精品解析：贵州遵义市第五中学教育集团2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

遵义市第五中学教育集团2026年春季学期半期考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 将改写成的形式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，在区间恰有个最值点和个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个 C. 若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D. 若存在实数使得，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，，，，若，则实数的值为________ 13. 如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________ 14. 若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且． （1）求的解析式和对称轴； （2）当时，求的值域． 16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 17. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． （1）试用，表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）化简； （2）若曲线与直线交点距离的最小值为，求函数的最小正周期与单调递增区间； （3）若函数的一个周期为，且在区间上的最小值为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第五中学教育集团2026年春季学期半期考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 将改写成的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知角的终边过点且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由， 所以. 5. 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ． 8. 设函数，在区间恰有个最值点和个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出整体的范围并结合正弦函数的图象找到零点和最值点，列出不等式求范围即可 【详解】当且  时，可得， 则问题转化为在开区间 中恰有个零点和个最值点. 如图所示，的零点为，最值点为， 要恰有个零点、个最值点，需满足，  解得，即. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求得或，进而依次判断各项的正误. 【详解】由，则，且是第二或第四象限角， 结合，则，故或， 所以，，， 综上，A错，B、C、D对. 10. 如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个 C. 若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D. 若存在实数使得，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误. 【详解】是平面内两个不共线的向量，可以作为平面的一组基底； 对于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A正确； 对于B，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B错误； 对于C，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得成立的有无数个，C错误； 对于D，由得：，又不共线，，即，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合图像求出的解析式，由是否为最值可判断A；求出在区间的单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数图像以及对数函数的图像可判断D. 【详解】由图像可知，最高点为，故； 最高点在处，相邻零点在， 设函数的最小正周期为， 因此，所以， 结合可得，； 将代入，即，所以. 结合，解得，因此. 对于选项A.，错误. 对于选项B.令， 解得. 当时，递增区间为，且，故在该区间单调递增，正确. 对于选项C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，变为原来的，得函数为，错误. 对于选项D.的零点即的交点. 当时：，时取等号，，时取等号，无零点； 当时：单调递减，单调递增，函数单调递减， 又，，此处存在1个零点； 当：，而，故，无零点； 当：从上升到，而，恒成立，无零点. 因此在上仅有1个零点，正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，，，，若，则实数的值为________ 【答案】5 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再利用平面向量共线的充要条件列方程即可求得. 【详解】， . 由可得 ， 解得. 13. 如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，根据弧长公式建立方程组求出半径和圆心角，再利用扇形面积公式作差求解． 【详解】设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为． 依题意得 ， 两式相减得，解得． 将代入，解得，则． 所以阴影部分的面积   ． 14. 若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且． （1）求的解析式和对称轴； （2）当时，求的值域． 【答案】（1），的对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角函数周期性求解，代入已知点坐标求解得到解析式，再结合正弦函数对称轴性质求对称轴； （2）先确定内层三角函数的取值范围，再结合正弦函数单调性求值域． 【小问1详解】 (1) 由题意，函数图象与轴相邻交点距离为， 所以的最小正周期， 由，解得， 又，所以，即， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 由，得， 所以的对称轴为 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数的单调性得， 所以，即的值域为． 16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1），76.5分，88 （2）． 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 17. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． （1）试用，表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 【答案】（1） （2） （3）由，得， 所以， 所以，所以， 因为与有公共点， 所以三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）设，，分别用参数和，表示，再根据平面向量基本定理求出即可； （3）用，表示，根据平面向量共线定理证明即可. 【小问1详解】 由题意，； 【小问2详解】 设，由题意， 所以， ①， 设，则， 则②， 由①②得，， 所以，解得， 所以； 【小问3详解】 略 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； 【小问2详解】 对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 19. 已知函数，其中． （1）化简； （2）若曲线与直线交点距离的最小值为，求函数的最小正周期与单调递增区间； （3）若函数的一个周期为，且在区间上的最小值为，求的最小值． 【答案】（1） （2），单调递增区间 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式对分子分母的三角函数逐项变形，约去公因式后整理得到最简形式； （2）根据交点横坐标的最小距离得到半个周期，进而求出，再结合正弦型函数的性质计算最小正周期，求解单调递增区间； （3）由周期条件得到的范围，再根据区间内取到最小值的条件得到满足的不等式，进而求出的最小值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 令，得，即，相邻两个交点对应的​最小相差， 因此交点横坐标最小距离，由题设，得. 最小正周期， 单调递增区间的递增区间对应的递减区间， 由 整理得， 即的单调递增区间为. 【小问3详解】 若的一个周期为，则，得， 在的最小值为，等价于在该区间能取到最大值， 即区间包含， 对最小的，，此时，包含，满足，符合条件， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $