精品解析：陕西西安高新一中沣东中学等校2025-2026学年高三下学期考前阶段自测数学试题

高三数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：求出集合 ，即可得到. 详解： 故选C. 点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 2. 复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求出复数，再结合，即可求出. 【详解】由得， 故， 所以. 故选C． 3. 设等比数列的公比为，前项的和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得出，利用等价性即可判断. 【详解】，，， 故， 因为在等比数列中，，故, 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题. 4. 交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ） A. 4 B. 100 C. 40000 D. 10000 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中函数解析式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】设的声音和的声音强度分别为：，所以有： ，， 得：， 所以选：D 5. 在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（ ） A. 8 B. 10 C. -8 D. -10 【答案】C 【解析】 【分析】依题意将原式变形为，再写出的通项，计算可得； 【详解】解：，的展开式的通项是，令，则，则的展开式中的系数为，令，则，则的展开式中的系数为，故展开式中的系数是， 故选：C. 6. 已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为 ， 由题意得坐标原点到直线距离，， 所以，解得 所以k的取值范围为. 故选：C. 7. 已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积的定义和运算律求解. 【详解】解：∵向量、夹角为，且，， ∴•=||•||cos120°==﹣3， ∵=，且⊥， ∴•=（）•=（）•（）=0， 即•﹣+λ﹣•=0， ∴﹣3﹣4+9 +3 =0， 解得， 故选：C 8. 双曲线：与抛物线有公共焦点，是它们的公共点，设，若，则的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公共点，利用，结合勾股定理可得，即，利用双曲线定义知，即得解 【详解】由抛物线方程知焦点为，，不妨设公共点在x轴上方，即 在直角三角形中，, 由勾股定理 解得：，即 所以由双曲线定义知 故离心率. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数据，数据，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（ ） A. 均值 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 【答案】BD 【解析】 【分析】设数据的均值为，标准差为，极差为,进而得数据2的平均值,标准差,极差等,再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】设数据的均值为，标准差为，极差为， 则数据2：的均值为，方差为，所以选项A,C错误； 数据2的标准差为，极差为，所以选项B，D正确， 故选:BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 时，函数的值域为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 8为函数的周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，通过诱导公式化简的到，函数为偶函数，故A正确；对于B，将函数化简为，求值域即可；对于C，代入数据3和5得到，故选项错误；对于D，，根据周期性的定义得到选项正确. 【详解】 满足，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确； 时，， ，， 故函数的值域为，所以B正确； ，， 所以C错误； ，8是函数的周期，所以D正确； 故选：ABD． 11. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点，过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 当直线时， C. 当时，平面截棱柱所得多边形的周长为 D. 存在平面使得点到平面距离是A到平面距离的3倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合关系，根据锥体体积公式证明定值即可判断，对于B，先确定截面的形状，结合线面平行性质定理求即可判断，对于C，证明与点重合，由此确定截面周长，对于D，由条件求，根据相似三角形性质求即可判断. 【详解】对于A，如图，因为， 设点到平面的距离为，则， 因为平面，P是线段上的一个动点， 所以点到平面的距离为定值，又， 所以三棱锥的体积是定值，A正确 对于B，延长，DC分别交直线于，两点，连接，分别交，于，， 连接，，则平面截棱柱所得的多边形为， 因为平面平面，则当时，，又是的中点， 故是的中点，因为，则，， 所以，所以，故B错误 对于C，若，则，所以与点重合，则，，多边形的周长为，故C正确 对于D，若存在，则，且，得， 因为，所以， 所以，小于的长度，存在，故D正确. 三．填空题：本题共小3题，每小题5分，共15分． 12. 知乎从1~10的十个小球，从盒子中同时取出3个小球，这三个小球的最小编号大于4且小于7的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】满足三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6两数二选一或5和6均有，分类讨论处理． 【详解】三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6， 两数二选一或5和6均有，则. 故答案为： 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用余弦定理和正弦定理化边为角后，再结合诱导公式、两角和的正弦公式，同角关系变形可得. 【详解】因为在中，， 所以， 所以， 所以 14. 已知函数存在零点，则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的几何意义，将函数在上有零点的问题，转化成原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，即可求出的最小值. 【详解】函数的定义域为. 设是在上的零点， 可得，即， 即点在直线上. 可理解为点到原点的距离的平方. 所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离， 即在上能成立， 即在上能成立. 令，，则， 因为，，，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即的最小值为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F是EB的中点； （1）求证：平面ABC； （2）若，，求平面CDF与平面ABE所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AB中点G，连FG，即可得到且，从而可得且，则四边形为平行四边形，即，即可得证； （2）作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出锐二面角的余弦值； 【小问1详解】 证明：取AB中点G，连FG 易知：， 因为EA，DC均垂直面ABC ∴ ∵ ∴且 ∴四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 解：作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系， ∴，，，，，，，， 设面法向量，面的法向量可以为， ∴，令，则， ∴． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为； 16. 高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率； （2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据题意小球需要向右1次向左5次，根据n次独立重复事件的概率公式求解即可； （2）计算出一次试验中掉入偶数槽的概率，问题转化为服从二项分布问题，由二项分布求解即可. 【小问1详解】 设这个小球掉入2号球槽为事件A. 掉入2号球槽，需要向右1次向左5次, 所以 所以这个小球掉入2号球槽的概率为. 【小问2详解】 小球掉入偶数号球槽的概率为, 由题意知，且的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 由，， 可得分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 17. 已知椭圆的离心率为，其短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，过点A作，垂足为D．求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标； 【答案】（1） （2）证明见解析，定点E为． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，设点，，， 将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线并化简，由此可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上， 由题得，设直线， 设，，， 联立方程，得， 所以有，， 因为，所以直线BD的方程为， 令，得 由，，得， 将代入（*）， 则， 故直线BD过定点，即定点E为． 18. 首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． （1）证明：中相邻两项不可能同时为非负数； （2）记，若对任意成立，求的通项公式； （3）对于给定的正整数，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）假设数列中存在、同时为非负数，分两种情况、讨论，结合不等式的基本性质推出矛盾，即可证得结论成立； （2）根据数列的单调性可知数列的偶数项、、、、是单调递增数列，进而得出，，即可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （3）由（1）知，当时，，推导出；当时，，推导出，然后分为奇数、偶数两种情况讨论，结合并项求和法以及不等式的基本性质可求得的最大值. 【小问1详解】 假设数列中存在、同时为非负数， 因为， 若，则有，与已知矛盾． 若，则有，与已知矛盾． 所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数． 【小问2详解】 因为，． 因为对任意成立，所以为单调递增数列． 即数列的偶数项、、、、是单调递增数列． 由题意计算得出，， 因为数列单调递增，所以当时，恒成立， 所以时，，，即，． 所以，， 则， 又，， 所以是以，公差为的等差数列，. 【小问3详解】 由（1）知，当时，， 根据，有，所以， 当时，， 根据，有，所以， 所以当为奇数时，，则的最大值为； 当为偶数时，，的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 ， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. 【小问2详解】 ， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【小问3详解】 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. 复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的公比为，前项的和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ） A. 4 B. 100 C. 40000 D. 10000 5. 在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（ ） A. 8 B. 10 C. -8 D. -10 6. 已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线：与抛物线有公共焦点，是它们的公共点，设，若，则的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数据，数据，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（ ） A. 均值 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 时，函数的值域为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 8为函数的周期 11. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点，过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 当直线时， C. 当时，平面截棱柱所得多边形的周长为 D. 存在平面使得点到平面距离是A到平面距离的3倍 三．填空题：本题共小3题，每小题5分，共15分． 12. 知乎从1~10的十个小球，从盒子中同时取出3个小球，这三个小球的最小编号大于4且小于7的概率为______． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则________． 14. 已知函数存在零点，则的最小值为_______________. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F是EB的中点； （1）求证：平面ABC； （2）若，，求平面CDF与平面ABE所成锐二面角的余弦值． 16. 高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率； （2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望. 17. 已知椭圆的离心率为，其短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线，过椭圆右焦点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，过点A作，垂足为D．求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标； 18. 首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． （1）证明：中相邻两项不可能同时为非负数； （2）记，若对任意成立，求的通项公式； （3）对于给定的正整数，求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $