8.1 一元线性回归分析与成对数据分析（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

8.1 一元线性回归分析与成对数据分析 （3种题型基础练+能力提升练） 题型一：成对数据分析（共5小题） 一、单选题 1．某统计部门对四组数据进行统计分析后， 获得如图所示的散点图. 下面关于样本相关系数的比较， 正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图和相关系数的概念得到，，进而得到答案. 【详解】由题图可知，所对应的图中的散点呈现正相关， 而且对应的散点图更接近直线，相关性比对应的相关性要强，故， ，所对应的图中的散点呈现负相关， 而且对应的散点图更接近直线，相关性比对应的相关性要强，故， 因此. 故选：C. 2．变量与相对应的一组数据为；变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正相关，负相关判断的正负，即可比较大小. 【详解】由变量与相对应的一组数据为，， 可得变量与正相关，所以. 而由变量与相对应的一组数据为，， 可知变量与负相关，所以，所以与的大小关系是. 故选：C. 3．如图所示，5 个数据，去掉 后，下列说法正确的是（     ） A．相关系数变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱 【答案】C 【分析】由散点图知，去掉离群点后， 与的相关性变强，且为正相关，由此判断即可. 【详解】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关， 所以相关系数的值变大，决定系数的值变大，残差平方和变小. 故选：C. 4．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（　 ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据变量的相关关系判断即可. 【详解】观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系. 故选：D. 5．下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关．结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 题型二：相关系数（共5小题） 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个 B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强 C．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 【答案】D 【分析】根据经验回归方程、相关系数、决定系数、残差等知识确定正确答案. 【详解】对于A，经验回归方程是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过，所以A错误； 对于B，由相关系数的意义，当越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，所以B错误； 对于C，用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，所以C是错误； 对于D，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中， 模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：D. 2．下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B正确，C正确；根据方差的性质，可判定D错误. 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A正确； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强， 所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的4倍，所以D正确. 故选：D． 3．由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（     ） A．若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B．若越大，则两组变量的相关性越强 C．经验回归方程至少经过样本数据中的一个 D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 【答案】D 【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD； 【详解】对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误； 对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率， 它不反应两变量的相关性强弱，B错误； 对于C，经验回归方程不一定经过样本数据中的一个，C错误； 对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时， 若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位； 故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确， 故选：D 4．为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【分析】根据已知计算相关系数，再根据相关系数的值判断线性相关程度. 【详解】由题可得，， 则 ， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 故选：A. 二、解答题 5．近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元 9 12 17 21 26 请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度（结果保留三位小数）．附：． 【答案】散点图见解析，相关，，相关性很强. 【分析】作出散点图，计算相关系数并确定相关程度. 【详解】画出散点图如下： 由图知，交易额y与年份代码x线性相关， 由表中数据，计算得，， 则， ， ， 所以， 所以变量y与x的线性相关程度很强. 题型三：回归直线方程（共8题） 一、单选题 1．第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法正确的是： （    ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（万只） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与正相关 B．当时，残差为0.2 C．线性回归方程 D．可以预测当 时销量约为 2 万只 【答案】C 【分析】利用表中数据变化情况判断A；由样本中心点求出线性回归方程判断C；利用回归方程求出预测值，进而求出残差判断B；利用回归方程求出预测值判断D. 【详解】对于A，从数据知，随的增大而减小，变量与负相关，A错误； 对于C，，，， 因此线性回归方程为，C正确； 对于B，，残差，B错误； 对于D，当时销量约为（万只），D错误.故选：C 2．已知某仪器的使用年限（年）和其维修费用（万元）的统计数据： 使用年限 维修费用 由散点图知对具有线性相关关系，利用线性回归方程估计使用年限为年时，维修费用为（    ）万元. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据求出回归直线方程，再进行预测. 【详解】依题意，， ，， 则，， 则关于的线性回归方程为，当时，， 所以估计使用年限为年时，维修费用为13.59万元. 故选：C 3．下列说法正确的是（    ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B．回归直线方程为时，变量x和y负相关 C．在回归直线方程中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位 D．由样本数据得到的回归直线至少经过点中的一个 【答案】B 【分析】根据回归方程概念性质及相关系数性质判断各个选项. 【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在回归直线方程中，当x每增加1个单位时，相应观测值y约增加0.5个单位，故C错误； 对于D，由样本数据得到的回归直线，必过点，不一定经过中的点，故D错误． 故选:B． 4．某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.7 1.0 1.2 1.6 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中， C．时，残差为0.06 D．可以预测时，该商场手机销量约为1.81千只 【答案】B 【分析】利用回归直线方程的概念一一判断求解. 【详解】对A，由图表可知，变量y与x正相关， 且，即变量y与x正相关，A正确； 对B，由图表数据可得， 因为样本中心满足回归直线，所以，解得，B错误； 对C，时，残差为，C正确； 对D，时，该商场手机销量约为千只，D正确； 故选:B. 二、解答题 5．近年来，我国铁路事业取得历史性成就、发生历史性变革，路网规模质量大幅提升，建成世界最大的高速铁路网．截至2023年底，我国铁路营业里程达15.9万公里，其中高铁营业里程4.5万公里，继续稳居世界第一．如图，是我国2015-2023年高铁营业里程的发展情况（单位：万公里）． (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合高铁营业里程与年份代码的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001；当时，认为线性相关性较强；时，认为线性相关性一般；，认为线性相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程，并预测到哪一年我国高铁的营业里程将达到7万公里（结果精确到0.01）． 附：参考公式：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：，，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)，预测到2030年我国高铁的营业里程将会达到7万公里 【分析】（1）先求出，，结合提议中的公式计算即可求解. （2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程，求出结果. 【详解】（1）由散点图数据得 ， ， 又，，， 所以， 故与的线性相关性较强，所以可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）由（1）得， 则， 所以关于的线性回归方程为， 令，即，解得， 即时，高铁的营业里程将会达到7万公里， 所以预测到2030年我国高铁的营业里程将会达到7万公里． 6．近年来，随着人工智能技术的不断发展，各种AI应用也不断普及，ChatGPT就是一款具有人类沟通能力的智能AI工具．随着人工智能的加入，各类传媒、影视、游戏行业迎来了高速的发展，AI技术降低了这些行业的人力成本，提高了效率．某公司2016年—2023年的年投入资金（万元）与年收益（百万元）的数据如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用（，均为常数）拟合年收益与年投入资金的关系，求出经验回归方程； (2)为了促进公司发展，该公司决定在甲、乙两个部门之间进行一次信息化技术比赛，比赛规则如下：两个部门进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两部门同时回答这道题，若一部门答对且另一部门答错，则答对的部门得10分，答错的部门得分，若两部门都答对或都答错，则两部门均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两部门答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，甲部门答对每道题的概率为，乙部门答对每道题的概率为． （ⅰ）记每一轮比赛中甲部门的得分为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）求三轮比赛后甲部门获得奖品的概率． 参考数据：，，，其中，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ） 【分析】（1）对两边同时取自然对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得经验回归方程； （2）写出的可能取值，分别求出概率即可求出分布列及期望；记三轮比赛后甲部门可获得奖品的得分为，写出的可能取值，分别求出概率即可求解. 【详解】（1）因为，所以两边同时取自然对数，得， 设，所以， 又因为，，， ， 所以， 所以，即， 所以； （2）（ⅰ）的可能取值为10，0，， 则， ， ， 所以的分布列为 10 0 所以； （ⅱ）记三轮比赛后甲部门可获得奖品的得分为，则的可能取值为30，20，10， 则， ， ， 所以三轮比赛后甲部门获得奖品的概率为. 7．某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． (1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 【答案】(1)0.94，与线性相关性很强 (2)，55.89% (3)． 【分析】（1）根据题意中的公式求出相关系数r，结合其表示的意义即可下结论； （2）根据最小二乘法计算可得，进而，将代入即可求解； （3）由题意可知，利用二项分布求出对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望即可． 【详解】（1） 故与线性相关性很强． （2）， ， 所以关于的线性回归方程为， 将代入， 得． 当时，， 故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%． （3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：， 由题意，数学期望． 8．近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 【答案】(1) (2)万辆 【分析】（1）利用所提供数据求，代入参考公式求即可； （2）结合公式求，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测. 【详解】（1）， ， 所以； （2）由（1）知，， ， 所以关于的线性回归方程是， 当时，（万辆）， 该地区年新能源汽车购买数量约为万辆. 一、单选题 1．根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图，结合相关系数知识即可得出答案. 【详解】由图可得随增大而减小，随增大而减小， 所以与增呈负相关关系，与呈负相关关系，故， 又由图可知图1相关性更强，故更接近， 所以. 故选：A. 2．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 【答案】D 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 3．某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 【答案】C 【分析】对于A，利用表中的数据就化情况分析判断；对于B，利用样本中心点满足回归方程，求出；对于C，利用回归方程可求出预测值，进而可求出残差绝对值；对于D，利用回归方程可求出预测值. 【详解】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，则样本的相关系数为负数，故A正确； 对于B，，所以，得，故B正确； 对于C，因为，所以当时，残差的绝对值为，故C错误； 对于D，当时，，所以预测当时销量约为1.5万瓶，故D正确， 故选：C. 4．下列说法正确的序号是（    ） A．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量会增加1.2个单位 B．利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理： C．已知，是两个分类变量，若随机变量的观测值越大，则结论“与有关系”的犯错概率越大； D．若、两组成对数据的相关系数分别为，则组数据的相关性更强 【答案】B 【分析】根据回归方程的定义和性质判断AB；随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，C错误；相关系数如果大于零，正相关性更强，小于零，负相关性更强，D错误，得到答案. 【详解】对于选项A：在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均增加个单位，A错误； 对于选项B：用随机误差的平方和，即， 并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，由于平方又叫二乘， 所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理，B正确； 对于选项C：对分类变量与，对它们的随机变量的观测值越大， 则“与有关系”的把握程度越大，C错误； 对于选项D：样本相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，若，正相关性更强，若，负相关性更强，D错误.故选：B. 5．某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：），图①为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图②为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，则下列结论中不正确的为（    ） A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系 C．可估计身高为的人臂展大约为 D．身高相差的两人臂展都相差 【答案】D 【分析】运用极差概念，回归直线与散点图知识，回归直线的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，身高极差大约为20，臂展极差大约为25，故A正确； 对于B，很明显根据散点图以及回归直线得到，身高矮一些，臂展就可能短一些，身高高一些，臂展就可能长一些，故B正确； 对于C，身高为，代入回归直线方程可得到臂展的预测值为，但不是准确值，故C正确； 对于D，身高相差的两人臂展的预测值相差，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故D不正确． 故选：D. 二、多选题 6．如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（   ） A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C．由方程可知，样本点的残差为 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 【答案】ACD 【分析】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项. 【详解】对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于C，当时， ，所以样本点的残差为，故C正确；对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程的预报效果更好，故D正确．故选：ACD. 7．已知变量x和变量y的一组成对样本数据（）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据（）的相关系数满足 D．时，成对样本数据（）的线性回归方程满足 参考公式： 【答案】BCD 【分析】根据线性相关、相关系数、线性回归方程等知识，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A错误； 对于B，当时，成对样本数据正相关，相关系数与符号相同，则，故B正确； 对于C，当，时，将这组数据添加后，不变，故相关系数的表达式中的分子和分母均不变，故C正确； 对于D，当，时，将这组数据添加后，不变，故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以，故D正确； 综上所述，正确的有B、C、D.故选：BCD. 三、解答题 8．近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标 2 4 5 6 8 指标 3 4 4 4 5 (1)试求与间的样本相关系数，并说明与是否具有较强的线性相关关系（若0.75，则认为与具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测当指标为7时，指标的估计值； (3)若某城市的共享单车的指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内.现已知省某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数. 参考数据：. 【答案】(1)0.95，与具有较强的线性相关关系. (2)，估计值为4.6. (3)需要进行治理，理由见解析 【分析】（1）求出，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论； （2）利用（1）中的数据求出，求出线性回归方程，即可求出时，的值； （3）分别求出，的值，13与对比，即可得出结论. 【详解】（1）由题表得，. ， 所以， ， ， 所以， 因为，所以与具有较强的线性相关关系. （2）由（1）得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当指标为7时，指标的估计值为4.6. （3）该城市的交通管理部门需要进行治理.理由如下： 由题意得， 因为，所以该城市的交通管理部门需要进行治理. 9．某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】(1) (2)652 【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 10．某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】(1) (2)，约为万元 【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 一元线性回归分析与成对数据分析 （3种题型基础练+能力提升练） 题型一：成对数据分析（共5小题） 一、单选题 1．某统计部门对四组数据进行统计分析后， 获得如图所示的散点图. 下面关于样本相关系数的比较， 正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．变量与相对应的一组数据为；变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，5 个数据，去掉 后，下列说法正确的是（     ） A．相关系数变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱 4．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（　 ） A．   B．   C．   D．   5．下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：相关系数（共5小题） 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个 B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强 C．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 2．下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 3．由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（     ） A．若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 B．若越大，则两组变量的相关性越强 C．经验回归方程至少经过样本数据中的一个 D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位 4．为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 二、解答题 5．近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元 9 12 17 21 26 请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度（结果保留三位小数）．附：． 题型三：回归直线方程（共8题） 一、单选题 1．第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法正确的是： （    ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（万只） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与正相关 B．当时，残差为0.2 C．线性回归方程 D．可以预测当 时销量约为 2 万只 2．已知某仪器的使用年限（年）和其维修费用（万元）的统计数据： 使用年限 维修费用 由散点图知对具有线性相关关系，利用线性回归方程估计使用年限为年时，维修费用为（    ）万元. A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B．回归直线方程为时，变量x和y负相关 C．在回归直线方程中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位 D．由样本数据得到的回归直线至少经过点中的一个 4．某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.7 1.0 1.2 1.6 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中， C．时，残差为0.06 D．可以预测时，该商场手机销量约为1.81千只 二、解答题 5．近年来，我国铁路事业取得历史性成就、发生历史性变革，路网规模质量大幅提升，建成世界最大的高速铁路网．截至2023年底，我国铁路营业里程达15.9万公里，其中高铁营业里程4.5万公里，继续稳居世界第一．如图，是我国2015-2023年高铁营业里程的发展情况（单位：万公里）． (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合高铁营业里程与年份代码的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001；当时，认为线性相关性较强；时，认为线性相关性一般；，认为线性相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程，并预测到哪一年我国高铁的营业里程将达到7万公里（结果精确到0.01）． 附：参考公式：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：，，，． 6．近年来，随着人工智能技术的不断发展，各种AI应用也不断普及，ChatGPT就是一款具有人类沟通能力的智能AI工具．随着人工智能的加入，各类传媒、影视、游戏行业迎来了高速的发展，AI技术降低了这些行业的人力成本，提高了效率．某公司2016年—2023年的年投入资金（万元）与年收益（百万元）的数据如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用（，均为常数）拟合年收益与年投入资金的关系，求出经验回归方程； (2)为了促进公司发展，该公司决定在甲、乙两个部门之间进行一次信息化技术比赛，比赛规则如下：两个部门进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两部门同时回答这道题，若一部门答对且另一部门答错，则答对的部门得10分，答错的部门得分，若两部门都答对或都答错，则两部门均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两部门答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，甲部门答对每道题的概率为，乙部门答对每道题的概率为． （ⅰ）记每一轮比赛中甲部门的得分为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）求三轮比赛后甲部门获得奖品的概率． 参考数据：，，，其中，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 7．某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若． (1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据 ，，，，，，，，，． 8．近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 一、单选题 1．根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（    ）    A． B． C． D． 2．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 3．某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 4．下列说法正确的序号是（    ） A．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量会增加1.2个单位 B．利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理： C．已知，是两个分类变量，若随机变量的观测值越大，则结论“与有关系”的犯错概率越大； D．若、两组成对数据的相关系数分别为，则组数据的相关性更强 5．某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：），图①为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图②为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，则下列结论中不正确的为（    ） A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系 C．可估计身高为的人臂展大约为 D．身高相差的两人臂展都相差 二、多选题 6．如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（   ） A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C．由方程可知，样本点的残差为 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 7．已知变量x和变量y的一组成对样本数据（）的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B．当时， C．，时，成对样本数据（）的相关系数满足 D．时，成对样本数据（）的线性回归方程满足 参考公式： 三、解答题 8．近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标 2 4 5 6 8 指标 3 4 4 4 5 (1)试求与间的样本相关系数，并说明与是否具有较强的线性相关关系（若0.75，则认为与具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测当指标为7时，指标的估计值； (3)若某城市的共享单车的指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内.现已知省某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数. 参考数据：. 9．某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 10．某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$