湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高一年级数学阶段练习覆盖复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过新定义“双界函数”（题19）、“圆柱容球”历史情境（题11）及四棱锥证明（题18），考查抽象能力、空间观念与创新意识，适配月考阶段评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算（1）、直观图面积（2）、面面平行判定（4）|基础题梯度设计，如题4通过线面关系考查逻辑推理| |多选|3/18|概率性质（9）、函数图象与性质（10）、圆柱容球综合（11）|题11结合阿基米德典故，体现文化传承与几何直观| |填空|3/15|向量共线（12）、频率分布直方图分位数（13）|题13考查数据处理能力，落实数据意识| |解答|5/77|集合运算（15）、解三角形（17）、四棱锥二面角（18）、双界函数新定义（19）|题19以新定义考查抽象与推理能力，题18通过证明与计算发展空间观念|

高一年级阶殷练习 数学参考答案 题号 1 2 4 8 9 10 11 答案 D A B B CD AC ABD 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【解析】(1-2i)(a+6i)=(12+a)+(6-2a)i,若(1-2i)(a+6i)∈R,则6-2a=0,a=3. 2.B【解析】在直观图中，OA'=2,OB=22,则在原图形平行四边形OABC中OA=2, OB=4V2,所以原图形的面积为OAXOB=2X4√2=8√2. 【解析】因为一组数据x1,x2,…xn的平均数为x,方差为s2,则数据3x十2,3x2十2， …,3xn十2的平均数为3元十2，方差为9s2. 4.D【解析】对于A,B,如图，作长方体ABCD-A1B1CD1,取平面ABCD,平面DCCD分别为平面a,B 因为a∩B=DC,且AB1∥DC,且AB1史a,A1B1中B,则A1B1∥a,AB1∥B,显然可 D C, B 作无数条与A1B,平行且不在平面a,B内的直线，即存在无数条直线与Q,B都平行， A 但a,B不平行，故A错误； D 因为平面BCCB,与平面a,B均垂直，且显然可作无数个与平面BCCB1平行的平 面，即存在无数个平面与a,B都垂直，但Q,B不平行，故B错误； 对于C,若a与B相交，可在a内取a平行于交线，在B内取b也平行于交线，满足a∥b,a∥B,b∥a,但无法推出 a∥B,故C错误； 对于D,异面直线aCa,bCB,a∥B,b∥a,可在B内作出a'∥a,在a内作出b'∥b,可得a',b是B内的相交直线， a,b是a内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出a∥B,符合要求 5.C【解析】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)， (2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共4种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为急=号. 6.A【解析】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，从而圆台的高为 3,所以圆台的体积V=了xX(1+2+1×2)×3=75 3元 7.B【解析】因为函数f(x十1)为偶函数，所以f(x十1)=f(-x十1)，则f(x+2)=f(一x), 又因为f(一x)=一f(x),所以f(x十2)=f(-x)=-f(x),则f(x十4)=-f(x十2)=f(x), 所以函数f(x)是周期为4的周期函数.在式子f(x)十f(一x)=0中，令x=0,得到f(0)=0, 所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2,f(2028)=f(4×507)=f(0)=0, 故f(2025)+f(2028)=2+0=2. 高一数学(T)参考答案一1 8.B【解析】由题意得，a·c=|a|cl cos60°=|a|,由a+2c|≥|a-cl,得|a+2cl≥a-c,即a2十4ta·c +42c≥a2-2a·c十c2,化简得162+4|alt+2a|-4≥0.令f(t)=16t+4|alt+2|a|-4,其图象开口向 上，要使f()>≥0恒成立，则△=16la2-4×16×(2|a|-4)≤0，解得|a|=4. 又l2a+bl+lb+cl≥|(2a+b)-(b+c)l=|2a-cl, |2a-c=√4a2-4a·c十c2=2√13，所以|2a+bl+|b+c的最小值为2√13. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.CD【解析】选项A:若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6,故A错误； 选项B:若B二A,则P(AB)=P(B)=0.2,故B错误； 选项C:若A与B相互独立，则A与B也相互独立，则P(AB)=P(A)(B)=[1一P(A)门[1一P(B)门=0.6× 0.8=0.48,故C正确； 选项D:P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6-P(AB)=0.52,P(AB)=0.08=P(A)P(B),则A与B相 互独立，故D正确.故选CD. 10.AC【解析】对于A,由图象可知，最小正周期T=4(-平）=6x-2红，所以w= 国为图象过点(7,3)，所以3=3sin(号×要+9)，又gl<登，所以9=登， 所以f(x)=3sim(号x+冠)，故A正确： 对于B,f(图)=3sin(号×+登)=3sin哥-3，故B错误： 2 对于C,令f八x)≥是，则sin(行x+登)≥，所以晋+2≤行x+是≤+2km,∈z,解得晋+6k<x≤要 十6x,k∈Z,所以不等式fx)≥号的解集为[6kx十圣，6kx+平]，k∈Z,故C正确： 对于D,将fx)的图象向右平移受个单位长度后，得到y=3sim(行x+)的图象，当z[-,]时，号x +语∈[一号，号]，此时函数y=3si(行x+)在区问[-后，]上单调递增，故D错误.故选AC 11ABD【解析】对于A,由球的半径为r,可知圆柱的底面半径为r,圆柱的高为2r,则球的表面积为4，圆柱 的表面积为2π2十2πr·2r=6π2，所以球与圆柱的表面积之比为2：3，故A正确； 对于B,短形ABCD所在发面如图所示，过点0作OG1D0,于点G,则由题可得OG=是× D 03 2X4-25,设点O到平面DEF的距离为d1,平面DEF裁得球的藏面圆的半径为1，则山 255 ≤0G,片=-=4一f≥4-号=号，所以平面DEF我得球的藏面面积最小值为9，故 B正确； 对于C.由题可知四面体CDEF的体积等于2Yg-m点E到平面D00,的距离dE(0,2],又Sam=号×4 高一数学(T)参考答案一2 X4=8,所以2Vsm,=号×8d=1g2∈(0，号]，放C错溪： 对于D,由题可知，点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设P在底面的射影为P',则PP'=2,PE=√2十PE,PF=√22+PF, 0 P'E+P'F2=16,设t=P'E,则t∈[0,4]，PE+PF=√2+t+√22+16-t, 所以(PE+PF)2=(√22+t+√22+16-t)2=24+2√-2+16t+80 =24+2V√-(t-8)2+144∈[24十8V5,48],所以PE+PF∈[2+2W5,4V5].故D正确.故选ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12.0【解析】因为向量a=(3,1),b=(1,2),所以c=ka一b=(3k-1,k-2), 若b∥c,则2X(3k-1)一1X(k-2)=0,解得k=0. 13.82【解析】设这200名学生成绩的61%分位数为x, 因为前4组频率之和为10×(0.005+0.01十0.015十0.025)=0.55<0.61， 前5组频率之和为10×(0.005+0.01+0.015+0.025+0.03)=0.85>0.61， 所以这200名学生成绩的61%分位数落在第5组[80,90)内， 所以0_L6195,解得x=82,所以这200名学生成绩的61y%分位数为82. 0.3 4[-号，] 【解析】在△ABC中，由正弦定理及sin2B=sin A sin C,得b2=ac, 由余孩定理，得cosB=十8_+a≥20a25=号又国为B∈0，m0,所以0<B≤骨 2ac 2ac 2ac 记m=√2sin(B+T),则sin2B=m2-1. 因为0<B≤登，所以至<B+晋<登，从而1<m≤厄， 所以(x+1+sin2B2+[V2·sin(B+)]≤1，可化为(z+m2)+(m)2≤1， 即x2+2m2x十m+2m2-1≤0有解，所以依题有△=4m-4(m十2m2-1)≥0， 化简得m1,即恒成立，又1㎡≤2，则<品<1，得≤号，则-罗≤<号 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解析】(1)当a=2时，由x-2<2,解得0<x<4,所以A=(0,4),…2分 行0，解得-2<x≤1，所以B=(一2,1， ………4分 所以A∩(CaB)=(0,4)∩(-oo,-2]U(1,十∞)=(1,4).… …6分 (2)由x-a<2,解得a-2<x<a十2，所以A=(a-2,a十2)，… 8分 又“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B二A,… 10分 a-2≤-2， 已知B=(-2,1],可得 解得-1<a≤0， (a+2>1, 所以实数a的取值范围为（一1,0]. ……13分 高一数学(T)参考答案一3 16.【解析1K1)因为函数f(x)=a,22为定义域为[-a-2,6]的奇画数， 2F+1 所以f(-x)=-f(x),即a:2-2=-a2*-2 2-2+1 …2分 2:+1 所以222-0,2+2，整理得(a一2)(2十1）=0，解得a=2,… 2+12+1 …3分 因为函数的定义域为[-a-2,b],则一a一2十b=0,解得b=4,…4分 所以Q=2,b=4.… …5分 (2)当x∈[2,3]时，f(x)=2C2>0,由2+mf(+2>0恒成立，可得-m<(22》2+1D恒成立， 22+1 2(2-1) 即当]时，m<[221 …7分 令1=2-1，u∈[3,7]，则-m<什3)+22=+5+6=+3+5 2t 2t 2 t2 ……9分 令g)=专++号4G[3,门，易知g0)在区间[3,7门上单调递增， ……………11分 所以g(t)mm=g(3)=5, …12分 所以-m<5,则m>一5， 则实数m的取值范围为（一5，十∞）.… …15分 l7.【解析】(l)由sinC+√3cosC=a及正弦定理得sinC+√3cosC- sin Bsin A,…1分 即sin Bsin C√3 sin Bcos C=√3sinA, …2分 即sin Bsin C+√3 sin Bcos C=√3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C,… …3分 所以sin Bsin C=√3 cos Bsin C,因为sinC≠0，所以tanB=√3， …4分 国为B∈(0，)，所以B=于 …5分 (2)由余弦定理得62=a2+c2-2 accos B,.即3=a2+c2-2acc0s5, 所以a2+c2-ac=3. …6分 又△ABC的面积为S-acain B-合acsm号-停，所以ac=l, …7分 所以(a十c)2=a2十c2十2ac=3十3X1=6,…8分 所以a十c=√6.… …9分 (3)由(1)知B=子，6=3，则2R=sA 6=3 -sin Asin Csin B sin号 所以a=2sinA,c=2sinC, 10分 所以Sc=方siB=-9.2sinA·2sinC=5 sinsin(A+5) 11分 4 =5A(分nA+停csA)-5(合1=gs24+9·克n2A） -1-s2+2A-9-9(A+5》 …12分 高一数学(T)参考答案一4 0<A<登， 由、 得<A<登 …13分 0<C=-A<受 所以2A+∈（径，），所以cos(2A+背）∈[-1，-2)， …14分 所以号s(2A+5)<3 2 所以△ABC西积的取值范因是（停，3] …15分 18.【解析】(1)取PD的中点E,连接ME,CE,如图. :M为PA的中点，ME=2AD,ME∥AD, …1分 :N为BC的中点且四边形ABCD为菱形，∴NC∥AD,NC=合AD, .NC∥ME,NC=ME,四边形MNCE为平行四边形，MN∥EC,…3分 又MNt平面PCD,CEC平面PCD,MN∥平面PCD.…5分 (2)如图，连接PO,,PB=PD,O是BD的中点，∴PO⊥BD, 由菱形ABCD知AC⊥BD,又PO∩AC=O,PO,ACC平面PAC,BD⊥平面PAC,…7分 BDC平面ABCD,,平面PACL平面ABCD.…8分 (3)如图，过点B作BF⊥PC于点F,连接DF,OF BDL平面PAC,PCC平面PAC,.BD⊥PC BF⊥PC,BD,BFC平面BDF,BF∩BD=B、 PC⊥平面BDF,PC⊥DF,PC⊥OF ∠BFD为二面角B-PC-D的平面角.… 12分 PC⊥OF,PA⊥PC.PC,PA,OF共面，OF∥PA, ,O是AC的中点，F是PC的中点，又BF⊥PC, PB=BC=2,FC-PC=是，BF=VBC-FC= 2 ……14分 :F是PC的中点，又DF⊥PC,∴DF=VDC-FC= 2 os∠BFD-BRLORDBD=-, 2BF·DF :二面角B-PC-D的平面角的余孩值为一 。…17分 高一数学(T)参考答案-5 19.【解析】(1)(1)证明：当a-b∈P,即2≤a-b≤3时，则12≤6(a-b)≤18，即f(a)-f(b)∈[12,18] 因为[12,18]二[9,18]，所以f(a)-f(b)∈Q,所以当=6时，f(x)是P到Q的双界函数.…2分 (1)若f(x)是P到Q的双界函数，则当a-b∈P,即2≤a一b≤3时， 9≤f(a)-f(b)=(ka十m)-(b十m)=k(a-b)≤18恒成立， 公9 即9≤(a-b)≤18，即 恒成立， …4分 。 因为2<a-3,故3≤。是。号6≤a。≤9， 9 由≥。96成立，可得≥号由K6恒成立，可得6，故号<≤6， 即实数灰的取值范围为[昌6] …6分 (2)依题意得，当a-b=3时，f(a)-f(b)=4, 所以f(b+3)一f(b)=4,所以f(x十3)=f(x)十4，… …7分 易知函数y-x十e在[0,3)上单调递增，分析可得f(x)在x∈[3k,3k十3)，k∈Z上单调递增，在该区间上的 f(x)mm=f(3k),k∈Z,… …8分 则当x∈[2025,2028)时，fx)mm=f(2025);当x∈[2028,2031)时，f(x)mn=f(2028),…, 又因为f(2025)<f(2028)<f(2031)<…,故f(x)在[2028，十∞)上的最小值为f(2028), f(2028)=f(2025)+4=f(2022)+4×2=…=f(0)+4×676, 由f(0)=0十e°=1，得f(2028)=1+2704=2705,即f(x)在[2028，十∞)上的最小值为2705.…9分 (3)证明：由题得，(2)≤a-6≤（合）"时，（合）<fa)-f)<()》”， …10分 令a=x+(合)，b=x+(合)，则(2)≤fa)-fo)=f[x+(号)]-fx+(号)]≤(2)①， 令a=x+(合)”，6=，则（号）<fa)-f6)=fx+(2)]-fx)≤(2)广®， ①+@可得，2（侵）≤x+(号)]-f)2(分)”， 即（合”≤f[x+(号）门]f)<(合）.… …12分 令a=x+(合)”，6=z,则（合）≤fa)-f)=f[x+(号)”]-fx)≤（合）》”， …14分 所以f[+()门-)-（侵）： …15分 则f+m…(侵)]=[x+a-(2)]+(侵)”-[+m-2(号)”]+2（侵）”=-) +·(合)，所以x+m·(侵)]一fx)=n·(侵合)”， 所以f(x)是A到B的双界函数. …17分 高一数学(T)参考答案一6 高一年级阶段练习 数 学 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1.若(1-2i)(a+6i)∈R,则实数a等于 A.-3 B.-2 C.2 D.3 2.如图，正方形O'A'B'C'的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 A. B. C. D.4 3.已知一组数据x₁,x₂,… xn的平均数为,方差为s²,则数据 的平均数和方差分别为 A. B. C. D. 4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 A.存在无数条直线与α，β都平行 B.存在无数个平面与α，β都垂直 C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 5.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为 A. B. C. D. 6.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB 的四等分点，则该圆台的体积为 A. B. C. D. 7.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(-x)=0,f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则 f(2025)-f(2028)= A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知平面向量, , ,且| |=2,向量与所成的角为60°,且|+2t |≥|- |对任意实数t每成立,则|2+ |+| + |的最小值为 A B. C. D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.2,则下列说法正确的是 A.若A与B 互斥,则P(A∪B)=0.52 B.若B⊆A,则P(AB)=0.08 C.若A与B 相互独立，则P(AB)=0. D.若P(A∪B)=0.52,则A 与B 相互独立 10.已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确.的是 A. B. C.不等式 的解集为 D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在 上不单调 11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球， 为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O₁的一条直径，若球的半径r=2,则 A.球与圆柱的表面积之比为2：3 B.平面DEF 截得球的截面面积最小值为 C.四面体CDEF 的体积的取值范围为 D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF 的取值范围为 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得 分 答案 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知向量=(3,1), =(1,2), = k-,若∥,则k= . 13.某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，这100名学生的成绩都分布在区间[40，100]内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为 . 14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 若关于x的不等式 (x+ 有解，则实数t的取值范围为 . 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分13分) 已知集合 (1)若a=2,求A,B及A∩(CRB); (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知奇函数 的定义域为[-a-2,b]. (1)求实数a,b的值; (2)当 时， 恒成立，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角 B; (2)若 的面积为 求a+c的值； (3)若 为锐角三角形，求 面积的取值范围. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中， M,N分别为PA,BC的中点,底面四边形ABCD 是边长为2 的菱形且 AC交BD 于点O。 (1)求证: (2)求证:平面 (3)求二面角B-PC-D的平面角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 设P，Q是两个非空数集，若定义在R上的函数 f(x)对任意a， 当 时,f(a)- 则称f(x)为P到Q的双界函数. (1)设P=[2,3],Q=[9,18],f(x)=kx+m. (i)证明:当k=6时,f(x)是P 到Q 的双界函数; (ii)若 f(x)是 P 到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若P=f(x)是P到Q 的双界函数,当. 时， 求 f(x)在 上的最小值. (3)设集合 其中 若 f(x)是P到Q 的双界函数，证明：f(x)是A到B的双界函数. 学科网（北京）股份有限公司 $