2025～2026学年北师大版八年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 这份北师大版八年级下册数学期末模拟卷，通过选择、填空及多层次解答题覆盖几何与代数核心知识，以动点问题、新定义“k值分式”等创新题型，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题18分|中心对称、坐标平移、分式方程等|基础巩固，考查几何直观与运算能力| |填空题|6题18分|不等式组、直线平移、正方形与函数|结合尺规作图，体现抽象能力| |解答题|10题84分|平行四边形证明、进货方案应用、动点与新定义等|分层设计，综合题如进货方案（模型意识）、新定义“k值分式”（创新意识），契合期末命题趋势|

2025-2026学年北师大版八年级下学期数学期末模拟试卷 满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：北师大版八年级下册 第I卷（选择题） 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把该图形绕一点旋转，所得的图形能与原图形重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据定义进行判断． 【详解】解：A选项：把该图形绕任何一点旋转，图形都不能与原图形重合，故A选项不符合题意； B选项：把该图形绕中间的点旋转，图形可以与原图形重合，故B选项符合题意； C选项：把该图形绕任何一点旋转，图形都不能与原图形重合，故C选项不符合题意； D选项：把该图形绕任何一点旋转，图形都不能与原图形重合，故D选项不符合题意． 2．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律求解即可. 【详解】解：∵点的坐标为，向下平移个单位长度， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后得到点的坐标是. 3．（本题3分）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 4．（本题3分）已知是分式方程的根，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知是分式方程的根，将代入原方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是分式方程的根， ∴将代入原方程可得 化简得 解得． 5．（本题3分）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 6．（本题3分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，沿折叠使点落在点，延长交于点，且．若，则，两点之间的距离是（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由平行四边形的性质得，，由折叠得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由折叠得， ， ，两点之间的距离是． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 7．（本题3分）不等式组的解集是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①： 移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得， 由②得， ∴原不等式组的解集为． 8．（本题3分）若，，则______． 【答案】 【详解】解：， 又，， 原式． 9．（本题3分）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路是先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再代入交点坐标计算得到的值． 【详解】根据一次函数图象平移规则，直线上下平移时，一次项系数不变，只改变常数项，向下平移个单位长度，常数项减，原直线解析式为，向下平移个单位长度后，平移后直线的解析式为：， 已知平移后的直线与轴交于点，将代入平移后的解析式得：， 因此， 故答案为：． 10．（本题3分）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，由作图可知，是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 11．（本题3分）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 12．（本题3分）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为：． 三、解答题（共30分） 13．（本题6分）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（本题6分）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式①：      解不等式②： 不等式①②的解集在数轴上表示如图： 不等式组的解集为：． 15．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 16．（本题6分）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 17．（本题6分）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 四、解答题（共24分） 18．（本题8分）为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ (2)该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件 (2)共有三种进货方案：方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件；方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件；方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． (3)甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元 【分析】（1）设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，依题意，购进两种商品的两种组合对应的总花费列方程组即可求解； （2）设甲种商品购进件，乙种商品购进件，根据总花费不超过给定值、甲商品数量与20的差大于乙商品数量的，可列一元一次不等式组，再由为整数，求得，即可得到进货方案； （3）设所获利润为W元，据利润公式列出总利润关于甲商品进货数量的函数表达式，根据一次函数的性质结合第（2）问中未知数的取值范围，即可确定最大利润对应的进货方案和最大利润值． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元． 根据题意，得 解得， 答：甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件． （2）设甲种商品购进件，乙种商品购进件． 根据题意，得 解得． 为整数， ． 共有三种进货方案： 方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件； 方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件； 方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． （3）设所获利润为W元． ， ， 随的增大而增大， ∴当取最大值时，W有最大值， ∴当时，元． 答：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元． 19．（本题8分）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 20．（本题8分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）根据题意可得图1中阴影部分的面积是：图2中阴影部分的面积是，即可解答； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是： 图2中阴影部分的面积是， 根据两部分阴影面积相等即可得到：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ② 五、解答题（共18分） 21．（本题9分）如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)①，；②时，四边形是平行四边形 (2)或 【分析】（1）①由题意得，，结合，即可求解；②由，当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可； （2）分两种情况：当点、在线段上时，当点、在线段的延长线上时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ， ； ② ，当时四边形是平行四边形，     ； （2）当点、在线段上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得； 当点、在线段的延长线上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形 则， ， 解得； 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 22．（本题9分）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 六、解答题（共12分） 23．（本题12分）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在点M，点M的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据坐标轴上A，B两点间的距离等于8个单位长度，列出方程，计算求解即可； （2）根据题意先确定的面积，进而求出的面积，利用的面积公式进行求解计算即可； （3）设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，分情况讨论当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧或右侧时的情况，由重叠面积为，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度， ，， ， 解得， 故答案为：2； （2）解：点M存在； 、， ， 的面积的面积， ， 当点M在x轴上时，设， ， ， ， 或， 答：存在点M，点M的坐标为或； （3）解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1， 由题意可知，秒后，点、、， 当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， 点在上， ； 当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， ， 点在上， ，即， 综上所述，点M的坐标为：或． 答：点M的坐标为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级下学期数学期末模拟试卷 满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：北师大版八年级下册 第I卷（选择题） 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如果，那么（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知是分式方程的根，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，沿折叠使点落在点，延长交于点，且．若，则，两点之间的距离是（     ） A． B． C．3 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 7．（本题3分）不等式组的解集是_________． 8．（本题3分）若，，则______． 9．（本题3分）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 10．（本题3分）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 11．（本题3分）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 12．（本题3分）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 三、解答题（共30分） 13．（本题6分）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 14．（本题6分）解不等式组： 15．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 16．（本题6分）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 17．（本题6分）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 四、解答题（共24分） 18．（本题8分）为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ (2)该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 19．（本题8分）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 20．（本题8分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 五、解答题（共18分） 21．（本题9分）如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 22．（本题9分）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 六、解答题（共12分） 23．（本题12分）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $