期末复习：旋转作图问题、利用旋转的性质证明或求边长专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦旋转作图与性质应用，通过坐标系变换和几何模型构建，系统覆盖图形变换核心考法 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转作图问题|3例+3变式|坐标系中旋转、平移、中心对称作图及旋转中心确定|从基本旋转作图到平移、中心对称综合应用，强化空间观念| |利用旋转的性质证明或求边长|3例+3变式|等边/等腰直角三角形背景下旋转构造全等证明与边长计算|从旋转性质直接应用到复杂情境模型构建，培养推理意识|

期末复习：旋转作图问题、利用旋转的性质证明或求边长专项训练 期末复习：旋转作图问题、利用旋转的性质证明或求边长专项训练 考点目录 旋转作图问题 利用旋转的性质证明或求边长 考点一 旋转作图问题 例1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； (2)平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图：即为所求； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）连接交y轴于点F即为所求，然后写出点F的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：旋转中心的坐标为． 例2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； (2)若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________； (3)画出关于点成中心对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用平移的性质画图； （2）利用勾股定理求解； （3）找出对称中心，利用中心对称的性质画图． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据勾股定理得，平移的距离为； （3）解：如图所示，即为所求． 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． （2）解：如图，△即为所求． ． 变式2．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2)如图所示，即为所求 【分析】（1）根据平移的性质以及点的坐标为，画出； （2）根据旋转的性质画出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)把先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标； (2)把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质画图，然后写出点的坐标； （2）根据旋转的性质画图，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； 点的坐标为． 考点二 利用旋转的性质证明或求边长 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【答案】(1) (2)的值最小为 (3)道路的长为 【分析】（1）先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，可得，即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，连接，则是等边三角形，再进一步求解即可． （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴点A，C在线段的垂直平分线上，点B，N在线段的垂直平分线上，即与互相垂直平分． 设与的交点为F，则为直角三角形，，， ∴， ∴， 即的值最小为． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接，过点A作，垂足为H，则． ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴ ． 根据旋转的性质可知，，，， ∵， ∴，即点G在的延长线上， 在中，， ∴， 由勾股定理，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 即道路的长为． 例2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． (2)如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)的最小值为4， 【分析】（1）根据题意得，证明，即可得出结论； （2）根据题意得，证明，即可得出结论； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）解：成立，理由： ∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （3）解：由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到（与重合），则 ，如图； ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4， ∴． 例3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． (1)四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． (2)求点与点的坐标． (3)如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)既是轴对称又是中心对称 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)的长为或 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的特征，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理进行求解即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，四边形既是轴对称又是中心对称图形． （2）解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点． 为等边三角形，点的坐标为， ，， ， ， ， 点的坐标为． 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． （3）解：的长为或． 由（2）知，，， ， ． 由旋转得． 如图2，当时， ， ， ， ， ． 如图3，当时， ， 为等边三角形， ， ． 综上所述，的长为或． 变式1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)等边，4 (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据题中所给解题过程进行求解即可； （2）以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，则有，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，由题意易得，则有，然后可得当A、B、F共线时，最大，此时最大，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）（一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； (2)如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)不成立，见解析； (3)线段的长为10． 【分析】（1）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明，可得结论； （3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：不成立，应为， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：在上取一点，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为10． 变式3．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可得出结论； （2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵是由绕点A逆时针旋转得到的， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：旋转作图问题、利用旋转的性质证明或求边长专项训练 期末复习：旋转作图问题、利用旋转的性质证明或求边长专项训练 考点目录 旋转作图问题 利用旋转的性质证明或求边长 考点一 旋转作图问题 例1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； (2)平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 例2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； (2)若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是________； (3)画出关于点成中心对称的图形． 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点） 变式2．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出． 变式3．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)把先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标； (2)把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标． 考点二 利用旋转的性质证明或求边长 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 例2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． (2)如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 例3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）综合与实践 如图1，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点为点旋转后的对应点，连接． (1)四边形_____（填“是轴对称”或“是中心对称”或“既是轴对称又是中心对称”）图形． (2)求点与点的坐标． (3)如图2，延长．将绕点顺时针旋转（）得到，线段与射线交于点．当为直角三角形时，直接写出的长． 变式1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）（一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； (2)如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 变式3．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $