精品解析：陕西西安市临潼区华清中学等校2026届高三下学期数学学科练习

高三数学学科练习 注意事项： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.结束后，只需上交答题纸. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 故. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，进而得，再结合复数的几何意义求解即可； 【详解】因为， 所以，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理得， 因为，所以. 4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可证、，根据向量运算法则及数量积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 因为，所以， 即，则， 则. 5. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 6. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角和差余弦公式计算，最后应用弦切互化公式求解. 【详解】因为， 所以，， 所以 所以. 7. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图象得，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得. 【详解】由，可得函数图象如下所示： 因为且， 所以，且， 所以， 令，， 则， 当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 8. 已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意确定的所有可能取值，再分别求出对应的概率，进而可求出结果. 【详解】由题意可得的所有可能取值为， 随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集， 集合中以正整数为最小数的5元子集共有个， 所以， 所以 . 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 如果，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 10. 已知四棱锥中，为的中点，平面平面，，且.则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为2 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解A,B,D选项，再根据三棱锥体积公式求解C选项， 【详解】 建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，方向为轴. 根据已知条件，平面，平面， 可得各点坐标，为中点，故. 选项A.向量，平面为平面，其法向量为.  ，故，且不在平面内， 因此平面，A正确. 选项B.平面​中，，设法向量为， 则​，取得. 平面​中，，设法向量为， 则​，取得. ，故法向量垂直，因此平面平面​，B正确. 选项C.因为平面平面，所以. 因为，平面，所以平面. 则到平面​的距离为； ​的面积， 因此体积，C错误. 选项D.设直线与平面所成角为，直线方向向量，平面法向量， 由线面角性质， 因此，D正确. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.在曲线上取点满足.设直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】可先将两边平方去掉根号，然后通过构造函数判断各个选项的真假即可求解. 【详解】根据两点间距离公式，；两边平方去掉根号得： ，其中. 对AB选项，构造函数，，可知恒成立，单调递增，可知随着增大是变大的，又，所以，故A正确； ，.由，构造函数，，结合可得恒成立，在单调递增，可得随着增大，也是增大的. 综上可得随着增大，增大，选项B正确； 对C选项，可先假设存在，则，可设，其中，满足； 构造函数，， 令，，可知恒成立，单调递增，即单调递增，在时增长速度是越来越快的; 当时，，可知恒成立，则假设的不可能成立，C选项错误； 对于D选项，将代入，除以得到代数式①； 构造函数， 当时，，单调递减，当时单调递增； 由随增大而增大，且，可得当时，，即①式大于1，得到，两边开方后得到选项D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由左右相加，得， 即，由，可得， 故可得. 13. 若在的二项展开式中，项的系数为5，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据通项公式求得项的系数为，再结合题意求得. 【详解】展开式的通项公式为，， 令，解得， 所以，当时，项的系数为， 因为项的系数为5，所以，解得， 所以实数. 14. 已知为抛物线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理把点坐标用直线的斜率表示出来，由抛物线的定义知：，然后数形结合，可得到的最小值为点到准线的距离，然后再计算点到准线的距离的最小值即可. 【详解】过点的直线设为，即， 将直线方程代入抛物线方程： ， 设交点， ，由韦达定理： 线段的中点的横坐标： 将代入直线方程得纵坐标：， 因此，中点的坐标为 ， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为， 易得：，当且仅当三点共线时取等号， 由抛物线的定义知：， ， 而 ， 当时，取到最小值5， 此时取到最小值5. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； （2）若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图计算百分位数及平均数； （2）计算分层抽样人数及抽样比，进而计算出各层抽样人数，计算概率并求出分布列． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知： 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 的频率为：； 第百分位数位于区间，设百分位数为， 则，解得； 平均数 ． 【小问2详解】 成绩不低于分的学生总人数：， “航天达人”总数量为：， 非“航天达人”总数量为：， 抽样比为，故抽取的8人中，“航天达人”数量为：， 非“航天达人”数量为， 表示选中的航天达人数，取值为， 则； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 16. 如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. （1）证明：平面； （2）若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 【答案】（1）证明：因为底面为边长为的正方形，可得， 又因为，则满足，所以， 设与交于点，则点为的中点，因为，所以， 因为底面为正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，设与交于点，证得和，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，根据点在平面内，得到，列出方程，求得的值，进而得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，且， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 因为分别为的中点，可得， 又因为，即，且， 所以，可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面内，则，可得， 解得，所以. 17. 已知函数，其中且. （1）当时，求的极值点； （2）当时，讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为；无极大值点 （2）在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先将代入得到具体表达式，所以先求的定义域，再对求导，令导数等于0，求解对应的值，再通过导数符号变化判断该点是否为极值点即可； （2）先确定的定义域，对求导，结合的条件，分析导数的正负情况；根据导数正负与函数单调性的关系，划分单调区间； （3）先将不等式化简，得到恒成立，利用反函数的对称性，把问题转化成对恒成立，两边取对数，分离变量可得答案. 【小问1详解】 当时，， 求导得， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此在处取得极小值，极小值点为；无极大值点. 【小问2详解】 的定义域为，求导得：， 令，即， 由于，， 解得：， 当时，，从而，递减； 当时，，递增； 因此，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 将和代入不等式，得：， 化简得， 此不等式须对一切恒成立. 指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线对称， 要使对恒成立， 只需指数函数的图像完全位于直线的上方， 即对恒成立， 对两边取自然对数，得：， 因为， 所以对恒成立， 令，只需即可， 求导：， 令得， 当时，，递增；当时，，递减； 故在处取得最大值， 只需，即， 因此的取值范围是. 18. 已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与分别交于和，求证：； （3）判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明：由题可知，只需证明为线段中点， 当斜率不存在时，为等腰直角三角形，为线段中点显然成立． 当斜率存在时，设，分别与交于 和，线段中点为； 联立与，计算得：， 设，由韦达定理： 则中点的横坐标为：，代入直线方程得纵坐标：， 故，为中点，证毕． （3）外接圆过定点，证明如下： 由对称性可知，若外接圆过定点，则定点为坐标原点， 下面证明：四点共圆. 注意到，和中，至少有两条直线的斜率存在，不妨设的斜率存在， 设 由（2）知，， 则，， 又为的中点三角形，故 ，即， ，故， 即四点共圆， 故外接圆过定点. 【解析】 【分析】（1）运用渐近线互相垂直的条件导出，再结合焦距及双曲线中的关系列方程求解； （2）转化为证明是的中点，通过分别联立直线与渐近线、直线与双曲线，利用韦达定理和中点坐标公式得到中点的同一表达式； （3）利用图形的对称性猜测定点为原点，然后通过证明四点共圆来验证. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 由题意两条渐近线互相垂直，因此斜率乘积为：， 已知双曲线焦距，故，又双曲线满足， 代入得：， 因此双曲线的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 外接圆过定点，证明略 19. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）若，求在上的所有零点； （3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 【答案】（1）； （2）唯一一个零点； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数的值域确定整体值域； （2）利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数的值域求解零点； （3）通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而确定参数的最小值. 【小问1详解】 代入得： 由，得，故， 从而，故的值域为 【小问2详解】 当，时， 令，得 因为所以 当时，有且， 因为余弦函数在上单调递减，所以 化简得 又所以 即 由于，所以，故解得 因此在上的唯一零点为. 【小问3详解】 当时，取， 取，不满足条件，故； 当时，∵，而， ∴，使得， ∴，满足条件； 综上，正实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科练习 注意事项： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.结束后，只需上交答题纸. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 5. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（ ） A. B. C. D. 2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 如果，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知四棱锥中，为的中点，平面平面，，且.则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为2 D. 直线与平面所成角的余弦值为 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.在曲线上取点满足.设直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比为，若，则__________. 13. 若在的二项展开式中，项的系数为5，则实数__________. 14. 已知为抛物线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； （2）若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 16. 如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. （1）证明：平面； （2）若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 17. 已知函数，其中且. （1）当时，求的极值点； （2）当时，讨论的单调性； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与分别交于和，求证：； （3）判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的值域； （2）若，求在上的所有零点； （3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $