精品解析：北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期5月月考高二数学试题

北京交大附中2025—2026学年第二学期5月月考 高二数学 2026.05 说明：本试卷共4页，共120分．考试时长90分钟． 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 18 D. 24 4. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 函数的极小值点是（ ） A. 0 B. C. -1 D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “函数在区间上单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若直线与曲线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 9. 设函数．若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为____________． 12. 函数的单调递减区间是___________． 13. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 14. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 15. 已知数列的各项均为非负数，前项和为，.给出下列四个结论： ①当时，为常数列； ②对于，存在常数，使得恒成立； ③当时，为递增数列； ④对于，. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题（共5小题，共55分，应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程） 16. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 17. 已知． （1）求与y轴的交点A的坐标； （2）若的图象在点A处的切线斜率为，求的极值． 18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 20. 对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. （1）设集合，直接写出，，的值； （2）设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； （3）设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025—2026学年第二学期5月月考 高二数学 2026.05 说明：本试卷共4页，共120分．考试时长90分钟． 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可． 【详解】公差, 则. 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中计算即可. 【详解】由得， 所以. 故选：B 3. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按个位是否为0分类讨论可得. 【详解】个位是0的有个，个位是2的有个，共有没有重复数字的四位偶数个. 4. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则； 令，则； ． 5. 函数的极小值点是（ ） A. 0 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的导数，令，解得， 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故函数的极小值点为. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 7. “函数在区间上单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将函数在区间上单调递减转化为满足条件的的取值范围，再根据两个范围的包含关系判断充分必要条件. 【详解】由得： ，  因为恒成立，因此在上单调递减等价于对成立， 即在上恒成立. 令，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在区间上单调递增， 因此最大值为，所以.  命题：在单调递减 ；命题：. 若，必有，即，充分性成立； 若，推不出（例如满足不满足），即，必要性不成立. 因此“在单调递减”是“”的充分不必要条件. 8. 若直线与曲线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得. 【详解】设切点坐标为，. 则，解得. 令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以方程的根为． 故选：B. 9. 设函数．若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参数赋值法结合函数导数判断各个选项； 【详解】根据题意，函数．若在上恒成立即函数在上的最大值为. 法一： 因为，所以 当时，在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；A错误； 当时，令，因为，所以在上单调递减，当时，， 在上的最大值不为0，不符合题意；C错误； 当时，令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 即函数在上的最大值为.符合题意；D正确； 当时， 令得存在，满足 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 即函数在上的最大值为.不符合题意；B错误； 法二： 对于A，当时，在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意，A错误； 对于B，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0.B错误； 对于C，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0，C错误； 对于D，当时， 当，在上单调递增，在上单调递增， 当，在上单调递减，在上单调递减，综上可知在上恒成立，D正确； 故选：D. 10. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得在上的取值范围要包含上的取值范围，分别求函数在，上的取值范围，列不等式可求结论. 【详解】若，，使成立， 则在上的取值范围要包含上的取值范围， 当时，，， 当时，，， 当时，，不合题意， 当时，，函数在单调递增， 则时，， 符合题意， 当时，我们进行如下讨论， 若时，，函数在单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， ， 所以，解得，所以， 综上的范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件，，使成立，转化为在上的取值范围要包含上的取值范围. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数之和的性质，即的所有二项式系数之和为，代入指数计算. 【详解】根据二项式系数的定义，展开式的二项式系数为， 因此所有二项式系数之和为，所以. 12. 函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 13. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 14. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分析计算即可. 【详解】第一空：由曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 又曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：； 第二空：方程正实根为， 设函数，则， 由， 当时，， . 15. 已知数列的各项均为非负数，前项和为，.给出下列四个结论： ①当时，为常数列； ②对于，存在常数，使得恒成立； ③当时，为递增数列； ④对于，. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据递推公式解方程，结合首项可判断①；先放缩，然后解不等式，结合首项可判断②；先根据首项范围判断的范围，然后利用判断单调性可判断③；根据首项分类讨论，当时，由利用累加法，结合的范围即可判断④. 【详解】对①，若，则，解得（负根已舍去）， 又，所以由归纳法可知恒成立，正确； 对②，若，则，解得， 又，所以由归纳法可知恒成立，正确； 对③，若，则，解得， 所以当时，由归纳法可知，总有， 所以，即，所以此时数列单调递减，错误； 对④，由上可知，当时，总有，所以成立； 当时，总有，因为， 所以，所以，数列单调递增. 又，，...，， 由累加法可得， 所以， 所以， 因为当时，对任意都有，所以，， 所以，所以， 所以. 综上，，，正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（共5小题，共55分，应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程） 16. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； （2）写出，由分组求和法求和． 【小问1详解】 设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）， ． 17. 已知． （1）求与y轴的交点A的坐标； （2）若的图象在点A处的切线斜率为，求的极值． 【答案】（1） （2）极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）令，求即可得解； （2）利用导数的几何意义可得，再根据导数判断函数的单调区间，即可求函数的极值. 【小问1详解】 令，则， 所以与y轴的交点A的坐标. 【小问2详解】 由，得， ， 解得， ，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值. 故函数极小值为，无极大值. 18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 （3）应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据结合频率、频数之间的关系运算求解； （2）分析可知随机变量的可能值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （3）以区间的中间值作为估计值，结合题意分别求两种方案的得分平均数，进而对比分析. 【小问1详解】 因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. 【小问2详解】 因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. 【小问3详解】 方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的极值； （3）已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）时，无极值；时，的极大值为，无极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【小问1详解】 当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问3详解】 由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 20. 对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. （1）设集合，直接写出，，的值； （2）设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； （3）设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【答案】（1）；； （2） （3）676 【解析】 【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可. （2）先分析集合的元素特征，证明中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项. （3）先根据的元素个数限制推导集合、为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解的最大值. 【小问1详解】 ；；. 【小问2详解】 由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立. 不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以. 所以所求数列的通项公式为 . 【小问3详解】 设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列. 同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意. ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $