； （2）计算∶ 【答案】（1）(答案不唯一)；（2） 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组，分式的乘除，熟练掌握相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键． （1）选择两个不等式组成不等式组并求得其解集即可； （2）利用分式的乘除法则计算即可． 【规范解答】解：（1）选择组成不等式组得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为； 选择组成不等式组得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为； 选择组成不等式组得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为； （2）原式 ． 【训练1】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）化简：． 【答案】 【思路点拨】先利用完全平方公式和平方差公式将式子变形，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答案． 【规范解答】解： ． 【训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．    【答案】14 【思路点拨】根据题意得到，，根据完全平方公式求出、根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得，，，，， ，， ， ， ． 重点考点讲练08：含乘方的分式乘除混合运算 【母题精讲】（2021九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【思路点拨】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【规范解答】解： 故选：B． 【训练1】（2021九年级·全国·专题练习）计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是 ． 【答案】﹣ 【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果． 【规范解答】解：原式＝ = =． 故答案为：﹣． 【训练2】（20-21八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【思路点拨】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）逆运用新公式，把变形为，再化简分式． 【规范解答】解：（1） ； ． 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ． 期末考向三：分式的加减法 重点考点讲练09：分式加减混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【规范解答】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级下·广东茂名·期末）阅读下面的材料，并解答问题． 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得 ． (1)若（，为常数），则______，______； (2)已知（，为常数），用材料中的解法求，的值； (3)化简：． 【答案】(1)1， (2) (3) 【思路点拨】本题考查新定义，分式加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可； （2）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可； （3）根据把这个分式表示成“部分分式”定义，变形为，再按分式加减法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： 去分母，得 ∴，解得：． 故答案为：1；． （2）解： 去分母，得 ∴，解得：， （3）解： ． 【训练2】（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明，小红 (2)，过程见解析 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算， （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解： 故小明计算错误； 故小红计算错误； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； （2）正确的解答过程如下： ． 重点考点讲练10：分式加减的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【规范解答】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 【训练1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【规范解答】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 重点考点讲练11：分式加减乘除混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【思路点拨】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 【训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）从、、这三个分式中选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后在、、、、中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，根据题意选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后根据分式有意义的条件取舍，在、、、、中选择一个恰当的数，代入求值． 【规范解答】解：选择、 ， ∵ 当时，原式， 当时，原式； 选择、， ， ∵ 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 选择、， ， ∵ 当时，原式， 当时，原式． 【训练2】（24-25八年级上·广东广州·期末）已知 (1)化简； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了分式混合运算和约分，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则进行计算即可； （2）把已知条件中的两个幂的底数都换成2，从而把用表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的换成，进行计算并约分即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 重点考点讲练12：分式化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【训练1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 【答案】，当时，原式的值为 【思路点拨】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题先根据分式的加减乘除运算可进行化简，然后代入能使分式有意义的值进行求解即可． 【规范解答】解：原式 ． ， 当时，原式． 【训练2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【规范解答】（1）解： ， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 期末考向四：分式方程 重点考点讲练13：分式方程无解问题 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题关键．将分式方程去分母转化为整式方程，解得，根据原方程无解得，即可求出的值． 【规范解答】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 【训练1】（24-25八年级上·四川德阳·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程得，由分式方程有增根的条件得，将其代入整式方程即可求解；理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键． 【规范解答】解：方程两边同时乘以得， ， 整解得：， 原方程无解， ， 解得：， ， 故答案为：． 【训练2】（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【思路点拨】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【规范解答】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 重点考点讲练14：分式方程的行程问题 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为，根据比原计划提前到达基地列分式方程求解即可． 【规范解答】解：设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：大巴车原计划的行驶速度是． 【训练1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 【答案】小明和小军所乘坐高铁的速度分别是 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设小军所乘坐的高铁速度为，根据小军比小明早到达临沂北站列方程求解即可． 【规范解答】解：设小军所乘坐的高铁速度为，则小明所乘坐的高铁速度为，由题意得，， 解得， 经检验原分式方程的解为， ， 答：小明和小军所乘坐高铁的速度分别是． 【训练2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米，而从A地运行至地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为千米/小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设提速的的车速为 千米/小时，则提速后的车速为 千米/小时，根据从A地运行至地的时长缩短了1小时，列出方程即可． 【规范解答】解：设提速的的车速为 千米/小时，则提速后的车速为 千米/小时， 由题意，得 ． 故选：A． 重点考点讲练15：分式方程的工程问题 【母题精讲】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【答案】10米 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案． 【规范解答】解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：施工队原计划每天修建保通便道10米． 【训练1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 【训练2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料 【思路点拨】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料．根据A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时建立方程求解． 【规范解答】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料． 根据题意，得： 解之得： 检验：当时，，且符合试题题意； 所以，原分式方程的解为， 所以，(千克)， 答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料． 重点考点讲练16：分式方程的经济问题 【母题精讲】（24-25八年级上·山东日照·期末）阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 【答案】10元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设第一批跳绳每个进价是元，则第二批跳绳每个的进价是元，根据第二次购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同列出分式方程求解即可． 【规范解答】解：设第一批跳绳每个进价是元，则第二批跳绳每个的进价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：第一批跳绳每个进价是10元． 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【答案】(1)安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品 (2)25元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的实际应用． （1）根据“4个A产品和1个B产品配成一套”列方程求解； （2）根据“花3000元购买了一些团圆套装，发现比上次恰好少买了20套”列方程求解． 【规范解答】（1）解：设应安排x名工人制作A产品， 根据题意，得． 解得：， ， 答：应安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品； （2）解：设一月份每套“团圆”套装的售价是y元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：一月份每套“团圆”套装的售价是25元． 【训练2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ (2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克 (2)超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元 【思路点拨】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【规范解答】（1）解：设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为元/千克， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克； （2）解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元， 由题意可得：， ∵， ∴w随a的减小而增大， ∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍， ∴， 解得， ∴当时，w取得最大值， 此时， ， 答：超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元． 重点考点讲练17：分式方程和差倍分问题 【母题精讲】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)60件 (2)5台 【思路点拨】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设人工每人每小时分拣件，根据每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排台分拣机，根据快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，列出不等式，求出最小正整数解即可． 【规范解答】（1）解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 【训练1】（24-25八年级上·河南安阳·期末）为提高工作效率，某公司引进了自动分拣流水线，一条流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的5倍，分拣5000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用8小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裏？ (2)某地转运中心预计每日需分拣的包裹高达60万件，现准备购买该自动分冻流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？ 【答案】(1)2500件 (2)10条 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程（不等式）是解题的关键． （1）设1名工人每小时分拣件包裹，则一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹．根据“用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用8小时”列分式方程，解方程即可； （2）设购买条自动分拣流水线．根据条自动分拣流水线24小时分拣量大于等于60万件列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【规范解答】（1）解：设1名工人每小时分拣件包裹，则一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． 由题意，得：， 解得， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为，且符合题意． 所以（件）． 答：一条自动分拣流水线每小时能分拣2500件包裹； （2）解：设购买条自动分拣流水线． 由题意，得， 解得， 答：至少应购买10条． 【训练2】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)6种 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元； （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，6，7，8，9，10， ∴工厂共有6种购买方案． 重点考点讲练18：分式方程的其它实际问题 【母题精讲】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）当前随着新能源汽车的智能化程度不断提高和续航里程不断增大，新能源汽车正加速进入汽车市场．“买新能源车到底划不划算？”仍是消费者最为关心的话题之一．我校八年级数理兴趣小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积 55升 电池容量 90千瓦时 油价 7.5元/升 电价 0.65元/千瓦时 续航里程 n千米 续航里程 n千米 据调查，该款燃油车每千米的行驶费用比该款新能源车多元．（注：续航里程是指车辆在加满燃料或电池充满电后，能够连续行驶的总距离） (1)这两款车每千米的行驶费用分别为多少？ (2)小明的爸爸想购买一辆小汽车，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别约为3150元和6100元，则从每年行驶里程的角度考虑，你能帮小明爸爸做出选择吗？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 (2)见详解 【思路点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出题中所蕴含的等量关系和不等关系列出分式方程和不等式是解题关键． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元可列出方程，即可求解； （2）设每年行驶的里程为千米，根据题意可得一元一次不等式，求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意，得， 解得：． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ， 答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元． （2）解：设每年行驶的里程为千米， 依题意，当燃油车的费用高于新能源车的费用时， 解得：． 答：当每年的行驶里程超过5000千米时，新能源车的年费用更低，选择新能源车更合算；当每年的行驶里程不足5000千米时，燃油车的年费用更低，选择燃油车更合算．当每年的行驶里程等于5000千米时，两款车都可以． 【训练1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某校计划组织800名师生前往西柏坡进行研学，现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少辆．求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数． 【答案】每辆型客车有个乘客座位，每辆型客车有个乘客座位 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设每辆型客车有个乘客座位，利用租用客车的数量每辆客车的乘客座位数，结合单独租用型客车的数量比单独租用型客车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值解题即可． 【规范解答】解：设每辆型客车有个乘客座位，则每辆型客车有个乘客座位， 根据题意得：， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， (个)， 答：每辆型客车有个乘客座位，每辆型客车有个乘客座位． 【训练2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)“丰收2号”单位面积产量为高 (2)12 【思路点拨】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键． （1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可； （2）用a表示出两块试验田的周长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴“丰收2号”单位面积产量高； （2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为， ∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴a的值为12． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式的值是0的条件．分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 【规范解答】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分式的基本性质， 根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D． 【规范解答】解：因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，不能化简，所以D不正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键． 根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可． 【规范解答】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元， 由题意得，． 故选：D． 4．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知，则的值为 ． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值．由已知得，再整体代入计算即可求出值． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：7． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】根据最简分式的特点，分式有意义的条件，解答即可． 本题考查了最简分式，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，写出的分式是． 故答案为：． 6．（2020·西藏·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算，即可解答．本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 【规范解答】解：∵， 去分母得：， 去括号得， 移项得， 解得：， 检验：当时，． ∴是原方程的根； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【思路点拨】先算乘方，再算乘除，最后把x、y的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． 【规范解答】解： ． 当，时，原式． 8．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质，乘法分配律； (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． （2）根据所给的解题过程即可得到答案； 【规范解答】（1）根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：分式的基本性质，乘法分配律； （2）甲同学的解法： 原式 ， 乙同学的解法为： 原式 9．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法正确计算是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程再求解，再检验即可； （2）先去分母，化为整式方程再求解，再检验即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【思路点拨】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【规范解答】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故选：D． 12．（24-25八年级上·山东泰安·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【规范解答】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 13．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【规范解答】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查代数式求值，分式的加法运算，涉及新定义运算，根据，得到，从而得到规律，运用规律计算即可得到答案，理解新定义运算并发现规律是解决问题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值． 【规范解答】解：由题知， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·辽宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【规范解答】解： ， ，即， ， 故答案为：． 17．（23-24九年级下·江西上饶·阶段练习）2023年10月1日，杭州亚运会田径铁饼赛场上，世界首次使用机器狗送铁饼．赛场上运铁饼的“小狗”，成了“显眼包”，某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为___________． 小琪同学：设甲机器狗这次运铁饼所用的时间是，可列方程为___________． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)， (2)过程见解析 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，依题意得，；设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，依题意得，； （2）解分式方程，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 依题意得，； 设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是， 依题意得，， 故答案为：； （2）解：， 方程两边同乘得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 机器狗这次运铁饼的速度是． 18．（24-25八年级上·四川南充·期末）2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？ (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元 (2)购买方案为：A款无人机模型3架，B款无人机模型15架；A款无人机模型6架，B款无人机模型10架；A款无人机模型9架，B款无人机模型5架 【思路点拨】本题考查分式方程解决实际问题，二元一次方程解决实际问题． （1）设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元，根据“用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据“用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完”列出二元一次方程，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【规范解答】（1）解：设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元．根据题意，得 方程两边乘，得， 解得， 经检验：时， 是该分式方程的解． 则B款无人机模型单价是：（元） 答：A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元． （2）解：设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据题意，得 ． ∵m、n均为正整数 或10或15； 此时或6或3 综上，购买方案为： A款无人机模型3架，B款无人机模型15架； A款无人机模型6架，B款无人机模型10架； A款无人机模型9架，B款无人机模型5架． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）春节将至，某中学计划在期末考试后组织八九年级共青团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民赠送手编小中国结．两个年级团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，九年级团员人数比八年级多．请你提出一个能用分式方程解决的问题并进行解答． 【答案】提出问题：求出八、九年级共青团员的人数？解答见解析（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确提出问题是解题的关键． 提出问题1：求出八、九年级共青团员的人数？则设八年级团员有人，则九年级的团员有人，根据八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，列出方程求解即可． 或提出问题2：求出八、九年级团员人均编制小中国结数？则设九年级人均编制个，则八年级人均编制个，根据九年级团员人数比八年级多．列出方程求解即可． 【规范解答】解：提出问题1：求出八、九年级共青团员的人数？ 解决问题：设八年级团员有人，则九年级的团员有人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：八年级的团员人数有60人，九年级的团员人数有72人； 或提出问题2：求出八、九年级团员人均编制小中国结数？ 解决问题：设九年级人均编制个，则八年级人均编制个， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：八年级人均编制12个，九年级人均编制10个． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期末）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】；若取，值为；若取，值为0． 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式等知识，正确求解是关键；先计算分式减法，再计算除法；再解一元一次不等式，并求出其正整数解，结合分式有意义的条件，选取一个正整数代入即可求解． 【规范解答】解： ； 解不等式，得：， 因解为正整数，故x取1，2，3，4； 但为使分式有意义，则， ∴， ∴x可以取1或2； 若取，则原式． 若取，则原式． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第5章 分式与分式方程 （思维导图+知识梳理+易错点拨+18大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 知识点梳理04：分式方程的应用 5 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：分式的概念与性质 5 易错知识点02：分式的运算 6 易错知识点03：分式方程 6 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：认识分式 7 重点考点讲练01：分式的规律性问题 7 重点考点讲练02：分式无意义的条件 8 重点考点讲练03：求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 8 重点考点讲练04：求使分式值为整数时未知数的整数值 9 重点考点讲练05：将分式的分子分母各项系数化为整数 9 重点考点讲练06：最简分式 10 期末考向二：分式的乘除法 11 重点考点讲练07：分式乘除混合运算 11 重点考点讲练08：含乘方的分式乘除混合运算 12 期末考向三：分式的加减法 12 重点考点讲练09：分式加减混合运算 12 重点考点讲练10：分式加减的实际应用 13 重点考点讲练11：分式加减乘除混合运算 14 重点考点讲练12：分式化简求值 15 期末考向四：分式方程 16 重点考点讲练13：分式方程无解问题 16 重点考点讲练14：分式方程的行程问题 17 重点考点讲练15：分式方程的工程问题 17 重点考点讲练16：分式方程的经济问题 19 重点考点讲练17：分式方程和差倍分问题 20 重点考点讲练18：分式方程的其它实际问题 22 优选真题难度分层练 23 中档题—夯实基础能力 23 压轴题—强化解题技能 25 同学你好，本套讲义针对学校课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的概念与性质 1. 分式与整式的混淆： 学生可能无法准确区分分式和整式，特别是在分母中含有字母的情况下。例如，是分式，因为分母中含有字母 x；而是整式，因为分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件理解不清： 学生可能忽视分式有意义的条件是分母不能为0。例如，对于分式，当 b = 0 时，分式无意义。 3. 分式的基本性质应用错误： 学生可能错误地应用分式的基本性质，即分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。例如，将的分子和分母同时乘以 c（c≠0）得到是正确的，但将的分子乘以 c、分母乘以 d（c≠d且c,d≠0）得到则是错误的。 易错知识点02：分式的运算 1. 分式的乘除法运算错误： 学生可能在进行分式的乘除法运算时，出现分子与分子相乘、分母与分母相乘（乘法）或除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘（除法）的错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 2. 分式的加减法运算错误： 学生可能在进行同分母分式的加减法运算时，忘记分母不变、只将分子相加减的原则。或者在进行异分母分式的加减法运算时，不会先通分再加减。例如，计算时，错误地得到而不是。 3. 分式运算中的符号处理不当： 学生可能在分式运算中忽视符号的处理，导致运算结果错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 4. 分式化简不彻底： 学生可能在分式化简过程中，没有将分子和分母中的公因式完全约去，导致化简结果不是最简分式。例如，化简时，错误地得到而不是。 易错知识点03：分式方程 1. 分式方程无解与增根混淆不清： 学生可能无法准确理解分式方程无解与增根的区别。无解是指方程没有满足条件的解，而增根是在去分母过程中产生的、使最简公分母为0的解，它可能不是原方程的解。例如，解方程时，如果去分母后得到 x = 2x - 2，解得 x = 2，但代入最简公分母x(x−1)得0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。 2. 解分式方程时去分母错误： 学生可能在解分式方程时，错误地去分母或漏乘某些项。例如，解方程时，如果错误地去分母得到2(x−1)−(x+1)=(x+1)，则会导致后续计算错误。 3. 解分式方程后未检验： 学生可能在解出分式方程的解后，忘记将解代入最简公分母进行检验，从而可能得到增根或错误解。 4. 列分式方程解决实际问题时建模错误： 学生可能在列分式方程解决实际问题时，无法准确理解题意、找出等量关系并正确设立未知数，导致列出的方程错误。 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 1. 分式与分式方程的混合运算错误： 学生可能在进行分式与分式方程的混合运算时，出现运算顺序错误或符号处理不当等问题。 2. 分式与分式方程在几何问题中的应用错误： 学生可能无法将分式与分式方程的知识应用于解决几何问题，如利用分式方程求解图形的面积、周长等。 期末考向一：认识分式 重点考点讲练01：分式的规律性问题 【母题精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【训练2】（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数） 重点考点讲练02：分式无意义的条件 【母题精讲】（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【训练1】（21-22八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 【训练2】（23-24八年级上·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练03：求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【母题精讲】（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【训练1】（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【训练2】（20-21八年级上·辽宁大连·期末）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0 解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3， 所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3． 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 重点考点讲练04：求使分式值为整数时未知数的整数值 【母题精讲】（24-25八年级上·重庆丰都·期末）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是 ．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是 ． 【训练1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（23-24八年级上·江西上饶·期末）整数 为 时，式子为整数． 重点考点讲练05：将分式的分子分母各项系数化为整数 【母题精讲】（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【训练1】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）系数化成整数且结果化为最简分式：= ． 【训练2】（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 重点考点讲练06：最简分式 【母题精讲】（23-24八年级上·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【训练2】（21-22八年级下·河南平顶山·期末）下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 期末考向二：分式的乘除法 重点考点讲练07：分式乘除混合运算 【母题精讲】（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）（1）有三个不等式，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集； （2）计算∶ 【训练1】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）化简：． 【训练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．    重点考点讲练08：含乘方的分式乘除混合运算 【母题精讲】（2021九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【训练1】（2021九年级·全国·专题练习）计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是 ． 【训练2】（20-21八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 期末考向三：分式的加减法 重点考点讲练09：分式加减混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于 ． 【训练1】（23-24八年级下·广东茂名·期末）阅读下面的材料，并解答问题． 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得 ． (1)若（，为常数），则______，______； (2)已知（，为常数），用材料中的解法求，的值； (3)化简：． 【训练2】（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 重点考点讲练10：分式加减的实际应用 【母题精讲】（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【训练1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【训练2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 重点考点讲练11：分式加减乘除混合运算 【母题精讲】（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）从、、这三个分式中选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后在、、、、中选择一个恰当的数代入求值． 【训练2】（24-25八年级上·广东广州·期末）已知 (1)化简； (2)当，求的值． 重点考点讲练12：分式化简求值 【母题精讲】（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中 【训练1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 【训练2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 期末考向四：分式方程 重点考点讲练13：分式方程无解问题 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25八年级上·四川德阳·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【训练2】（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 重点考点讲练14：分式方程的行程问题 【母题精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 【训练1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 【训练2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米，而从A地运行至地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为千米/小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 重点考点讲练15：分式方程的工程问题 【母题精讲】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【训练1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【训练2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 重点考点讲练16：分式方程的经济问题 【母题精讲】（24-25八年级上·山东日照·期末）阳光体育，快乐课间，近年来，我县各中小学校积极开展阳光大课间活动，为了配合此活动，助力学生健康成长．某体育用品商店用300元购进了一批跳绳，很快销售一空；商店又用360元购进了第二批该种跳绳，但这次每个跳绳的进价比原来涨了2元，结果所购进跳绳的数量和第一批所购进数量相同，求第一批跳绳每个的进价是多少元？ 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【训练2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ (2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 重点考点讲练17：分式方程和差倍分问题 【母题精讲】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【训练1】（24-25八年级上·河南安阳·期末）为提高工作效率，某公司引进了自动分拣流水线，一条流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的5倍，分拣5000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用8小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裏？ (2)某地转运中心预计每日需分拣的包裹高达60万件，现准备购买该自动分冻流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？ 【训练2】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 重点考点讲练18：分式方程的其它实际问题 【母题精讲】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）当前随着新能源汽车的智能化程度不断提高和续航里程不断增大，新能源汽车正加速进入汽车市场．“买新能源车到底划不划算？”仍是消费者最为关心的话题之一．我校八年级数理兴趣小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积 55升 电池容量 90千瓦时 油价 7.5元/升 电价 0.65元/千瓦时 续航里程 n千米 续航里程 n千米 据调查，该款燃油车每千米的行驶费用比该款新能源车多元．（注：续航里程是指车辆在加满燃料或电池充满电后，能够连续行驶的总距离） (1)这两款车每千米的行驶费用分别为多少？ (2)小明的爸爸想购买一辆小汽车，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别约为3150元和6100元，则从每年行驶里程的角度考虑，你能帮小明爸爸做出选择吗？（年费用年行驶费用年其它费用） 【训练1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某校计划组织800名师生前往西柏坡进行研学，现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少辆．求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数． 【训练2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 6．（2020·西藏·中考真题）方程的解为 ． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中， 8．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 9．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）解方程： (1) (2)． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 12．（24-25八年级上·山东泰安·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 16．（24-25八年级上·辽宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 17．（23-24九年级下·江西上饶·阶段练习）2023年10月1日，杭州亚运会田径铁饼赛场上，世界首次使用机器狗送铁饼．赛场上运铁饼的“小狗”，成了“显眼包”，某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为___________． 小琪同学：设甲机器狗这次运铁饼所用的时间是，可列方程为___________． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 18．（24-25八年级上·四川南充·期末）2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？ (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）春节将至，某中学计划在期末考试后组织八九年级共青团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民赠送手编小中国结．两个年级团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，九年级团员人数比八年级多．请你提出一个能用分式方程解决的问题并进行解答． 20．（24-25八年级上·山西忻州·期末）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$