精品解析：广东省揭阳市普宁市流沙中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2024-2025第二学期第二次阶段学科训练题 八年级数学科 说明：1．全卷共4页，用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 的中垂线上 D. 的中线上 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 6. 若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为，，，，其中，，则原正方形菜地的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A. 值随值的增大而减小 B. 该函数图象经过第一、三、四象限 C. 关于的方程的解是 D. 不等式的解集为 9. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是______． 13. 某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，但其利润率不能低于，那么这种商品最多可以打____折． 14. 已知关于这方程无解，则的值为_____________． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并在数轴上表示其解集． 17. 先化简，再求值：，其中x是的小数部分． 18. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若点Q是的中点，求证：． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息： 的取值 2 分式的值 无意义 0 3 （1）则的值是______，的值是______； （2）求出的值． 20. 如图2、图3是图1所示的某公共汽车双开门的俯视图，，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启（如图3）时，A，D分别沿，的方向匀速滑动，带动B，C滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知． （1）如图3，当时，求门打开的宽度； （2）如图3，当时，求此时门打开的宽度． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． （1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； （2）观察图2，可以发现代数式可以因式分解__________； （3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： （2）探究问题：请判断下面两种情况下，，之间的数量关系，直接写出结论，并选择其一给予证明； （Ⅰ）当点在线段的延长线上，且时，如图②； （Ⅱ）当点在线段的延长线上时，如图③； （3）拓展思考： 在（1）（2）的条件下，若，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025第二学期第二次阶段学科训练题 八年级数学科 说明：1．全卷共4页，用时120分钟，满分为120分． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 此题主要考查了中心对称的概念，注意中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，选项不是最简分式，故不符合题意； D、，选项不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 3. 两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 的中垂线上 D. 的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，根据角平分线的判定推出在的角平分线上，即可得到答案．能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选：A． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D. 等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 5. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 6. 若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 即 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 7. 如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为，，，，其中，，则原正方形菜地的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．根据四部分的面积和为，即，因此正方形的边长为． 【详解】解：， 原正方形的边长为， 故选：C． 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 关于的方程的解是 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选D． 9. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，由等腰三角形的性质得（米），然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∴第2025次旋转结束后，图形旋转了， 如图所示，旋转后的图形为作轴于H， ∵，， 设则 在中 （负值舍去） ∵点在第二象限， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的两个点，则它们的坐标符号相反成为解题的关键． 根据关于原点对称的两个点的坐标特点求得a，b的值，然后的值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，但其利润率不能低于，那么这种商品最多可以打____折． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种商品可以打折，根据其利润率不能低于，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设这种商品可以打折， 根据题意得：， 解得：， 即这种商品最多可以打7.5折， 故答案为：7.5． 14. 已知关于这的方程无解，则的值为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的方程无解， ∴当整式方程无解时，，解得， 当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，再在数轴上表示不等式的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化1，得， 在数轴上表示为： 17. 先化简，再求值：，其中x是的小数部分． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，无理数的估计，解题关键是注意运算顺序． 先将前面小括号内通分，再作除法，化为最简后代入求值． 【详解】解： ， ∵x是的小数部分， ∴， ∴当时， 原式 ． 18. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若点Q是的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）用尺规作出线段BC的垂直平分线； （2）先由线段的中点结合垂直平分线的性质得出，再利用等边对等角，得出，，再根据，得出． 【小问1详解】 解：如图，直线l、点Q即为所作． 【小问2详解】 证明：∵点Q在线段的垂直平分线上， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规线段的垂直平分线，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息： 的取值 2 分式的值 无意义 0 3 （1）则的值是______，的值是______； （2）求出的值． 【答案】（1），2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据当时，分式无意义，即分母为0，即可求出b值； 当时，分式的值为0，即可求出a值． （2）将a，b的值代入分式，再根据当分式的值为3时，得到，解分式方程即可求出结果． 本题主要考查分式，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格数据得， 当时，分式无意义， ∴， 解得， 当时，分式的值为0， ∴ 解得： 故答案为：，2． 【小问2详解】 解：根据（1）知，分式为 当分式的值为3时，即 整理得， 解得：， 检验，为分式方程的解． 20. 如图2、图3是图1所示的某公共汽车双开门的俯视图，，，是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时（如图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启（如图3）时，A，D分别沿，的方向匀速滑动，带动B，C滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知． （1）如图3，当时，求门打开的宽度； （2）如图3，当时，求此时门打开的宽度． 【答案】（1）为 （2）为 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据含的直角三角形的性质求出，则，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程求出x的值，然后根据线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵． ∴，， ∴， ∴， 答：门打开的宽度为； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 解得：， ∴ 答：此时门打开的宽度是． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【小问1详解】 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． 【小问2详解】 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润万元． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． （1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； （2）观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________； （3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解的等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 【答案】（1）、； （2） （3）①；②的值为； ③ 【解析】 【分析】本题主要考查了通过不同方式计算图形面积或几何体体积来推导因式分解等式．掌握图形结合方法是解题的关键． 根据图形列出其面积或体积的代数式，然后推导出因式分解等式，并运用这些等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：； ②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：； ①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：． 【小问2详解】 解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为． 【小问3详解】 解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：， 从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以； ②由①知，移项可得：， 进一步变形为：， 已知，，代入可得： ； ③对因式分解，观察发现． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： （2）探究问题：请判断下面两种情况下，，之间的数量关系，直接写出结论，并选择其一给予证明； （Ⅰ）当点在线段的延长线上，且时，如图②； （Ⅱ）当点在线段的延长线上时，如图③； （3）拓展思考： 在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ），理由见解析 （3）10或18 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）（Ⅰ）在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （Ⅱ）在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ，即； 【小问2详解】 解：（Ⅰ）当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （Ⅱ）当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H，使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 故答案为：10或18． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点，并添加合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $