精品解析：山东淄博市博山区2025-2026学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题

初四数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带等修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为至，其中．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 计算的结果是_________． 12. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 13. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 14. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求解答： （1）化简求值：，其中； （2）解不等式组，并在图中所给的数轴上表示其解集． 17. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 18. 为了提高学生的物理知识水平，某校随机抽取了部分学生参加物理知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． 学生获奖结果条形统计图 （1）求本次抽样测试的人数，并补全条形统计图； （2）若全校有2400名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ （3）本次竞赛获前五名的同学，有两名女生，三名男生，要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．两名女生先抽，请用列表或画树状图的方法，求两名女生抽到的演讲顺序号恰好相邻的概率． 19. 如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． （1）求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） （2）现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 21. 如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，求证：． 22. 已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． （1）如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； （2）把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 23. 如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式： （3）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为1∶2的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带等修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 3. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为至，其中．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ． 4. 一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 因此，红球的个数为4． 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，再根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵所对圆心角为，所对圆周角为， ∴， ∵，是弦， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴，则， ∵， ∴． 6. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 7. 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 8. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 9. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现横坐标等于点的下标，纵坐标每7次运动为一个循环周期，根据除以的余数确定的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：由图及题意可知，，，，，，； ，，；  点的横坐标等于运动次数，纵坐标每次循环一次，循环序列为； ，  点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，  点的坐标是． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 计算的结果是_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式． 12. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴． 13. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 14. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作，，证明，则，求得扇形的面积，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：连接，作，． 正方形中，，，点为的中点，， ， ∵， ∴四边形是正方形， ∴扇形的面积是：， ∵四边形是正方形 ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：， 15. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求解答： （1）化简求值：，其中； （2）解不等式组，并在图中所给的数轴上表示其解集． 【答案】（1）5x+1,2 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式化简，再把代入计算； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再取它们解集的公共部分，最后在数轴上表示出这个公共解集． 【小问1详解】 解：， 当时，原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集略． 17. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵，， ∴． 18. 为了提高学生的物理知识水平，某校随机抽取了部分学生参加物理知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． 学生获奖结果条形统计图 （1）求本次抽样测试的人数，并补全条形统计图； （2）若全校有2400名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ （3）本次竞赛获前五名的同学，有两名女生，三名男生，要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．两名女生先抽，请用列表或画树状图的方法，求两名女生抽到的演讲顺序号恰好相邻的概率． 【答案】（1）60人，补全图形见解析 （2）840人 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，学生总人数为人，则获得D级的人数为，计算求解，然后补图即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意画树状图，然后计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，学生总人数为（人）， 获得D级的人数为（人）， 补图如下： 【小问2详解】 解：由题意知，（人）， 估计该校能获得一、二等奖的学生共有840人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两名女生抽到的演讲顺序相邻共有8种等可能的结果， ∴两名女生抽到的演讲顺序相邻的概率为． 19. 如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． （1）求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） （2）现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 【答案】（1）； （2）甲距离基地 【解析】 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得，进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于， 由题意得，，， ， 在中，， ， ， ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两放牧点地之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ， 在中，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）， 答：当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲距离放牧点的距离是． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． 21. 如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，求证：． 【答案】（1）30° （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，确定，再由角平分线及等量代换即可得出结果； （2）根据圆周角定理得出，然后结合图形即可等量代换确定，利用等角对等边即可证明； （3）延长至点F，使得，连接，得出，利用等量代换得出，再由圆周角定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【小问2详解】 由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图，延长至点F，使得，连接． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． （1）如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； （2）把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【小问1详解】 解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 23. 如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式： （3）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为1∶2的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得，代入计算即可得出t的方程； （2）过点O作，，垂足分别为M、N，证明，得，在中，利用勾股定理得，代入面积公式计算得出答案； （3）分或，分别画出图形，由的两种表示方法得出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴ ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：过点O作，，垂足分别为M、N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，即， 作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：； 如图，当时，即， 同上可得，，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $