精品解析：2026年山东省潍坊市寿光市中考二模考试数学试题

2025-2026学年度第二学期二模学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，，， ∴， 三个负数的绝对值分别为，，， 可得． 根据两个负数比较大小，绝对值大的数更小，可得， ∴最小的数是． 2. 随着北斗系统全球组网的推进，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟．北斗芯片的工艺已达0.000000022米．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 榫卯是我国古代建筑、家具及器物的经典结构构件，其中凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某构件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图规则，俯视图是从上往下看得到的平面图形．观察实物图可知，该构件上部宽、下部窄（呈燕尾状），且上部顶面为矩形．从上往下看，能看到上部顶面的轮廓（实线），而下部较窄的轮廓被上部挡住，应画为虚线． 【详解】解：∵该几何体上部宽、下部窄（由立体图及主视图形状可知为倒梯形结构）， ∴从上往下看时，最上方的面宽度最大，其轮廓可见，画为实线矩形． ∵下部构件宽度较小，被上部构件遮挡， ∴下部构件的棱不可见，应画为虚线， ∴俯视图为外部是实线矩形，内部有两条竖直虚线， 即俯视图是． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解∶A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 5. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，文中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数，甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”大致意思为：“甲、乙两人带着钱，不知道有多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48；若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各持有多少钱？”下列结论正确的是（ ） A. 甲持有24钱，乙持有36钱 B. 甲持有36钱，乙持有24钱 C. 甲持有12钱，乙持有36钱 D. 甲持有36钱，乙持有12钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意设出未知数，列出方程组求解即可得到结果． 【详解】解：设甲原持有钱，乙原持有钱. 根据题意列方程组得， 解得， . 答：甲原持有钱，乙原持有钱． 6. 图①是共享单车的实物图，图②是其示意图．已知，，点，，三点在同一条直线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质、三角形的内角和是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 7. 如图，可看作飞镖盘抽象而成的圆形，直径，．小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，直径， ． 飞镖落在阴影部分的概率为． 8. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：． 9. 如图，在中，，顶点，，点在轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数的表达式，平面直角坐标系里平移的性质，两点之间的距离公式等知识点． 利用待定系数法求直线的表达式，利用等腰三角形的性质和两点之间的距离公式得到，继而根据勾股定理得到，继而得到直线的表达式，令，得到点的坐标． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，分别代入表达式，得，解得， 直线的表达式为， ， ，， ， ， ， ， 直线的表达式为， 令，解得， ． 10. 小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动：白球始终以的速度匀速运动；黑球从点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为（单位：），此过程中黑球的运动速度与时间满足，黑白两球之间的距离为（单位：），且与满足的二次函数图象如图②所示．该图象与轴交于点，最低点为．则下列说法：①；②；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距；④黑白两球相距时，此时，正确的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据黑球速度公式求出黑球停止运动的时间；根据两球速度相等时距离最近求出；利用待定系数法得出 y 与 x 的函数关系式；分别代入数值验证各个说法即可． 【详解】解：由题意，黑球速度． 当黑球停止运动时，，即 ，解得，所以，故②正确； 当黑白两球速度相等时，两球距离最近，即，解得，所以 ，故①正确； 可知该图象与轴交于点，最低点为． 设与满足的二次函数为，把代入得到， 解得， ∴与满足的二次函数为， 当黑球刚好停止运动时，， ， 即此时两球相距，故③正确； 当时，， 整理得 ， 解得 ． 即黑白两球相距  时， 或，故④错误． 综上所述，正确的是①②③． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知，是方程的两根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键． 首先求出，，然后将通分后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 故答案为：． 12. 如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 13. 若关于的不等式有且仅有个负整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解一元一次不等式得到解集，再根据不等式有且仅有个负整数解的条件，判断的端点取值范围，确定最终结果． 【详解】解：解不等式，得， 不等式有且仅有一个负整数解， 满足条件的唯一负整数解是， 若，不等式不存在负整数解，不符合题意， 若，不等式至少存在和两个负整数解，不符合题意， 的取值范围是． 14. 如图，在中，，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得，结合可证是等腰直角三角形，从而求出和的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据线段的和差关系求出的长． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 在中，，， ， ． 在中，，， 由勾股定理得：， 点在线段上， ． 15. 定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，每个点的横坐标与前一个点横坐标的差都等于0.2），则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据取整函数定义，函数值的规律，利用互为相反数的和为0化简计算，得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，点的横坐标满足， ∵，其中表示不超过的最大整数， ∴， ∵相邻点横坐标差为， ∴函数值每5个一组，一组内5个数相等，每到下一组，函数值加1， 对于，其纵坐标的取值是从到的整数，每个整数值出现5次， 故， 又， 所以． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为代入求值． 【答案】（1） （2）化简结果为，原式 【解析】 【分析】（1）根据二次根式、负整数指数幂、有理数乘方的运算法则，分别计算各项再合并即可得到结果． （2）根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选择合适的m代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 根据分式有意义的条件，可得，， 解得，，， ∴， 代入得，原式． 17. 如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． （1）求和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式即可计算，进而得到点坐标，设点横坐标为，则点坐标为，结合面积公式求出，继而得到点坐标，由此即可示得； （2）联立解析式可求得交点坐标，再结合图象可得x的取值范围． 【小问1详解】 一次函数过点， ∴ ，解得， ∴一次函数解析式为 ， 当时，， ∴点坐标为， ∴， 设点坐标为， ∵轴，在一次函数上， ∴点坐标为， ∴，其中，， 代入得： ，  整理得，解得或（舍去）， ∴点坐标为， 又∵在反比例函数上， ∴． 【小问2详解】 联立函数解析式， 解得或， ∴两个交点为和，结合图像性质可得： 当或． 18. 某学校计划购买甲、乙两种型号的机器人模型．经市场调研得到以下信息： 信息一：甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多150元： 信息二：用4500元购买甲型机器人模型和2700元购买乙型机器人模型的数量相同． （1）求甲型、乙型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买甲型和乙型机器人模型共40台，购买乙型机器人模型的数量不超过甲型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买甲型和乙型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1） 甲型机器人模型单价为375元，乙型机器人模型单价为225元 （2） 购买甲型机器人模型10台，乙型机器人模型30台时花费最少，最少花费为8400元 【解析】 【分析】（1）设乙型机器人模型单价为元，则甲型机器人模型单价为元，根据题意列关于的方程并求解即可； （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意列关于的一元一次不等式组并求其解集；设共花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设乙型机器人模型单价为元，则甲型机器人模型单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲型机器人模型单价为375元，乙型机器人模型单价为225元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台， 根据题意，得，解得． 设共花费元， 根据题意，得， ， ∴随着的增大而增大， 当时，最小，． 则． 答：购买甲型机器人模型10台，乙型机器人模型30台时花费最少，最少花费为8400元． 19. 人工智能时代，软件已在工作、学习中发挥着重要作用．某研究团队选择甲、乙、丙三款主流软件从“性能”（满分100分）和“使用体验”（满分100分）两个维度开展了综合测评．已知甲、乙、丙三款软件的“性能评分”分别为85分，88分，89分：“使用体验最终评分”则由10名专业测试员打分后取平均分确定． 请阅读下文甲、乙、丙三款“使用体验”评分的相关分析材料，并解决问题． 【数据获取】甲、乙、丙三款软件“使用体验”评分的数据如下（部分被遮盖）： 甲款软件：93，93，88，90，88，94，90，76，78，90； 乙款软件：79，92，92，89，91，89，91，78， 丙款软件：85，87，88，91，93，95， 【数据整理】用表示软件“使用体验”评分，分三个等级： C“”，B“”，A“”；并通过统计图表对数据进行整理呈现． 丙款软件“使用体验”评分统计图 【数据描述】 软件名称 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲款 88 90 34.2 乙款 89.5 89 23.8 丙款 87 c 90 40.4 【问题解决】根据以上图表信息，回答下列问题： （1）请根据相关数据，直接写出表格中，，的值，并补全条形统计图． （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的“使用体验”评分结果更趋近一致（填写甲、乙或丙）． （3）按照软件“性能评分”占、“使用体验最终评分”占来计算综合成绩，综合成绩越高代表软件的综合应用性越强．你认为哪一款软件更值得推荐，并说明理由． 【答案】（1），，，条形统计图见解析 （2）乙 （3）乙款软件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）本题考查平均数，中位数和众数的定义．由甲款软件的数据可直接得出中位数， 乙款软件的众数是，根据未被覆盖的数据，目前，，均为两个，所以被覆盖的两个数据其中之一必为，又因为中位数是，根据大小排列顺序可发现，中位数，所以可以求出另外一个被覆盖的数字，最后再求平均分． 根据乙款软件的众数和中位数，可计算出被覆盖部分的分数，从而求出平均数； 根据丙款软件的众数和丙款软件“使用体验”评分统计图我们可以分析出其被覆盖的分的个数和分数和的分数个数和分数和，同时根据中位数定义即可推出中位数． 根据计算出乙款软件的具体得分情况即可补全条形统计图． （2）根据方差的大小比较去判断； （3）根据综合成绩打分来判断哪一款软件更值得推荐． 【小问1详解】 由条件可得，甲款软件中位数是， 乙款软件的使用体验分数未被覆盖部分按照从小到大排列：78，79，89，89，91，91，92，92， 乙款软件的众数是， 未被覆盖的两个数，其中之一必是， 乙款软件中位数是， 两个中位数之和是，另外一个被覆盖数为， 乙款软件的使用体验分数按照从小到大排列：78，79，89，89，89，90，91，91，92，92， 乙款软件的使用体验分数平均分是：； 丙款软件未被覆盖的数是：85，87，88，91，93，95，共六个，且从“使用体验”评分图得出： A“”占比，个数为：，未被覆盖符合的数只有个，有个被覆盖； B“”占比，个数为：，未被覆盖的数已满， C“”占比，个数为：，未被覆盖符合的数有个，有个被覆盖． 又丙款软件的众数是， 被覆盖的分数里，有个分， 剩余的两个就是C级，打分“”， 丙款软件的评分是：两个C级打分和85，87，88，90，90，91，93，95， 丙款软件的中位数是：． 条形统计图如下图： 【小问2详解】 ， 乙的方差最小，乙款软件的“使用体验”评分结果更趋近一致． 【小问3详解】 甲综合评分：， 乙综合评分：， 丙综合评分：， 乙综合评分最高，综合应用性最强，所以乙更值得推荐． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．过点作于，延长交直线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质和圆的性质证明，得到，即可由平行线的性质解答； （2）过点作于点，由求出的长，再由勾股定理求出的长，证明四边形为矩形，得到，即可由得到结果． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 21. 如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度； （2）小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的延长线于点，过作于点，求出的度数，再利用三角函数的比值关系求出的长，即可由得出结果； （2）当时，过点作于点，过作于点，求出的度数，从而求出的长，即可得到的高度；当时，设此时的点为，过作于点，交于点，求出的度数，从而求出的长，即可得到的高度；然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：过点作的延长线于点，过作于点如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴支点离桌面的高度为； 【小问2详解】 解：当时，过点作于点，过作于点，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； 当时，设此时的点为，过作于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∴， ∴上端离桌面的高度增加了． 22. 如图①，抛物线与轴交于和两点，交轴于点，且． 【问题解决】 （1）求的值； （2）如图②，点是直线上方抛物线的任意一点，且横坐标为，过点作于，当的长随的增大而增大时，求的取值范围； 【综合应用】 （3）若直线与抛物线的两个交点分别是，，与直线的交点为，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线与轴交于和两点得到，由得到，因此，，从而，，将点代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，则，得到，运用待定系数法求得直线的解析式为．过点P作轴于点N，交于点M，则，，，，解直角三角形得到在中，，因此，进而，根据二次函数的图象及性质即可求解； （3）根据抛物线上两点关于对称轴对称得出，进而得到，当直线过点C时，，当直线过抛物线顶点时，，由得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴方程的两个不相等的实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线过点， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线为， 令，则， ∴， 设过点，的直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点N，交于点M， ∵点是直线上方抛物线的任意一点，且横坐标为， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向下，对称轴为 ∴当时，的长随m的增大而增大， ∵， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线，顶点为 直线与抛物线的两个交点分别是，， 点，关于对称轴直线对称，， ， ， ， ， 当直线过点C时，点D与点C重合，此时， 当直线过抛物线顶点时，点D的纵坐标为4，即， 令，则， ∵， ∴， ∴ ∴． 23. 如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 （1）求证：是等腰三角形； 【综合探究】 （2）当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 （3）如图②，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折和矩形的性质，可得，则是等腰三角形； （2）作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，分点在矩形内部、外部两种情况分别求出线段的长； （3）在上取，可证，可得，由两点之间直线最短可得的最小值． 【小问1详解】 证明：将沿翻折得到， ． 四边形是矩形， ． ． ． ． 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形内部时，如图 四边形是矩形， ，． ，， ． 点恰好落在矩形的对称轴上时， 、E、C在同一条直线上． ， ． ． 将沿翻折得到， ． ． 作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形外部时，如图 ，． 四边形是矩形， ，． 将沿翻折得到， ．，． ． ， ． ． ． ． 综上，线段的长或． 【小问3详解】 解：在上取， 四边形是矩形，将沿翻折得到， ． ，， ． ， ． ． ． ，， ． ， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期二模学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 随着北斗系统全球组网的推进，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟．北斗芯片的工艺已达0.000000022米．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是我国古代建筑、家具及器物的经典结构构件，其中凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某构件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，文中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数，甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”大致意思为：“甲、乙两人带着钱，不知道有多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48；若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各持有多少钱？”下列结论正确的是（ ） A. 甲持有24钱，乙持有36钱 B. 甲持有36钱，乙持有24钱 C. 甲持有12钱，乙持有36钱 D. 甲持有36钱，乙持有12钱 6. 图①是共享单车的实物图，图②是其示意图．已知，，点，，三点在同一条直线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，可看作飞镖盘抽象而成的圆形，直径，．小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，顶点，，点在轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动：白球始终以的速度匀速运动；黑球从点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为（单位：），此过程中黑球的运动速度与时间满足，黑白两球之间的距离为（单位：），且与满足的二次函数图象如图②所示．该图象与轴交于点，最低点为．则下列说法：①；②；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距；④黑白两球相距时，此时，正确的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知，是方程的两根，则_________． 12. 如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 13. 若关于的不等式有且仅有个负整数解，则的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．则的长为________． 15. 定义：取整函数，其中表示不超过的最大整数．例如，当时，；当时，．已知点，，，，都在函数图象上（从第二个点开始，每个点的横坐标与前一个点横坐标的差都等于0.2），则的值等于_____． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为代入求值． 17. 如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． （1）求和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 18. 某学校计划购买甲、乙两种型号的机器人模型．经市场调研得到以下信息： 信息一：甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多150元： 信息二：用4500元购买甲型机器人模型和2700元购买乙型机器人模型的数量相同． （1）求甲型、乙型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买甲型和乙型机器人模型共40台，购买乙型机器人模型的数量不超过甲型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买甲型和乙型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 19. 人工智能时代，软件已在工作、学习中发挥着重要作用．某研究团队选择甲、乙、丙三款主流软件从“性能”（满分100分）和“使用体验”（满分100分）两个维度开展了综合测评．已知甲、乙、丙三款软件的“性能评分”分别为85分，88分，89分：“使用体验最终评分”则由10名专业测试员打分后取平均分确定． 请阅读下文甲、乙、丙三款“使用体验”评分的相关分析材料，并解决问题． 【数据获取】甲、乙、丙三款软件“使用体验”评分的数据如下（部分被遮盖）： 甲款软件：93，93，88，90，88，94，90，76，78，90； 乙款软件：79，92，92，89，91，89，91，78， 丙款软件：85，87，88，91，93，95， 【数据整理】用表示软件“使用体验”评分，分三个等级： C“”，B“”，A“”；并通过统计图表对数据进行整理呈现． 丙款软件“使用体验”评分统计图 【数据描述】 软件名称 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲款 88 90 34.2 乙款 89.5 89 23.8 丙款 87 c 90 40.4 【问题解决】根据以上图表信息，回答下列问题： （1）请根据相关数据，直接写出表格中，，的值，并补全条形统计图． （2）通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的“使用体验”评分结果更趋近一致（填写甲、乙或丙）． （3）按照软件“性能评分”占、“使用体验最终评分”占来计算综合成绩，综合成绩越高代表软件的综合应用性越强．你认为哪一款软件更值得推荐，并说明理由． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．过点作于，延长交直线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，求． 21. 如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度； （2）小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 22. 如图①，抛物线与轴交于和两点，交轴于点，且． 【问题解决】 （1）求的值； （2）如图②，点是直线上方抛物线的任意一点，且横坐标为，过点作于，当的长随的增大而增大时，求的取值范围； 【综合应用】 （3）若直线与抛物线的两个交点分别是，，与直线的交点为，且，请直接写出的取值范围． 23. 如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 （1）求证：是等腰三角形； 【综合探究】 （2）当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 （3）如图②，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $