期末复习：实数的混合运算、新定义下的实数运算专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数运算基础与新定义拓展，通过分层例题与变式构建从运算技能到概念迁移的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数的混合运算|2例+2变式（含多小题）|含平方根、立方根的四则混合运算|从基本运算法则到多步骤综合运算，强化运算顺序与符号处理| |新定义下的实数运算|3例+3变式（含探究性问题）|涉及四次方根、根整数、虚数单位等新定义概念的理解与应用|以实数概念为基础，通过类比迁移构建新运算规则，培养抽象能力与推理意识|

期末复习：实数的混合运算、新定义下的实数运算专项训练 期末复习：实数的混合运算、新定义下的实数运算专项训练 考点目录 实数的混合运算 新定义下的实数运算 考点一 实数的混合运算 例1．（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 例2．（25-26七年级下·河南安阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根化简，再计算即可； （2）根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴ 或 变式2．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）计算． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 例2．（25-26七年级下·广东珠海·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 例3．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，． 任务： (1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ； (2)计算：____，____， ； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据材料找到规律即可解答； （2）根据定义，直接可得到和的值，估算的大小，结合定义，即可得到的值； （3）根据进行化简，求出，求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴若为正整数，则； （2）解：，， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据材料，得 ， ， ∵， ∴， ∴， ． 变式1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 变式2．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 【答案】(1)2，5 (2)中任意一个即可 (3)255 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴符合题意的值可以是，写出任意一个即可； （3）解：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 变式3．（25-26七年级下·重庆·期中）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)的“舒适区间”是________；的“舒适区间”是________； (2)若为偶数，且的“舒适区间”为，求的小数部分； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）仿照题干中的方法，根据“舒适区间”的定义求解； （）先根据的“舒适区间”求出的取值范围，再根据为偶数求出的值，代入即可求解； （）由二次根式有意义的条件得出，代入三次根式等式求出，再估算出的舒适区间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，舒适区间为； ∵，，， ∴，的舒适区间为； （2）解：的“舒适区间”为， ， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （3）解：根据二次根式有意义的条件，被开方数非负： ，， ， ， ∴右边， 即左边两个立方根之和为： ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：实数的混合运算、新定义下的实数运算专项训练 期末复习：实数的混合运算、新定义下的实数运算专项训练 考点目录 实数的混合运算 新定义下的实数运算 考点一 实数的混合运算 例1．（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： 例2．（25-26七年级下·河南安阳·期中）计算： (1) (2) 变式1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）计算． (1)； (2)； 考点二 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 例2．（25-26七年级下·广东珠海·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 例3．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，． 任务： (1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ； (2)计算：____，____， ； (3)已知，，求的值． 变式1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 变式2．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 变式3．（25-26七年级下·重庆·期中）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)的“舒适区间”是________；的“舒适区间”是________； (2)若为偶数，且的“舒适区间”为，求的小数部分； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $