精品解析：陕西安康市高新中学、安康中学高新分校2026届高三下学期模拟预测（一）数学试题

高三预测（一） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果. 【详解】由复数的运算法则可得， 则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2. 现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先计算第65百分位数对应的位置，再根据百分位数的计算规则确定对应数值即可. 【详解】该组数据已经从小到大排列为：2，4，8，12，16，20，共个数据， 根据百分位数位置公式可得：  ， 由于不是整数，取大于的最小整数， 因此第65百分位数为排序后第4个数据，即12. 3. 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（ ） A. 真，：， B. 假，：， C. 真，：， D. 假，：， 【答案】C 【解析】 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 4. 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 5. 已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，得到线面垂直，找到平面，求出面积. 【详解】设正方体的外接球半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 则，故， 即，因为，平面， 所以平面， 取的中点，的中点，连接， 由于是棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 所以平面，即平面即为平面， 平面截该正方体所得截面的面积即为的面积， 其中，， 为等边三角形，面积为 6. 记正项数列的前项和为，且，，则（ ） A. 756 B. 720 C. 636 D. 630 【答案】C 【解析】 【分析】由得及，得到数列从第二项起成等差数列，且公差为，再结合求出的值，利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， ∴① 时，，即 时，② ①-②得，即， 所以数列从第二项起成等差数列，且公差为，且， 又，， ， 解得或（负值，舍去），， 所以数列的首项为，从第二项起成等差数列，且公差为. 所以. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由以为直径的圆与的某一个交点为，得；由得到平分，根据，是的中点，利用中位线、角平分线的性质等，结合，整理得；由椭圆定义得，由勾股定理得，以及，，即可计算出离心率. 【详解】设直线交直线于点. 由点在以为直径的圆上，得； ，平分，即. ，是的中点， ，，，； ； ，，整理得； 由椭圆定义得； 联立 ，解得，； 在中，，即，整理得 ； 由椭圆得，得； ，得，即； 由，得，，即的离心率为. 8. 已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：， . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件，相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以, 因为，所以， 因为，所以，所以. 所以. 对A选项：，正确； 对B选项：因为，，所以，所以事件，不独立，错误； 对C选项：，正确； 对D选项：，正确. 10. 定义关于的函数，，其中，则（ ） A. B. C. 对于任意， D. 对于任意， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用诱导公式对进行化简可判断A；利用辅助角公式对进行化简，再结合三角函数的值域可判断B；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断C；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断D. 【详解】对于A，当时，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 所以 则 ，不恒成立.故B错误； 对于C，， ， ，，且 在上单调递减， 则，所以.故C正确； 对于D，令，则，， 当时，与题干矛盾，故D错误. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线：与的左、右两支分别交于，两点，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若为的一条渐近线，则为等腰三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. ，由等比数列性质求解； B. 直线与左右两支相交，交点横坐标，，故,求出，再确定不等关系； C.通过 ，得到，故分母， 即； D. 求得，故为等腰三角形. 【详解】A.直线过左焦点，且在左支、在右支， 因此， 由等比数列性质，设，， 则 ， 两边除以得，解得（因，舍去负根）， 因此，即，A正确； B.联立直线与双曲线方程,得 ， 设, ,所以，， 直线与左右两支相交交点横坐标，，故, ， 分子，要使，分母必须为正，即， B正确； C.由弦长公式， ， 设 ，， , 由双曲线定义,，，焦距 ， 设， 中，由余弦定理得， 所以， 即，因为，即 ， 所以，解得 中，由余弦定理得 所以，即， 因为，，解得 ， 约去两边的 （），，， ，两边同时除以 （）：， 即，所以 因为得 所以， 因为 （ 在右支， 在左支），所以 ， 所以， 所以 整理得，因，故分母， 即， 与选项 C 的矛盾，C 错误； D.若为渐近线，则，所以, 由双曲线定义： 在左支：， 在右支：， 结合，， 解得，, 因此：, , 即，故为等腰三角形，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式计算的值. 【详解】设等比数列的公比为，通项公式为. 求公比：将代入，得 ，即， 由等比数列的定义可知，化简得，解得. 计算： 等比数列前项和公式为， 因此. 13. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，然后根据圆的切线性质，结合三角函数关系得到关于的表达式，再通过分析表达式求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围即可. 【详解】 因为，所以， 所以圆心，半径， 由，设，化简得， 即点恒在直线上， 所以圆心到直线距离：， 因为直线与圆相离，所以过必可作两条切线， 所以： ，设，则， 所以， ， 所以，所以， 令， 因为，所以，且， 所以， 因为在单调递增，所以时最小， ， 所以， 又因为恒成立，所以 所以实数的取值范围为. 14. 已知函数在上存在奇数个零点，则________． 【答案】0或 【解析】 【分析】从奇数个不同的零点入手，先研究的对称性.由得到关于直线对称. 因为区间是半开半闭区间，所以或，且与不同时为0，即可解. 【详解】 ， 所以曲线关于直线对称. 因为区间是半开半闭区间，函数在上有奇数个不同的零点， 故或，又， 所以或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积为0可知两个向量垂直，由的横坐标可求出，进而可求出方程； （2）设直线的方程为，，联立抛物线的方程，由的面积结合韦达定理可求出， 设，结合共线性质得，列方程组可求得. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为， 由知，又点在抛物线上，所以，解得， 因此抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得， 假设直线的斜率不存在，即轴，将代入可得， 此时的面积为，矛盾，假设不成立，所以直线的斜率存在； 如图，设直线的方程为， 由消去得. 设， 由韦达定理得， 所以. 所以的面积为， 整理得，解得，所以. 设，结合共线性质得， 所以，所以， 又，所以，解得或. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）求的面积； （2）若为的中线，且，判断的形状． 【答案】（1）1 （2）为等腰直角三角形， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【小问1详解】 ， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 17. 某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）： 初试通过概率 复试通过概率 甲 乙 丙 （1）请通过计算说明谁进入终试的概率最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）乙进入终试的概率最大 （2）(ⅰ) (ⅱ) 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）（i）由甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为求解即可； （ii）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，由此列出分布列，并求解期望. 【小问1详解】 设甲，乙，丙三人进入终试的事件分别为，，，则 ， ，所以当时，单调递增， 对称轴为，此时取得最大值为，所以，小于， 当时，则为，大于，所以，即乙进入终试的概率最大. 【小问2详解】 （i）恰有两人进入终试的概率为： ，解得，即，解得或，因为，所以. （ii）由（i）可知，则，则的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的可能取值为： 所以 18. 如图，在直三棱柱中，为棱的中点，点满足． （1）求的值； （2）若，且二面角为直二面角． （ⅰ）求直线与平面所成角的余弦值； （ⅱ）已知为棱的中点，过点，的平面与射线，交于，两点，求四面体体积的最小值． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由为的中点，先把化成与的线性组合，再比较与的关系． （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系．先由二面角为直二面角确定点的坐标，再求直线与平面所成角的余弦值．对于体积最小值，设在对应射线上，由共面建立参数关系，再表示四面体体积并求最小值． 【小问1详解】 因为为的中点，所以 由题意得 于是 所以三点共线，且 因此 【小问2详解】 （ⅰ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 由，可设 因为在底面内，设 由，得 平面为平面，其一个法向量可取 又 所以平面的一个法向量可取 因为二面角为直二面角，所以平面与平面垂直， 即，故，解得． 再由，得或． 取轴正方向指向点所在一侧，不妨取，于是 ， 设平面的一个法向量为， 因 则，故可取， 设直线与平面所成角为． 则 所以 （ⅱ）由上面坐标可知 因为在射线上，在射线上，所以可设 由于共面，所以存在实数，使得 又， 则， 即，由②得，由③得， 将它们代入①，可得化简得 在中，，，且，所以 平面就是平面，其方程可写为． 点到该平面的距离为 于是四面体的体积为 由，可得所以 又当且仅当时等号成立．此时， 所以的最小值为， 19. 已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设数列的前项和为，且． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求证：，． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ），，，即. 由（1）知，当时，，即. ； ； . 即，. 【解析】 【分析】（1）将不等式变形为，构造函数，转化为在上恒成立；对求导，根据导数的符号判断在上的单调性，得到的最小值，进而求出的取值范围； （2）（ⅰ）当时，代入递推式求出首项；当时，通过和，得到，进而求出通项公式； （ⅱ）结合（1）的结论，得到，将代入得到对应放缩式，对求和项进行放缩，转化为等比数列求和，再整理证明不等式. 【小问1详解】 ，，，即在上恒成立； 令，即在上恒成立； 则. 令，则，； ，； ，，得； 即，在上单调递减； ，，； 时，，在上单调递增；，，在上单调递减； 当时，取得最大值，即，即； 在上单调递减； 当时，取得最小值，即. 在上恒成立，. 实数的取值范围为. 【小问2详解】 （ⅰ），当时，，即，解得； 当时，，整理得，即； 数列是首项为9，公比为3的等比数列，则. 数列的通项公式为. （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三预测（一） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 3. 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（ ） A. 真，：， B. 假，：， C. 真，：， D. 假，：， 4. 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 记正项数列的前项和为，且，，则（ ） A. 756 B. 720 C. 636 D. 630 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件，相互独立 C. D. 10. 定义关于的函数，，其中，则（ ） A. B. C. 对于任意， D. 对于任意， 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线：与的左、右两支分别交于，两点，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若为的一条渐近线，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，若，则________． 13. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________． 14. 已知函数在上存在奇数个零点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）求的面积； （2）若为的中线，且，判断的形状． 17. 某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）： 初试通过概率 复试通过概率 甲 乙 丙 （1）请通过计算说明谁进入终试的概率最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望． 18. 如图，在直三棱柱中，为棱的中点，点满足． （1）求的值； （2）若，且二面角为直二面角． （ⅰ）求直线与平面所成角的余弦值； （ⅱ）已知为棱的中点，过点，的平面与射线，交于，两点，求四面体体积的最小值． 19. 已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设数列的前项和为，且． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求证：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $