立体几何初步期末备考专项讲与练16——侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以墙角模型为核心，通过教材溯源-模型提炼-多维应用构建专项突破体系，强化构造法转化能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|5道教材习题|夯实模型本源，从长方体截棱锥等实例抽象侧棱垂直本质|由具体几何体到侧棱两两垂直共性特征的归纳| |知识梳理|1个核心模型|构造长方体转化法，外接球直径=体对角线长（2R=√(a²+b²+c²)）|模型定义-构造转化-量化公式的逻辑链| |跟踪训练|17题（选择8/多选2/填空3/解答4）|外接球计算、线面角、体积等问题的构造应用|基础计算-空间角与距离-综合证明的能力递进，培养几何直观与推理能力|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练16 测试范围：侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型） 回归教材： 【人教A版数学必修二习题8.3第2题】如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比. 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体的几何特征，我们可得，，两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，，即，，．由长方体，得，，两两垂直，所以，于是．故剩下几何体的体积，因此，． 【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出，，两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键． 【人教A版数学必修二第8.6.2节练习第4（2）题P152】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，，，垂足都为P，则点O是的_____心. 【答案】 垂 【分析】由，可得平面，进而可得，又，可得平面，进而可得，同理可得,，从而得出答案。 【详解】因为，，且，平面 所以平面，所以，因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以，同理可得：, 故，点O是的垂心。 【点睛】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力。 【人教A版数学必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【答案】证明见解析 【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论. 【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直，求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直. 证明：如答图所示，, 平面VBC，∵平面VC， ∴平面平面VBC. 同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC. 【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第15题】如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【答案】平面GEF，平面GSE，平面GSF. 【分析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后，根据线面垂直的判定定理即可判定. 【详解】折前∴折后. 又SG，EG，FG交于一点G.根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF，同理可证：平面GSE，平面GSF. 【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直. 【人教A版数学必修二习题8.6第17题】求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. 【答案】证明见解析 【分析】 写出命题，根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线垂直，结合线面垂直关系证明线线垂直. 【详解】已知：平面. 求证：. 证明：如图所示，因为， 在平面内作异于的直线，，， 所以，因为，所以，， 所以所以，又所以， 所以，同理可得. 【点睛】此题考查线面平行的性质，面面垂直的性质，考查对线面平行、线面垂直、面面垂直性质的综合应用. 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 【分析】（1）由折叠可知三条直线两两垂直，利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，再由线面垂直性质证求证； （2）由折叠可知三条直线两两垂直，，可求解. 【详解】（1）正方形中，，，折起后，有，， 平面，，∴平面，∵平面PEF，∴. （2）正方形中，，折叠后可知三条直线两两垂直，， ，. 【知识梳理】 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体、正方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)， 【跟踪训练】 一、单选题 1．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：A. 2．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补形为正方体，得到直线与所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】如图所示： 补形为正方体，直线与所成的角为，可求，，所以，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：C 3．已知在三棱锥中，，，两两垂直，，，的外接圆的面积分别为，，，若点，，，都在球的表面上，且球的表面积为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由直角三角形的外接圆，长方体的外接球，根据勾股定理，可得答案. 【详解】设，，，则，，的外接圆半径分别为，，，所以，球的半径，，所以.故选：A. 4．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证平面，所以为直线与底面所成的角，所以，可求得体积． 【详解】∵，点E为的中点， ∴， ∵，，两两垂直，则，平面，∴平面， ∴为直线与底面所成的角，由题意可知，，∴， ∴三棱锥的体积．故选：C． 5．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值. 【详解】取的中点，连接，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角，因为，，，所以， 即与所成角的余弦值为.故选：C 6．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即，又，所以，则，于是由正弦定理，的外接圆半径为，故球心到面的距离为.所以点到面距离的最大值是.故选：C. 7．在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作面于，连接，由线面角的定义得为所求角，再利用等体积法求得，即可求解. 【详解】如图，过作平面于，连接，则为直线与平面所成的角， 因为，又，平面，所以平面，又，，，所以， 又易知，可得中，边上的高长为， 所以，由，得到，所以，在中，， 8.在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是， 的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC中点Q，连接PQ、BQ，根据线面垂直的判定定理，可证平面BPQ，即可得，结合题意，根据线面垂直的判定及性质定理，可证，同理，将补成一个正方体，根据条件，求得正方体边长，根据正方体体对角线为外接球直径，即可求得外接球半径r，即可得答案. 【详解】取AC中点Q，连接PQ、BQ，如图所示，因为PA=PC，Q为AC中点，所以， 又是正三角形，所以，又，平面BPQ，所以平面BPQ，又平面BPQ，所以， 因为，分别是，的中点，所以为中位线，所以，又因为，所以，且，，平面，所以平面，所以，同理，则，，两两垂直如图将补成一个正方体，如图所示，由题意得：，则，又正方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球半径，所以. 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定、性质定理，并灵活应用，对于侧棱两两垂直的三棱锥，外接球即为所在正方体的外接球，考查空间想象能力，属中档题. 二、多选题 9．已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用等体积法求得内切球的半径，利用补形的思想求得外接球的半径，结合锥体表面积和体积公式来确定正确答案. 【详解】依题意，三棱锥中，、、两两垂直，，， 故可将其补形为长方体，如下图所示： 对于A，由上可知，所以， ，所以，A选项正确. 对于B，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球的直径即为长方体的对角线长，B选项正确. 对于C，，C选项正确. 对于D，，D选项错误.故选：ABC 【点睛】当三棱锥的三条棱两两垂直时，可将其补形为长方体再研究其外接球. 10．如图，三棱锥C中，PA，PB，PC两两垂直，，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点P到平面ABC的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【分析】对于A，根据线面垂直即可得到；对于B，C，用等体积法解题；对于D，补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】对于A，由已知P平面PBC，得平面PBC， 又平面PBC，故，A正确；对于B，因为PA，PB，PC两两垂直，则，故B错误；对于C，设Р到平面ABC的距离为h，BC的中点为E，连接AE，易知，所以， 所以，解得.所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；对于D，因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为，故D错误.故选：AC． 三、填空题 11．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________． 【答案】/ 【详解】由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形，其面积分别为，，，即，，．三式相乘得，所以，三棱锥的体积为． 12．已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 【答案】 【分析】设点在底面内的射影为点，连接、、，求出、的长，可知平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】设点在底面内的射影为点，连接、、， 则为等边的中心，因为正三棱锥的侧棱两两垂直，，则， 则是边长为的等边三角形，由正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，则，，所以，，则，所以，平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆，所以，平面截点的轨迹所得曲线的周长为. 13．如图，已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，且，则与平面的所成角为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用长方体体对角线与共点的三个面所成角的余弦关系列式求解. 【详解】由三棱锥的三条侧棱两两垂直，得平面两两垂直， 则线段可视为顶点在线段上的某个长方体的体对角线，由，得与平面所成角，与平面所成角，设与平面所成角为，由长方体对角线性质，得，解得，所以与平面的所成角为． 四、解答题 14．如图，在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，得到三棱锥外接球即为长方体的外接球即可求解； （2）设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解. 【详解】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 所以三棱锥外接球即为长方体的外接球，所以所求外接球半径为，三棱锥外接球的表面积为； （2）设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． (1)若，求点P到平面的距离； (2)若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）由等体积法求点面距离即可； （2）（ⅰ）根据题意求得，进一步有，由此即可得解；（ii）只需求得的最大值为，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，． 设P到平面的距离为h，则．又， 所以，，所以P到平面的距离为． （2）（ⅰ）在三棱锥中，过P作于D，连接， 因为，，，所以平面，故． 又因为，，所以平面，所以， 因此为二面角的平面角，所以，在直角中，， 因为，所以． （ⅱ）在中，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立．又因为，所以，在直角中，， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，三棱锥体积的最大值为． 16．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，是的垂心．求证：    (1)底面； (2)是锐角三角形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）连结并延长交于点．由垂心得到，再结合可证平面，得到，同理得到即可求证； （2）由余弦定理即可求证. 【详解】（1）连结并延长交于点． 因为是的垂心，所以．易知平面，平面，所以． 又因为，平面，平面，所以平面，而平面，所以．同理，．因为，平面，平面，所以平面． （2）设，可得， 所以， 所以为锐角，同理为锐角，所以是锐角三角形． 17．如图，在四棱锥中，两两垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）第一步：利用线面垂直的判定定理和性质证明；第二步：求出相关线段长，证明三角形相似，从而得到；第三步：利用线面垂直的判定定理并结合线线平行证得平面 （2）第一步：利用已知条件得到与的面积；第二步：证明四边形为菱形并求其面积；第三步：证明，并求的面积；第四步：相加即可得解. 【详解】（1）因为两两垂直，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以．因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以．因为，平面，平面，所以平面，因为，所以平面． （2）因为两两垂直，，所以与的面积都是．连接， 因为，，所以垂直平分，且，又， 所以，所以，所以，所以四边形是菱形，又， 所以菱形的面积为．因为，，，所以，因为，，所以，所以的面积为．所以四棱锥的表面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练16 测试范围：侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型） 回归教材： 【人教A版数学必修二习题8.3第2题】如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比. 【人教A版数学必修二第8.6.2节练习第4（2）题P152】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，，，垂足都为P，则点O是的_____心. 【人教A版数学必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【人教A版必修二习题8.6第15题】如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【人教A版数学必修二习题8.6第17题】求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 【知识梳理】 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体、正方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)， 【跟踪训练】 一、单选题 1．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 2．已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知在三棱锥中，，，两两垂直，，，的外接圆的面积分别为，，，若点，，，都在球的表面上，且球的表面积为，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C． D． 5．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，两两垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8.在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是， 的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，三棱锥C中，PA，PB，PC两两垂直，，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点P到平面ABC的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 11．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________． 12．已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为______． 13．如图，已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，且，则与平面的所成角为______． 四、解答题 14．如图，在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． (1)若，求点P到平面的距离； (2)若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积；（ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 16．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，是的垂心．求证：    (1)底面； (2)是锐角三角形． 17．如图，在四棱锥中，两两垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $