精品解析：四川南充高级中学2025－2026学年九年级下学期第十次阶段性质量检测数学试卷

南充高中初2023级第十次阶段性质量检测 数学试卷 时间： 120分钟 总分： 150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表（有两个数据被遮盖），下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩分 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 ■ 3 ■ 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 6. 若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍间，大圈舍间，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，弦交于E，交于D， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线 （a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且 ；③方程一定有两个不等的实数根：④ ，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①③ 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： ___________． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 13. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 14. 如图，是的直径，是的弦，于点E，若， ，则____． 15. 如图在平面直角坐标系中，已知点，点，点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接．若，则的最小值为______． 16. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接 ．若，，则______． 三．解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数． 19. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数； （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 20. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 21. 如图，在坐标平面内，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的坐标为，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式： （2）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，点D是以为直径的上一点，连接并延长至点A，连接， ，过点D作于点F，延长交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 23. 某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ （2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 24. 菱形中，， ，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，连接，求证： （2）如图2，连接交于，当 是等腰三角形时，求的长度； （3）如图3，连接交于，连接，记 的面积为， 的面积为，求 的取值范围． 25. 如图1，抛物线 经过点，点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值； （3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接 ，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中初2023级第十次阶段性质量检测 数学试卷 时间： 120分钟 总分： 150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断． 【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意； C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意； D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键． 3. 下列算式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C正确． ，D错误． 4. 如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到 ，点D在 上， ∴，，， ∴ ， ∴， ∴． 5. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表（有两个数据被遮盖），下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩分 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 ■ 3 ■ 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的数为众数，排序后位于中间位置的数为中位数（如果中间位置有两个数，则取它们的平均数为中位数），据此进行分析作答即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，成绩为25分、27分的人数之和为．成绩为30分的人数最多， ∴成绩的众数是30分． 将这组成绩按从小到大的顺序排列后，第15，16个成绩都是29分， ∴中位数是29分， 故中位数和众数与被遮盖的数据无关． 6. 若关于 的方程是一元一次方程，则此方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，以及一元一次方程的求解，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 原方程为：， 解得：， 故选：A 7. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍 间，大圈舍 间，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，根据等量关系“今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿”列出方程即可解答，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解题的关键． 【详解】解：设需要小圈舍 间，大圈舍 间， 根据题意可列方程为：， 故选：． 8. 如图，为的直径，弦交于E，交于D， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等边对等角得到，进而得到，根据等边对等角得到，可知，根据圆周角定理可知的度数． 【详解】解：连接， 可知， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、 、、、，求出正五边形每个内角的度数，进而求出，从而求出的度数；设、，且，则，证明，则，据此求出方程求出、 的值，从而求出与 的关系；证明，则 ，从而求出 与 的关系；利用求出的值，从而求出与 的关系． 【详解】解：连接、 、、、， 五边形为正五边形， 、， 在中，， ， 同理得：， ， 故选项A正确； 设、，且，则， ，， ， ， 、， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 故选项B正确； 由上可知，、， 在和中， ， ， ， ， ， 故选项C正确； ， ， ， 故选项D错误． 【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 抛物线 （a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且 ；③方程一定有两个不等的实数根：④ ，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 将代入抛物线解析式求出，据此判断①；先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：若时，，不符合题意，则，利用抛物线与x轴交点关于对称轴对称，结合已知点的函数值符号，判断两根 、的范围，据此判断②；由抛物线与x轴两个交点可求出方程 的判别式大于0，进而求出，计算方程的判别式，据此判断③；利用且判断④． 【详解】解：将代入 得：， 故①正确； 抛物线 的对称轴为， 若，则抛物线开口向下， 在上， 随 的增大而增大，即，不符合题意； 若，抛物线开口向上， 在上， 随 的增大而减小，即， 抛物线经过，且， ， 当时， ， 当时，， ， 若 ，则点在 轴上方， 右交点 必在2的右侧，即， 若 ，则点在 轴下方， 此时， 将代入 得：， 根据题干条件无法判断的符号，则无法判断， 故②错误； 方程的判别式为， 抛物线经过，且， 有两个不同的实数根m，n， 则其判别式为， ， ， 方程一定有两个不等的实数根， 故③正确； 、， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式乘法．掌握二次根式乘法法则：是解题的关键． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可 【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为， ∴=， 解得n=6， 经检验n=6是原方程的根， 故答案为：6 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键． 13. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，是的弦，于点E，若， ，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出半径，根据垂径定理可得 ，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵是的弦，于点E， ， ∴ ， 在中，， ∴． 15. 如图在平面直角坐标系中，已知点，点，点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把沿x轴向右平移，使点B与点C重合，点A平移至点E的位置，作点E关于x轴的对称点F，连接，，可得，当点D，C，F三点共线时，最小，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，把沿x轴向右平移，使点B与点C重合，点A平移至点E的位置，作点E关于x轴的对称点F，连接，， ∴， ∴， ∴当点D，C，F三点共线时，最小，最小值为的长， ∵点，， ∴点， ∴点， ∵点， ∴， 即的最小值为． 16. 如图，在中，， 是的一条角平分线， 为 中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作于F，设， ，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得， ，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设， ， ∵， 为 中点， ∴，又， ∴， ， ， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵ 是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即 ， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 三．解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数． 【答案】 （1）证明：∵CD∥AB， ∴∠BAE＝∠ACD， ∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAD（ASA）； （2）105° 【解析】 【分析】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD； （2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 又∵∠ABE＝∠CAD＝25°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°， ∵AB∥CD， ∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°． 【点睛】考核知识点：全等三角形的判定和性质.熟记全等三角形的判定是关键. 19. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数； （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】（1）200 （2）1080人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法，频率分布直方图以及扇形统计图，概率公式． （1）根据A家庭电路总人数为30人，占，用30除以即可得总人数； （2）先求出喜欢“C布艺手缝”的百分比，再求出喜欢“简单烹饪”的百分比，再用总人数乘以喜欢“简单烹饪”的百分比即可得出喜欢“简单烹饪”的人数； （3）列表，共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次调查的学生人数为200人， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：喜欢“C布艺手缝”的百分比为， 喜欢“简单烹饪”的百分比为， 喜欢“简单烹饪”的人数为（人）， 答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为1080人； 【小问3详解】 解：列表如下： 小明 小红 A B D B D E 由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种， ． 20. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得： ； 【小问2详解】 解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 即：m的值为． 21. 如图，在坐标平面内，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的坐标为，点B的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式： （2）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点C的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点代入求出反比例函数的解析式，进而可知，把点、代入求解即可； （2）设点C的坐标为，根据勾股定理得到，，，根据矩形的性质可知或，分别根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， 解得 ． ∴反比例函数的解析式为； 当时，， ∴， 把点、代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在． 设点C的坐标为． 由、得： ； ； ； 若以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，且为边，则或． ①当时，，则， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ，则， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 22. 如图，点D是以 为直径的上一点，连接并延长至点A，连接，，过点D作于点F，延长交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，等量代换和平行线的判定与性质得到 ，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）如图，连接，过点D作 于点H，设，由，得 ，可知，以此求得，，利用求得 ，可得，再证，利用其性质可求得，，即可求的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点D作 于点H， 设， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ （2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元 【解析】 【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解； （2）①设每日购进甲食材 千克，乙食材 千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解； ②设 为 包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值． 【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元， 由题意得，解得 ． 经检验， 是所列方程的根，且符合题意． （元）． 答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元． （2）①设每日购进甲食材 千克，乙食材 千克． 由题意得，解得 答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克． ②设 为 包，则 为包． 记总利润为元，则 ． 的数量不低于 的数量， ，． ， 随 的增大而减小。 当时，的最大值为2800元． 答：当 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验． 24. 菱形 中，， ，连接，是上的动点，将绕点 顺时针旋转得到． （1）如图1，连接，求证： （2）如图2，连接交于 ，当 是等腰三角形时，求的长度； （3）如图3，连接交于 ，连接，记 的面积为， 的面积为，求 的取值范围． 【答案】（1）证明： 四边形 为菱形， ， ，， ∴， 又 绕点 顺时针旋转得到， ， ，， ， ， ， ； （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，得出，即可得证； （2）对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，证明，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， 当点、 重合时，； 此时 、、 重合，； 当时， ，， ， ，又， ， ， 此时， 连接，交于点 ，如图， 四边形 为菱形，， ， ， ， ， ，， ； 当时，此时， ， ， 综上，或或； 【小问3详解】 解：连接 ，连接，交于点 ， 由菱形的对称性知 ， 的面积与的面积相等， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形 为菱形，， ∴，， ∴， 当与 或点 重合时，取得最大值；当与 重合时，取得最小值1； ∴，即． 25. 如图1，抛物线 经过点，点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值； （3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值． 【答案】（1） （2）不变，10 （3）F（－2，1），的最小值是 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过P作PTy轴交x轴于点T，设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，证△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，得出，，所以QN=，QM=，即可求得4 QM+ QN的值； （3）过O作OFAB交CE于点F．用待定系数法求得直线AB的解析式为，再证四边形CDOF是平行四边形，从而得出F（－2，1）为直线CE经过的定点．过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H，则FG=，设E（t，）则H（t，），所以EH=() - ()==，再证△EHC∽△FGC，得，又FG= ，所以∴当EH取最大值时，的值最小，所以当n=-3时，EH最大值是2． 此时，即可得解． 【小问1详解】 解：∵ 经过 A（-5，0），B（-1，-2）， ∴ ， 解得： ， ∴ 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作PTy轴交x轴于点T， 设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t， ∵Q（-4，0）， ∴AQ=1，OQ=4 ， ∵NQy轴，PTy轴， ∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP， ∴，， ∴QN=， QM=， ∴4 QM+ QN=4×+=10； 【小问3详解】 解：定点F（－2，1）， 的最小值是． 如图，过O作OFAB交CE于点F． 设直线AB的解析式为， ∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2） ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为， ∵OFAB，且过O（0，0）， ∴直线OF的解析式为， ∴设F（n，）， ∵CEOD， ∴四边形CDOF是平行四边形． ∴OF=CD=， ∴ ， ∴n=±2 ∵n<0 ∴n=－2 ∴F（－2，1）为直线CE经过的定点． 过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H． 则G的横坐标为-2， ∵G在直线AB上， ∴G（-2，）， ∴FG=1-（）=， 设E（t，）则H（t，）， ∴EH=() - ()==， ∵EH⊥x轴，FG⊥x轴， ∴△EHC∽△FGC， ∴， 又∵FG= ， ∴当EH取最大值时，的值最小， ∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线与直线的解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质和最值，本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $