江苏镇江卷（考试范围：苏科版七下全章）-2025-2026学年江苏十三市七年级数学下册期末模拟卷（苏科版）

**基本信息** 立足苏科版七下全章，以芯片制程、戏曲文化为情境，通过动态几何、新定义“内含解”等创新题型，融合抽象能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|图形性质、整式运算等|第7题平移面积计算，考查几何直观| |填空|6/18|科学记数法、命题逆命题等|第14题正多边形角度计算，体现空间观念| |解答|8/72|方程不等式、几何证明、应用探究等|21题采购应用题（模型意识），23题新定义“内含解”（推理能力），24题动态几何（创新意识）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中能用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．3 5．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为__________． 12．计算：______． 13．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 14．如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 15．若展开后的结果中不含x的二次项，则a的值为_________． 16．若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）计算与化简： (1)计算：； (2)先化简再求值：．其中． 18．（8分）解方程组、不等式组 (1) (2)． 19．（8分）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 20．（8分）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 21．（8分）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 22．（10分）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 23．（10分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 24．（12分）如图1，已知，射线与重合．如图2，射线从开始绕点逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时绕点顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当和延长线重合时与都停止，设转动的时间秒． (1)当时，求的度数； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)设射线交射线于点，延长交于点，如图2所示，写出与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C A D A A A C A 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 13. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 14. /144度 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1)2 (2)， 【分析】此题考查了负整数指数幂、零指数幂、整式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值后进行四则混合运算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开后合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （4分） （2） 当时， 原式 （8分） 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 得到，， 解得 将代入①得： 解得 ∴方程组的解为：；（4分） （2）解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：．（8分） 19．（8分） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2分） （2）解：如图所示，即为所求；（5分） （3）解：如图所示，即为所求．（8分） 20．（8分） 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；（5分） （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可）（8分） 21．（8分） 【答案】(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 (2)最多能采购A款服装150件 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元；（4分） （2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件．（8分） 22．（10分） 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴；（2分） （2）①解：∵，， ∴， ∴；（4分） ②解：∵，， ∴， 即：；（6分） （3）解：∵， ∴， ∵， ∴.（10分） 23．（10分） 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”；（3分） （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得；（6分） （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2．（10分） 24．（12分） 【答案】(1) (2)10或30 (3)或 【分析】（1）先推导出，再将代入求解即可； （2）分类讨论：①当时，如图， ②当时，逐个分析求解即可； （3）分类讨论：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，②当射线与直线的交点在点C的右侧时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：如图 由题意，得， ∴， 当时， ；（4分） （2）解：①当时，如图， 令射线，的交点为H， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（6分） ②当时，如图， 令射线，的交点为G， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为10或30；（8分） （3）解：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，如图 由题意及（1），得， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即；（10分） ②当射线与直线的交点在点C的右侧时，如图， 由题意及（1），得，，， ∵ ， ∴， ∵是的外角， ∴， 同①，可得， ∴， 即； 综上所述， 或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中能用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．3 5．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为__________． 12．计算：______． 13．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 14．如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 15．若展开后的结果中不含x的二次项，则a的值为_________． 16．若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）计算与化简： (1)计算：； (2)先化简再求值：．其中． 18．（8分）解方程组、不等式组 (1) (2)． 19．（8分）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 20．（8分）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 21．（8分）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 22．（10分）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 23．（10分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 24．（12分）如图1，已知，射线与重合．如图2，射线从开始绕点逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时绕点顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当和延长线重合时与都停止，设转动的时间秒． (1)当时，求的度数； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)设射线交射线于点，延长交于点，如图2所示，写出与的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试时间：100分钟 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对应运算法则逐一判断选项即可 【详解】解：∵和不是同类项，不能合并， ∴选项A错误； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，选项B错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，选项C正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，选项D错误 3．下列各式中能用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，即两个因式相乘时，需有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征才能用平方差公式计算。 【详解】∵ 平方差公式要求相乘的两个多项式满足：有一项完全相同，另一项互为相反数 ∴ 对各选项逐一判断： A选项 ，相同项为，但与不是互为相反数，不能用平方差公式计算； B选项 ，两项均互为相反数，没有相同项，不能用平方差公式计算； C选项 ，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算； D选项 ，两项均互为相反数，没有相同项，不能用平方差公式计算； 4．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】将已知解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】∵ 是关于、的二元一次方程的一个解， ∴ ， 整理得 ：， 解得． 5．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，故A错误； ∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，故B错误； ∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，再两边同时加，不等号方向不变， ∴，故C错误； ∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，再两边同时加，不等号方向不变， ∴，故D正确． 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 【答案】A 【分析】根据平行线的公理与性质，对顶角的概念逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：A 项：平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，是真命题； B 项：垂直于同一条直线的两直线平行，缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，故是假命题； C 项：过一点有且只有一条直线和已知直线平行，缺少“过直线外一点”的前提条件，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，结论不成立，故是假命题； D 项：相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角，故是假命题． 7．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质，可得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 8．如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ， 是的外角， ， ， ． 9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 10．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：本题中左边第一个不为零的数字为3，其前面共有9个0，因此可得． 12．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 13．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 14．如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 【答案】/144度 【分析】利用正多边形的性质求得正五边形的内角的度数及边，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得的度数，再结合邻补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ， ∴， ∵的延长线与交于点， ∴， ∴． 故答案为：． 15．若展开后的结果中不含x的二次项，则a的值为_________． 【答案】 【详解】解：， ∵展开后的结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 16．若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出每个不等式，不等式组无解意味着多个不等式没有公共部分，由此判断参数的取值范围． 【详解】解： 由①得， ∵不等式组无解， ∴与没有公共部分， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）计算与化简： (1)计算：； (2)先化简再求值：．其中． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】此题考查了负整数指数幂、零指数幂、整式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值后进行四则混合运算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开后合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （4分） （2） 当时， 原式 （8分） 18．（8分）解方程组、不等式组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 得到，， 解得 将代入①得： 解得 ∴方程组的解为：；（4分） （2）解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：．（8分） 19．（8分）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2分） （2）解：如图所示，即为所求；（5分） （3）解：如图所示，即为所求．（8分） 20．（8分）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；（5分） （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可）（8分） 21．（8分）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 (2)最多能采购A款服装150件 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元；（4分） （2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件．（8分） 22．（10分）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴；（2分） （2）①解：∵，， ∴， ∴；（4分） ②解：∵，， ∴， 即：；（6分） （3）解：∵， ∴， ∵， ∴.（10分） 23．（10分）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”；（3分） （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得；（6分） （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2．（10分） 24．（12分）如图1，已知，射线与重合．如图2，射线从开始绕点逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时绕点顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当和延长线重合时与都停止，设转动的时间秒． (1)当时，求的度数； (2)当与的一边平行时，求的值； (3)设射线交射线于点，延长交于点，如图2所示，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)10或30 (3)或 【分析】（1）先推导出，再将代入求解即可； （2）分类讨论：①当时，如图， ②当时，逐个分析求解即可； （3）分类讨论：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，②当射线与直线的交点在点C的右侧时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：如图 由题意，得， ∴， 当时， ；（4分） （2）解：①当时，如图， 令射线，的交点为H， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（6分） ②当时，如图， 令射线，的交点为G， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为10或30；（8分） （3）解：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，如图 由题意及（1），得， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即；（10分） ②当射线与直线的交点在点C的右侧时，如图， 由题意及（1），得，，， ∵ ， ∴， ∵是的外角， ∴， 同①，可得， ∴， 即； 综上所述， 或．（12分） 16 学科网（北京）股份有限公司 $