精品解析：广东揭阳真理中学2025-2026学年八年级下学期下学期第二次综合训练数学

2025-2026学年度第二学期第二次综合训练八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则表示的值的点落在（　　） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 8. 若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法确定 9. 若关于x的方程有增根，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 甲、乙两地相距32千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用去6小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果是________ 12. 若关于的不等式组共有2个整数解，则的取值范围是______． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 15. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于点D，E，若，则______． 三、解答题（第16-18题，每题7分，第19-21题，每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标为， ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为______． 19. 下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程． 解：原式甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 任务： （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____； （3）请你写出该分式化简的正确结果． 20. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为-21． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 22. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： （1）填空：因式分解______； （2）若a、b满足，求的值； （3）已知a是任何实数，若，，通过计算判断M、N的大小关系； （4）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，设与墙壁垂直的一边长为x米． ①试用x的代数式表示菜园的面积；②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 23. 如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第二次综合训练八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、，不是因式分解，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上．分别解不等式，利用数轴表示解集，即可得到答案． 【详解】解：解得， 解得， 将解集表示在数轴上： ∴不等式组的解集为， 故选：A． 4. 下列各式由左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题分式的基本性质和代数式的变形，熟练掌握基本性质是解题的关键； 根据分式的基本性质，和代数式的运算法则逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】A．，变形不成立，故本选项不符合题意； B．，正确，故本选项符合题意； C．成立的前提是，当c = 0 时分母为零，无意义，变形不一定成立，故本选项不符合题意；． D．，变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识；由等腰直角三角形的性质得出，再证，得，然后由三角形外角的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意：要从数与形两个方面来理解这种关系，才能很好地完成本题，体现了数形结合的数学思想． 求不等式的解集，就是求自变量x取哪些值时，一次函数的函数值大于一次函数的函数值，体现在图象上，则是一次函数的图象位于一次函数的图象上方，因此观察图象即可得出不等式的解集． 【详解】解：由于当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，故不等式的解集为． 故选：C． 7. 如图，若，则表示的值的点落在（　　） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 【答案】D 【解析】 【分析】将代入化简求值，再根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ， ， 表示的值的点落在第④段， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值、数轴，正确求出分式的值是解题关键． 8. 若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 9. 若关于x的方程有增根，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x+3=0，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：x+a-2=0， 由分式方程有增根，得到x+3=0， 解得：x=-3， 把x=-3代入x+a-2=0得：−3+a-2=0， 解得：a=5 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点． 10. 甲、乙两地相距32千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用去6小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．根据往返时间为6小时即可建立分式方程． 【详解】解：由题意得：顺水速度为：千米/时，逆水速度为千米/时 故方程为：． 故选：C． 二、填空题（每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是先提公因式，再利用完全平方公式作进一步的分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若关于的不等式组共有2个整数解，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等式组有2个整数解即可确定m的取值范围． 【详解】 解①得， 解②得， 不等式的解集为， 不等式组有2个整数解， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组及不等式组的整数解的应用，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负以及分式有意义则分母不为零求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得 15. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于点D，E，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质、角平分线的性质、所对的直角边等于斜边的一半等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，连接，由是的垂直平分线可得，继而知道，则是的角平分线，得出，进而求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（第16-18题，每题7分，第19-21题，每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，在数轴上表示见解析． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 分别解每一个不等式，取公共解即可 【详解】解： 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．根据题意等式两边同时乘以，将分式方程变成整式方程，移项合并同类项即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， ， ， 经检验，是原方程的根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标为， ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为______． 【答案】（1）①见解析；①2，4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可； ①根据平移的性质即可求解； （2）根据中心对称的性质，连接、、的交点就是对称中心． 【小问1详解】 解：①如图所示， ； ②由图形得，将平移到的过程可描述为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度； 【小问2详解】 解：如图所示 连接、、的交点为． 故答案为：． 19. 下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程． 解：原式甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 任务： （1）在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 （2）在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____； （3）请你写出该分式化简的正确结果． 【答案】（1）C； （2）乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）丁同学利用的分式的基本性质； （2）乙同学去括号时，变号错误； （3）根据分式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形； 故选C； 【小问2详解】 乙同学去括号时，变号错误； 故答案为：乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； 【小问3详解】 原式 ． 20. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 【答案】（1）A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100 元和 75 元 （2）16 套 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用和一元一次不等式的应用，根据题意列分式方程和不等式是解题的关键． （1）设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元，用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等，据此列方程并解方程即可； （2）设购进品牌套，根据总利润不少于1200元列一元一次不等式并解不等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元， 检验：经检验是原方程的解， 答： A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100元和75元． 【小问2详解】 设购进品牌套， 答： 最少购进A品牌的服装16套． 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为-21． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】（1）另一个因式，a的值为5 （2）另一个因式为，p的值为15 【解析】 【分析】（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k． （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p． 【小问1详解】 解：设另一个因式为 则 ∴ 解得：， 另一个因式，a的值为5 【小问2详解】 解：设另一个因式为， 得， 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，p的值为15． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 22. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： （1）填空：因式分解______； （2）若a、b满足，求的值； （3）已知a是任何实数，若，，通过计算判断M、N的大小关系； （4）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，设与墙壁垂直的一边长为x米． ①试用x的代数式表示菜园的面积；②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2） （3） （4）①；②当时，菜园面积最大，最大面积为50平方米 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，负整数幂，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解即可； （2）根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质求出值，利用负整数幂法则进行计算即可； （3）计算并配方，根据结果判断即可； （4）①根据长方形的面积公式计算即可；②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ； ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①由题意可得：菜园的面积为：； ②∵ ， ∴当时，菜园面积最大，最大面积为50平方米． 23. 如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①，；②，，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质． （1）由等角减同角，于是利用证明即可得到证明； （2）①由题意易得和均是等边三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则； ②由题意易得为等腰直角三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则，由等腰直角三角形的性质可得，于是可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴和均是等边三角形，， 同（1）可证明， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②，，理由如下： 同（1）可证明， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中边上的高， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $