2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末培优练习4： 期末解答题（二）

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以新情境、几何变换、综合探究等模块构建知识逻辑链，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新情境题|2题|结合实际场景的代数应用|从实际问题抽象等量关系，建立方程模型解决最优方案| |尺规作图|2题|基于折叠的几何操作|图形变换原理与尺规操作规范的结合，培养空间观念| |图形变换|2题|翻折与旋转的动态探究|静态几何性质到动态位置关系的过渡，发展推理意识| |几何综合探究|2题|多问递进的角关系问题|从基础角关系推导到动态旋转综合，强化逻辑推理| |几何新定义|2题|新概念理解与应用|新定义抽象与已有知识融合，提升数学抽象能力|

期末培优练习4：期末解答题（二） 新情境题 1. 根据以下素材，探索完成任务. 有两种卡纸，可用来做小旗子，若1张卡纸和1张卡纸共能做小旗子8面，2张卡纸和3张卡纸共能做小旗子19面. (1) 求，两种卡纸每张分别可做几面小旗子. (2) 由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购，两种卡纸来做小旗子.卡纸每张4元，卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动:买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子. ①制作过程中，若卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张?并求出最低采购费用. ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼42个.已知一张，卡纸可分别做小灯笼3个和2个.请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作分配方案(同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元). 2. [问题背景]同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，就会发现一个我们熟悉的几何图形(如图①)，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系. (1) 如图①，，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由. 【实际运用】 (2) 消防云梯的示意图如图②，其由救援台、延展臂(点在点的左侧)、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行.为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图③，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角________。 【深入探索】 (3) 今年元宵节小美在江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律地旋转.如图④，射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点，若直线与直线相交所夹的锐角为，请求出运动时间秒的值. 尺规作图 1. 在中，边上一点 (1) 如图①，在直角三角形中，，将沿着折叠，点落在边上.请用直尺和圆规作出点(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 如图②，将沿着过点的直线折叠，点落在边上的点处，若，垂足为，请用直尺和圆规作出点(不写作法，保留作图痕迹). 2. 数学实验:折叠正方形纸片. 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点，分别在边，上. (1) 折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上.设，的交点为，则________。 (2) 在(1) 的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上.的交点为. (3) 如图③，已知正方形纸片的边长为16cm.在(2)的条件下，当点P为AD的中点时，则随着点位置的改变，的周长是否会发生改变?如果不变，请直接写出的周长;如果改变，请直接写出的周长的最小值. 图形变换 1. 如图①，在中，，；5，在边上有一点从向运动，运动到点处停止. (1) 当时，求的度数. (2) 如图②，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部(不包含的边). ①求的取值范围; ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论. (3) 如图③，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围. 2. 如图，直线，直角三角板，中，，. (1) 若如图①摆放，当平分时，证明:平分. (2) 若如图②摆放，________。 (3) 若图②中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的平分线相交于点(如图③)，则________。 (4) 若图②中固定，将从图②位置绕点顺时针旋转(如图④)，速度为每秒2°，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间. 几何类综合实践探究题 1. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如:在图①、图③中，入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且.设镜子与的夹角. 【问题初探】 (1) 图①是一种由两面镜子组成的反光镜，当两面镜子的夹角，时，与平行，请说明理由; 【拓展应用】 (2) 图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系:________；【深入探究】 (3) 如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角.若三角形MEG为锐角三角形，请求出的取值范围. 2. 小初同学围绕“三角形三个内角的和等于180°”进行了一系列探究，过程如下: (1) 【论证】如图①，延长至点，过点作，就可以证明成立，即三角形三个内角的和等于. 请完成上述证明过程. (2) 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作，点在射线上，连接并延长，交的延长线于点，且满足 ①的度数为________； ②设，则________(用含的代数式表示). (3) 【拓展】在(2)的条件下，若，，如图③，将(2)中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时两个三角形同时停止旋转.设旋转的时间为秒，在旋转过程中，当的值为多少时，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直?请直接写出的值. 几何类阅读理解与新定义 1. 阅读:在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，简称“等边对等角”.例如:在中，若，依据“等边对等角”可得 运用上述知识，解决问题: 已知:如图，在中，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折后，点关于的对称点落在边上，且 (1) 若，求的度数. (2) 试判断的值是否变化.如果不变，求出这个值；如果变化，请说明理由. (3) 将绕点逆时针旋转后得到，当的一边恰好落在一边所在的直线上时，求的值. 2. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫作另一个角的“黄金角”. 例如:，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”. (1) 已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则________. (2) 如图①所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交于两点. ①若，且和互为“黄金角”，则________； ②如图②所示，过点作的垂线，垂足为相交于点.若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图③所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末培优练习4：期末解答题（二） 新情境题 1. 根据以下素材，探索完成任务. 有两种卡纸，可用来做小旗子，若1张卡纸和1张卡纸共能做小旗子8面，2张卡纸和3张卡纸共能做小旗子19面. (1) 求，两种卡纸每张分别可做几面小旗子. (2) 由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购，两种卡纸来做小旗子.卡纸每张4元，卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动:买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子. ①制作过程中，若卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张?并求出最低采购费用. ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼42个.已知一张，卡纸可分别做小灯笼3个和2个.请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作分配方案(同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元). 答案： (1) 设卡纸每张可做面小旗子，卡纸每张可做面小旗子，则有解得卡纸每张可做5面小旗子，卡纸每张可做3面小旗子. (2) ①设购买卡纸张，卡纸张，则赠送了卡纸张，则为正整数，或需要卡纸3张，卡纸15张或卡纸6张，卡纸10张； 卡纸每张4元，卡纸每张3元，当时，则费用为(元)，当时，则费用为(元)，最低采购费用为36元. ②用6张卡纸做小旗子，用10张卡纸做小灯笼；用10张卡纸做小旗子，用6张卡纸做小灯笼.解析：买一张卡纸，就赠送一张卡纸， 尽可能多买卡纸，当购买卡纸16张时，则赠送卡纸16张，此时费用为(元)，，设卡纸16张有张做小旗子，张做小灯笼，卡纸16张有张做小旗子，张做小灯笼，解得卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，制作分配方案如下： 2. [问题背景]同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，就会发现一个我们熟悉的几何图形(如图①)，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系. (1) 如图①，，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由. 【实际运用】 (2) 消防云梯的示意图如图②，其由救援台、延展臂(点在点的左侧)、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行.为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图③，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角________。 【深入探索】 (3) 今年元宵节小美在江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律地旋转.如图④，射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点，若直线与直线相交所夹的锐角为，请求出运动时间秒的值. 答案： (1) ，理由如下： 如图①，过点作. (2) 165 解析：如图②，延长，相交于点，过作. (3) 将直线的点平移，与直线的点重合，如图①，根据题意得，. 由题意可得，解得； 如图②，根据题意得，，，由题意可得，，，解得； 如图③，根据题意得，，，由题意可得，解得(不符合题意).综上所述，运动时间为或. 尺规作图 1. 在中，边上一点 (1) 如图①，在直角三角形中，，将沿着折叠，点落在边上.请用直尺和圆规作出点(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 如图②，将沿着过点的直线折叠，点落在边上的点处，若，垂足为，请用直尺和圆规作出点(不写作法，保留作图痕迹). 答案： (1) 点如图①所示(作的平分线即可). (2) 点如图②所示(过点作，交的延长线于点，作的平分线即可). 2. 数学实验:折叠正方形纸片. 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点，分别在边，上. (1) 折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上.设，的交点为，则________。 (2) 在(1) 的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上.的交点为. (3) 如图③，已知正方形纸片的边长为16cm.在(2)的条件下，当点P为AD的中点时，则随着点位置的改变，的周长是否会发生改变?如果不变，请直接写出的周长;如果改变，请直接写出的周长的最小值. 答案： (1) 如图①，即为所求(作的平分线即可).45 解析：分别是的平分线，. (2) 如图②，即为所求(延长，交于点，作的平分线即可). (3) 的周长会发生改变，最小值为.解析：如图③，过点作的垂线交于点，连接，是折痕，折叠后落在直线上，垂直平分，当三点共线时，最小，最小值即为的长，故的最小值为. 图形变换 1. 如图①，在中，，；5，在边上有一点从向运动，运动到点处停止. (1) 当时，求的度数. (2) 如图②，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部(不包含的边). ①求的取值范围; ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论. (3) 如图③，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围. 答案： (1) 设，在中， ，即. 是的外角，. (2) ①由(1)可得当点落在上，即时，.如图①，当点落在上时，则点在的内部(不包含的边)，的取值范围为. ②，证明如下： 如图②，延长交于点，由翻折可知是的外角，. 是的外角，. (3) 可设，如图③，当射线与射线交于点时，，且. 如图④，当射线与射线交于点时，，且.当直线与直线平行时，则.所在直线相交于点.又点从点运动到点停止，且. 2. 如图，直线，直角三角板，中，，. (1) 若如图①摆放，当平分时，证明:平分. (2) 若如图②摆放，________。 (3) 若图②中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的平分线相交于点(如图③)，则________。 (4) 若图②中固定，将从图②位置绕点顺时针旋转(如图④)，速度为每秒2°，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间. 答案： (1) 平分.<DFE，FD平分EFM. (2) 75 解析：如图①，过点作，.又. (3) 67.5 解析：如图②，分别过点，作，，.和的平分线相交于点. (4) 旋转的时间为或或. 解析：分以下三种情况： ①如图③，连接，当时，，即，由题图②的摆放方式可知，点共线，，即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ②如图④，连接，当时，，即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ③如图⑤，连接，当时，过点作. .又，即此时旋转的角度为，旋转的时间为. 综上，当线段与的一条边平行时，旋转的时间为或或. 几何类综合实践探究题 1. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如:在图①、图③中，入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且.设镜子与的夹角. 【问题初探】 (1) 图①是一种由两面镜子组成的反光镜，当两面镜子的夹角，时，与平行，请说明理由; 【拓展应用】 (2) 图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系:________；【深入探究】 (3) 如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角.若三角形MEG为锐角三角形，请求出的取值范围. 答案： (1) 90理由如下： 当时，，，即两面镜子的夹角时，与平行. (2) 解析：如图，为反射光线，过点作GM//EF. ，即. (3) 由题图③可得，同理可得三角形为锐角三角形，解得. 2. 小初同学围绕“三角形三个内角的和等于180°”进行了一系列探究，过程如下: (1) 【论证】如图①，延长至点，过点作，就可以证明成立，即三角形三个内角的和等于. 请完成上述证明过程. (2) 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作，点在射线上，连接并延长，交的延长线于点，且满足 ①的度数为________； ②设，则________(用含的代数式表示). (3) 【拓展】在(2)的条件下，若，，如图③，将(2)中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时两个三角形同时停止旋转.设旋转的时间为秒，在旋转过程中，当的值为多少时，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直?请直接写出的值. 答案： (1) 延长至点，过点作，，，即三角形三个内角的和等于. (2) ① 解析：如图①，是的平分线，.又. ② 解析：如图①，是的平分线，.在中，.，即 (3) 的值为8或12或26. 解析：由(2)可知，. ①当时，如图②，则，，解得； ②当时，如图③，作，则，，解得； ③当时，如图④，则，.作，则，解得. 综上，或或. 几何类阅读理解与新定义 1. 阅读:在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，简称“等边对等角”.例如:在中，若，依据“等边对等角”可得 运用上述知识，解决问题: 已知:如图，在中，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折后，点关于的对称点落在边上，且 (1) 若，求的度数. (2) 试判断的值是否变化.如果不变，求出这个值；如果变化，请说明理由. (3) 将绕点逆时针旋转后得到，当的一边恰好落在一边所在的直线上时，求的值. 答案： (1) 由题干所给信息可得.由翻折可得. (2) 不变，.由翻折可得. (3) 如图①，当落在直线上时， 由(2)得，解得. 如图②，当落在直线上时， 同理可得，，解得. 综上，为或. 2. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫作另一个角的“黄金角”. 例如:，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”. (1) 已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则________. (2) 如图①所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交于两点. ①若，且和互为“黄金角”，则________； ②如图②所示，过点作的垂线，垂足为相交于点.若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图③所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则________. 答案： (1) 解析：和互为“黄金角”，且，和互余，，，. (2) ① 解析：设的度数为，的平分线分别交于两点，和互为“黄金角”，，可得，解得. ②设的度数为.的平分线分别交于两点，与互为“黄金角"，或或，解得或. ③或 解析：设n.又的平分线分别交于两点，的平分线交于点和互为“黄金角”，或或或. 综上所述，的度数为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $