上海实验中学2025-2026学年高二下学期周测7数学练习

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦概率统计与综合应用，以野生动物生存概率、食堂满意度调查等真实情境为载体，融合二项分布、正态分布等核心知识，突出数学眼光观察现实世界的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/40|随机变量概率、方差、百分位数|以野生动物种群生存（题1）、零件尺寸统计（题6）创设情境，考查数据观念| |选择题|4/16|正态分布、全概率公式、独立性|食堂满意度调查（题12）体现全概率公式应用，培养推理能力| |解答题|4/44|二面角、频率分布直方图、正态分布、新定义函数|手机使用时长正态分布（题17）综合考查期望方差计算，发展数学思维| |附加题|2/20|极大似然估计|捞鱼记号问题（题20）渗透统计方法，提升创新意识|

SES 2027届高二第二学期数学练习7 2026.6.3 一、填空题（本大题满分 40 分，共有 10 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分） 1. 长期追踪调查某野生动物种群，发现某一时段内出生的800只幼崽中，生存至1岁的有300只，生存至10岁的有220只.用频率估计概率，一只恰好1岁的该动物生存至10岁的概率为__________. 2. 在10件产品中共2件次品，一次任取3件，抽到的次品数的方差为_________. 3. 设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则_________. 4. 已知随机变量的概率分布密度函数为，若，则常数_______. 5．已知数据的均值为，方差为.现将数据依次变换为和，再将它们与原始数据混合，得到的混合数据的方差为__________. 6．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸均不超过这11个零件尺寸的第60百分位数，且包括这11个零件尺寸的中位数和众数的概率为_________． 7. 将一枚均匀的硬币抛四次，记随机变量为最长的一次连续出现正面的次数，则___________. 8．容量为的一组数据互不相同，若所有第百分位数（）中至少两个相同，则正整数的最大值为_________． 9. 定义随机事件的示性随机变量.设，给出以下四个命题：①； ②有最大值，没有最小值； ③若，则事件与独立；④若，，则. 其中全部的真命题为__________. 10．一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．从中不放回地摸出n个球（），用随机变量表示取到的红球数，若，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题满分 16 分，共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，否则一律得零分。） 11．设两个正态分布和的正态分布密度函数图像如图所示，则（     ） A．， B．， C．， D．， 12．全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（    ） A． B． C． D． 13. 已知事件、为同一样本空间的子集，，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14. 某校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但尚未打开时，组织方（预先知道哪些盲盒内有奖品）在剩余的个盲盒中打开了一个没有奖品的，随后抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但尚未打开时，剩余的个盲盒中有一个因被风吹掉而意外打开，且发现其内部没有奖品，随后抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，都有（ ） A． B． C． D．的大小关系不确定 三、解答题（本大题满分 44 分，共有 4 题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15．如图，在四棱锥中，，，, 点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：   利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 17．A市某校班主任小明查阅了某大学发表的一项A市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. （1）小明老师将自己学校的高三学生每周手机使用时长视为从本市总体中随机抽取的一个样本，在此估算基础上，在高三任选4位同学，当中每周手机使用时长在16到20小时之间的人数的期望、方差分别是多少?（精确到0.01） 参考数据：若，则，， （2）小明老师了解到相邻的B市高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.已知两独立的正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布，可以通过计算线性组合的期望、方差来确定新的分布形式，那么独立地从A、B市各随机抽查一名高三学生的每周手机使用时长，发现A市学生的使用时长更少的概率约为多少？ 参考数据： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 （3）为了帮助学生严格控制手机使用时长，提高复习效率，小明老师牵头制定了2月复习计划表.统计发现该计划表中：若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，且表示复习计划表第天有效.求，并说明该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 18．已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对于D内任意的，都有成立，则称是“函数”. （1）若，是“函数”，求实数的取值范围； （2）设函数，的图象是连续曲线，且，其导函数为.且，其中. ①求证：是“函数”. ②数列满足：，.证明：. 四、附加题（5分+15分） 19．设集合，从中随机选取一个元素记为，则的期望为__________.（用数值表示） 20．设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. （1）若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. （2）某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. （3）随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为为这组观测值的样本方差. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ SES 2027届高二第二学期数学练习7 2026.6.3 1. 长期追踪调查某野生动物种群，发现某一时段内出生的800只幼崽中，生存至1岁的有300只，生存至10岁的有220只.用频率估计概率，一只恰好1岁的该动物生存至10岁的概率为__________. 【分析】本题考查条件概率，基础题 【答案】生存到10岁则必已生存到1岁，所以所求条件概率即 2. 在10件产品中共2件次品，一次任取3件，抽到的次品数的方差为_________. 3. 设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则_________. 【分析】本题考查二项分布的性质和方差，中档题 【答案】，解得或， 所以或 4. 已知随机变量的概率分布密度函数为，若，则常数_______. 5．已知数据的均值为，方差为.现将数据依次变换为和，再将它们与原始数据混合，得到的混合数据的方差为__________. 经变换后的两组数据均值不变，此时方差可直接加权平均， 6．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸均不超过这11个零件尺寸的第60百分位数，且包括这11个零件尺寸的中位数和众数的概率为_________． 第60百分位数和中位数为50，众数为45，故所求 7. 将一枚均匀的硬币抛四次，记随机变量为最长的一次连续出现正面的次数，则___________. 【分析】本题考查古典概型和分布的写法，中档题 【答案】X的分布，故 ，故 8．容量为的一组数据互不相同，若所有第百分位数（）中至少两个相同，则正整数的最大值为_________．97 9. 定义随机事件的示性随机变量.设，给出以下四个命题：①； ②有最大值，没有最小值； ③若，则事件与独立；④若，，则. 其中全部的真命题为__________. ①②③④ 【分析】本题考查新定义、事件独立性、期望、方差的计算等，能力题 【答案】①：由题意的分布为，所以； ②：不难得与同分布，所以，为关于的二次函数，且，所以，无； ③：随机变量只可能取值0和1，且，所以，再由①，，所以条件转化为，事件A, B独立； ④：由①和②，即，且，结合二次函数的图像不难得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即，不难得； 10．一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．从中不放回地摸出n个球（），用随机变量表示取到的红球数，若，则的最小值为_________． 【解】容易算出，解得，故最小值为8. 11．设两个正态分布和的正态分布密度函数图像如图所示，则（     ）C A．， B．， C．， D．， 12．全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（    ）A A． B． C． D． 13. 已知事件、为同一样本空间的子集，，则“”是“”的（ ）A A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14. 某校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但尚未打开时，组织方（预先知道哪些盲盒内有奖品）在剩余的个盲盒中打开了一个没有奖品的，随后抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但尚未打开时，剩余的个盲盒中有一个因被风吹掉而意外打开，且发现其内部没有奖品，随后抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，都有（ ）A A． B． C． D．的大小关系不确定 15．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 17．A市某校班主任小明查阅了某大学发表的一项A市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. （1）小明老师将自己学校的高三学生每周手机使用时长视为从本市总体中随机抽取的一个样本，在此估算基础上若在高三任选4位同学，当中每周手机使用时长在16到20小时之间的人数的期望、方差分别是多少?（精确到0.01） 参考数据：若，则，， （2）小明老师了解到相邻的B市高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.已知两独立的正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布，可以通过计算线性组合的期望、方差来确定新的分布形式，那么独立地从A、B市各随机抽查一名高三学生的每周手机使用时长，发现A市学生的使用时长更少的概率约为多少？ 参考数据： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 （3）为了帮助学生严格控制手机使用时长，提高复习效率，小明老师牵头制定了2月复习计划表.统计发现该计划表中：若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，且表示复习计划表第天有效.求，并说明该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【解】（1） 故， （2）由题，仍服从正态分布，且， 故 由题，要求 （3）由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 18．已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对于D内任意的，都有成立，则称是“函数”. （1）若，是“函数”，求实数的取值范围； （2）设函数，的图象是连续曲线，且，其导函数为.且，其中. ①求证：是“函数”. ②数列满足：，.证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）不妨设，且 ∵为上的“函数”， 则恒成立 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，恒成立 在恒成立，. 综上，的范围为. （2）证明：由， 设，则， 故为单调递增函数， 则，恒有， 即，得， 设，则， 故为单调递减函数， 则，恒有，即，得. 综上可知，， 又， ，， 则， 当时， ， 则 . 又， 综上所述，. 19．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则的期望为__________.（结果用数值表示） 【详解】设的可能取值为随机变量，， 则，且，， 所以. 又因为， 则 ，故的期望为. 20．设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. （1）若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. （2）某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. （3）随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为为这组观测值的样本方差. （1）依题意得：， 所以. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为. （2）依题意得：，所以. 令，得，令，得， 又，所以… 所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200. （3）依题意得： 所以 令，， 则，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值. 即时，取得最大值，即取得最大值. 所以参数的极大似然估计值为. 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $