专题01 乘法原理与加法原理、排列、组合（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题01 6.1乘法原理与加法原理+6.2排列+6.3组合 目录 【题型一 分类加法计数原理】 2 【题型二 分步乘法计数原理】 2 【题型三 两个计数原理综合应用】 3 【题型四 元素（位置）有限制的排列问题】 4 【题型五 相邻（不相邻）问题的排列】 4 【题型六 组合数的计算问题】 6 【题型七 涂色问题】 6 【题型八 分组分配问题】 8 一、分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 二、分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 三、排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 四、组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 【题型一 分类加法计数原理】 1．（24-25高二上·上海·假期作业）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有 个. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为 个． 5．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为 ． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有 种不同的选法 【题型二 分步乘法计数原理】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）把四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25高二上·上海·假期作业）某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（    ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 3．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）正整数2024有 个不同的正约数 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 6．（25-26高三上·上海·单元测试）从单词“”中选取个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种． 7．（2024·上海闵行·三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 种. 8．（24-25高二上·上海·假期作业）在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个． 【题型三 两个计数原理综合应用】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏镇江·阶段练习）五个人排成一列，重新站队时，各人却不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有 种 3．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 4．（23-24高三上·河北·期末）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案 .（用数字作答） 5．（23-24高二下·上海长宁）从0，1，2，3，4，5六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有 种 7．（23-24高二上·上海·课后作业）用0、1、2、3、4、5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【题型四 元素（位置）有限制的排列问题】 1．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·课后作业）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二上·上海·假期作业）从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 4．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 5．（24-25高三上·上海·开学考试）某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为 . 6．（24-25高二上·上海·假期作业）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 . 7．（24-25高三·上海·随堂练习）5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人． (1)求两名女生相邻而站的排法数； (2)求教师不站中间且女生不站两端的排法数． 【题型五 相邻（不相邻）问题的排列】 1．（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 2．（24-25高三·上海·课堂例题）三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 3．（23-24高二下·上海闵行·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 4．（23-24高二下·上海·期中）4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）4男3女排队拍照． (1)女生不在两边的排法有多少种？ (2)恰有3个男生连排的排法有多少种？ (3)甲在乙的左边的排法有多少种？ 6．（25-26高三上·上海·单元测试）从A，B，C等8人中选出5人排成一排． (1)A必须在内，有多少种排法？ (2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ (3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 7．（23-24高二下·上海闵行）12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果） (1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案； (2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序； (3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？ 【题型六 组合数的计算问题】 1．（2024·湖南长沙·二模）若m，，，，则 ．（请用一个排列数来表示） 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）化简： . 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 5．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）（1）计算； （2）求满足等式的正整数n． 【题型七 涂色问题】 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（   ）    A．156 B．144 C．96 D．78 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 5．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 6．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【题型八 分组分配问题】 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 2．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 3．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 4．（2024·全国·模拟预测）某地教体局为了响应银龄教师支教工作，准备从本地区选聘7位退休教师到新疆3所学校任教，要求每所学校至少去1位教师，且每位教师只能去1所学校支教，则不同的分配方案种数为（    ） A．2142 B．2016 C．1890 D．1806 5．（2025高三·北京·专题练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种. 7．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 一、单选题 1．（23-24高二下·上海闵行·期中）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·三模）现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 4．（23-24高一上·上海虹口·期中）若非空集合A、B满足以下两个条件：①，；②A的元素个数不是A的元素，B的元素个数不是B的元素．则有序集合对（A，B）的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 二、填空题 5．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有个数字0和个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当时，这样的信号序列有 种. 6．（2024·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 7．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有 个“有序子集列”. 8．（24-25高二上·上海·假期作业）给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有 种 9．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 10．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个 14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 15．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 17．（24-25高三·上海·课堂例题）球台上有标有1、2、3、4的4个黄球和标有1、2、3、4、5、6的6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？ 18．（25-26高三上·上海·单元测试）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ (2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (3)从中选出2名男生和2名女生分四个不同角色表演朗诵，有多少种选派方法？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 6.1乘法原理与加法原理+6.2排列+6.3组合 目录 【题型一 分类加法计数原理】 2 【题型二 分步乘法计数原理】 4 【题型三 两个计数原理综合应用】 7 【题型四 元素（位置）有限制的排列问题】 10 【题型五 相邻（不相邻）问题的排列】 13 【题型六 组合数的计算问题】 17 【题型七 涂色问题】 19 【题型八 分组分配问题】 23 一、分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 二、分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 三、排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 四、组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 【题型一 分类加法计数原理】 1．（24-25高二上·上海·假期作业）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、函数新定义 【分析】根据“同族函数"的定义、可列出西数解析式为，值域为的"同族函数"的定义域、以而确定“同族函数"的个数. 【详解】函数解析式为，值域为， 当时，；当时，， 则定义域为，，，， ，，，，， 因此，“同族函数”共有9个， 故选：C． 2．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 【答案】14 【知识点】分类加法计数原理、函数关系的判断、组合数的计算 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解. 【详解】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给取3个自变量，则对应1个自变量，有种， 给取2个自变量，则对应2个自变量，有种， 给取1个自变量，则对应3个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式， 故答案为：14 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有 个. 【答案】112 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）. 【详解】先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过4000，所以分成千位数取值为1，2，3三种情况考虑： 若千位数为1，则后面百位，十位，个位数字比1大， 从剩下8个数字2,3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法； 若千位数为2，则后面百位，十位，个位数字比2大， 则从剩下7个数字3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法； 若千位数为3，则后面百位，十位，个位数字比3大， 则从剩下6个数字4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法； 再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过4000，所以千位数取值为3，则后面百位，十位，个位数字比3小， 则从剩下3个数字0,1,2中选3个不重复的从左到右依次减小，共有种选法； 所以一共有个. 故答案为：112. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为 个． 【答案】35 【知识点】分类加法计数原理 【分析】分类讨论元素的奇偶性，利用列举法结合分类加法计数原理运算求解. 【详解】因为集合中有5个奇数，5个偶数 若集合中的4个元素均为偶数，则有 ， 共5个； 同理可得：若集合中的4个元素均为奇数，则有共5个； 若集合中的4个元素有2个奇数、2个偶数，则有 共9个；若集合中的4个元素有1个奇数、3个偶数，则有 ， 共8个； 同理可知：若集合中的4个元素有3个奇数、1个偶数，则有8个； 综上所述：共有个. 故答案为：35. 5．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为 ． 【答案】4 【知识点】分类加法计数原理、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据题意，按正方形在棱柱中的位置分2种情况讨论，分析正四棱柱的数目，相加可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①正方形作为对角面时，有2个， ②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有2个， 共有种取法． 故答案为：4. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有 种不同的选法 【答案】216 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理，按照分步乘法，分类加法即可得解. 【详解】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理. 第一类：2个只会跳舞的都不选，有种; 第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有种; 第三类：2个只会跳舞的全入选，有种, 所以共有216种不同的选法, 故答案为：216. 【题型二 分步乘法计数原理】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）把四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【知识点】组合数的计算、组合意义理解、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意可分三步操作： 第一步：从四个数中任取两个数，有种取法； 第二步：将取出两个数按从小到大填入右边一列，只有一种排法， 第三步：将剩下的两个数按从小到大填入下边一行，也只有一种排法， 故满足要求的填法种数是种， 故选：D 2．（24-25高二上·上海·假期作业）某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（    ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，分3步进行，先安排甲，再安排乙，最后安排其他的3人，由分步计数原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，先安排甲，甲只能安排到周一或周二，有2种情况， 再安排乙，学生乙不能安排在周五，甲已经安排，则乙有3种情况， 最后对其他的3人分析，将其安排在剩余的3天即可，有种情况， 由分步计数原理，可得共有种情况. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 【答案】A 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余5人即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种方法； 剩下5名同学任选3人，且任意排序，共有种， 所以一共有种， 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）正整数2024有 个不同的正约数 【答案】16 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】将2024分解为若干个素数的乘积，再由分步乘法计算可得； 【详解】因为， 所以正整数2024有个不同的正约数， 故答案为：16. 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得. 【详解】第一步，从这个数中任选个，共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的个数中选出个分给， 由题意可知，选出后“五位凹数”就确定了，共有种方法， 所以满足条件的“五位凹数”共有个， 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·单元测试）从单词“”中选取个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种． 【答案】480 【知识点】组合数的计算、相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据条件，利用分步计算原理，先求出个字母中选个字母，有种结果，再与“” 组成的一个元素进行全排，即可求出结果. 【详解】要选取个字母时，首先从其它个字母中选个字母，有种结果， 再与“”组成的一个元素进行全排列共有， 故答案为：. 7．（2024·上海闵行·三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 种. 【答案】4050 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先考虑两对混双的组合，再从余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有. 故答案为：4050 8．（24-25高二上·上海·假期作业）在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个． 【答案】72 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先安排个位，再安排千位，最后考虑十位和百位. 【详解】根据题意，第一步个位有4种选法，第二步千位有3种选法，最后十位和百位有种选法， 所以不能被5整除的数共有个. 故答案为：72. 【题型三 两个计数原理综合应用】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的性质及应用、分类加法计数原理 【分析】由题意知，至少有2件次品包含两类情况，再利用分类分步计数原理计算即可. 【详解】根据题意可知，至少2件次品包含两类： 2件次品，3件正品，共种抽法， 3件次品，2件正品，共种抽法， 由分类计数原理得，抽法共有种， 或利用间接法种． 故选：D． 2．（23-24高二下·江苏镇江·阶段练习）五个人排成一列，重新站队时，各人却不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有 种 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、其他计数模型 【分析】根据已知条件可以通过合理地分步，恰当地分类来找出递推关系，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】解考虑一般情况，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，设满足这样的站队方式有种，下面通过合理分步，恰当分类找出递推关系: 第一步:第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法， 第二步:假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类: 第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式； 第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置.....第个人不站在第个位置，所以有种站队方式， 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理，得数列的递推关系：， 显然再由递推关系有. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 【答案】26 【知识点】分类加法计数原理、几何组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分类加法和分步乘法结合组合数的性质计算可得. 【详解】先分类，再分步. 当取3个共线的点中的两个时，可确定1条； 当取不共线的5个点中的两个时，可确定条； 当取不共线的5个点中的一个与共线三个点点中的一个时，可确定条； 所以一共26条. 故答案为：26 4．（23-24高三上·河北·期末）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】全排列问题、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】 本题为标准的先分组再分配问题，第一步先分组，第二步分配. 【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人， 则分组方式为或或； 第一步先分组，分组方式共有种； 第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案； 第三步根据分步乘法原理总计种按排方案. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海长宁）从0，1，2，3，4，5六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 【答案】52 【知识点】数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分个位为0和个位为2或4，再由分步计数原理计算可得答案． 【详解】①个位为0，有种方法， ②个位为2或4，则有种方法，百位不能排0有种方法，十位有种方法，故有种方法. 一共有:种方法. 故答案为：52. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有 种 【答案】130 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解. 【详解】①只有男队长，没有女队长： 种， ②只有女队长，没有男队长： 种， ③男、女队长都有， 种， 所以共有46+56+28=130种. 故答案为：130. 7．（23-24高二上·上海·课后作业）用0、1、2、3、4、5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】100 【知识点】数字排列问题 【分析】解法一：分类讨论百位上的数字是否为，结合排列法即可得解； 解法二：利用排除法，结合排列法即可得解； 解法三：分三位数不含，个数或十位上的数字为三种情况，结合排列法即可得解. 【详解】解法一： 用0到5这6个数字组成一个三位数，可以看成从这6个数字中任取3个的一个排列（0排在百位的除外）． 由于百位上的数字不能是0，因此可以分两个步骤考虑：先排百位上的数字，再排十位和个位上的数字． 百位上的数字从1到5这5个数字中任取1个，有种情形； 十位和个位上的数字，可以从余下的5个数字中任取2个，有种情形． 根据乘法原理，所求的三位数的个数为． 解法二： 从0到5这6个数字中任取3个数字的排列数，减去其中以0为排头的排列数，就是用这6个数字组成的没有重复数字的三位数的个数． 从0到5这6个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为， 因此所求的三位数的个数为． 解法三： 由于0不能出现在百位上，因此可以根据数码中是否有0和0出现在哪一位上进行分类讨论． 满足条件的三位数可以分成三类： 每一位数字都不是0的三位数有个； 个位数字是0的三位数有个； 十位数字是0的三位数有个． 根据加法原理，符合条件的三位数的个数为． 【题型四 元素（位置）有限制的排列问题】 1．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】分别讨论夹在中间的偶数数字为和不为两种情况，结合捆绑法、特殊位置优先的方式来求解即可. 【详解】当夹在中间的偶数数字为时，满足题意的五位数个数为个； 当夹在中间的偶数数字不为时，将其与看作一个整体，则有种情况； 再将这个整体和另一个不为的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有种情况， 则满足题意的五位数有个； 满足题意的五位数共有个. 故选：A. 2．（24-25高三上·上海·课后作业）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先把3个男生排列在一起，再排列6名女生，最后插空安排2组男生结合乘法原理计算即可. 【详解】根据题意，分3步进行分析： ①将4名男生分成1、3的两组，将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，有种，这样与第4个男生看成是2组男生； ②将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位； ③将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，则不同的排法有种． 故选:D． 3．（24-25高二上·上海·假期作业）从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分两类方法，3人中有甲的和3人中没有甲的.有甲的可先安排甲从事工作，有两种可能性，后安排剩下两人从事工作有种可能性；无甲的有种可能性.即可得答案. 【详解】3人中无甲，则从4人中选择3人从事3种工作，有个选派方案； 3人中有甲，安排甲从事剩下两项工作有2种可能性，从剩下4人中安排两人从事剩下两项工作，有种可能性，故有甲有个选派方案. 故不同的选派方案有48个. 故选：C 4．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 【答案】 【知识点】递推数列的实际应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·开学考试）某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为 . 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，再求得1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测种数，结合间接法，进而得到答案. 【详解】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数， 可分三步分析：先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列， 有种情况，其排好后有5个空位可选， 再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测，有种， 最后和另外1种抗生素类药品，安排在4个空位中，有种排法， 此时，共有种不同的排法， 其中1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测，有， 综上可得，共有种不同的排法. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·假期作业）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 . 【答案】6 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合 【分析】体育不排在第一、四节，则体育必须排在第二、三节，则分两种情况讨论：①若体育排在第二节，②若体育排在第三节；每种情况下依次分析语文和剩下两门科目的排法数目，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，体育不排在第一、四节，则体育必须排在第二、三节，则分两种情况讨论： 若体育排在第二节,语文可以排在第三、四节,有2种情况,数学、外语排在剩下的两节,有种情况， 则此种情况下共有种排课方案； 若体育排在第三节,语文可以排在第四节,有1种情况,数学、外语排在剩下的两节,有种情况， 则此种情况下共有种排课方案； 则共有种不同排课方案. 故答案为：6. 7．（24-25高三·上海·随堂练习）5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人． (1)求两名女生相邻而站的排法数； (2)求教师不站中间且女生不站两端的排法数． 【答案】(1)48 (2)32 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、排列数的计算 【分析】（1）利用捆绑法，先捆绑，然后“全排列”； （2）先分类，然后分步，结合排列数的相关知识即可求解. 【详解】（1）两名女生相邻而站有种站法，将其视为一个整体与其余3个人全排列，有种排法， 所以共有种不同站法； （2）①教师站在一端，另一端由男生站，有种站法； ②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的2个位置之一，有种站法， 所以，共包含种站法． 【题型五 相邻（不相邻）问题的排列】 1．（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 2．（24-25高三·上海·课堂例题）三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先让男生排好，再让女上插空去排，同时左右两端只能选择一段，计算即可得. 【详解】先让男生排好有种排法，在让女生插空必须选择中间的2个空和左、右2端中的一个， 所以排法分别是，再根据分步计算原理的总的排法. 故选：C 3．（23-24高二下·上海闵行·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确； 不相邻问题利用插空法可以判断D错误. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，B正确； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，D错误. 故选： D. 4．（23-24高二下·上海·期中）4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 【答案】384 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】视每对双胞胎为一个整体作全排列，再排列各对双胞胎即得. 【详解】每对双胞胎视为一个整体作全排列，有种，而每对双胞胎的排列有， 所以不同的站法种数是是. 故答案为：384 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）4男3女排队拍照． (1)女生不在两边的排法有多少种？ (2)恰有3个男生连排的排法有多少种？ (3)甲在乙的左边的排法有多少种？ 【答案】(1) (2)1728 (3)2520 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先排两边，剩余位置全排列即可； （2）讨论3个男生连排看成整体M的位置，结合排列数运算求解； （3）先进行全排列，再结合对称性分析求解. 【详解】（1）女生不在两边，则两边均为男生，有种不同排法， 剩余的男、女生全排列，有种不同排法， 所以共有种不同排法. （2）3个男生连排看成整体M，有种不同排法， 相当于M，1男3女排队，且M与1男不能连排， 先将3女进行排列，有种， 再将M和1男插到3女所成的4个空中，有种， 所以共有种排法. （3）4男3女的排法有种， 根据对称可知：甲在乙的左边的排法有种. 6．（25-26高三上·上海·单元测试）从A，B，C等8人中选出5人排成一排． (1)A必须在内，有多少种排法？ (2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ (3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 【答案】(1)4200种 (2)5520种 (3)240种 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先依次求出从余下的7人中选4人、选出的4人与A进行全排列的方法数，再依据分布乘法计数原理即可得解. （2）先求出8人中任选5人的排列数，再求出8人中任选5人A，B，C三人全在内的排法，从而用8人中任选5人的排列数减去A，B，C三人全在内的结果即可得解. （3）先求余下5人中选2人的排法，接着依据题意先将A、B进行排列、再将选出的2人进行全排列，然后再求出将A、B这个整体与C插入至所选出的2人所产生的3个空位中的其中2个的排列数，最后根据分布乘法计数原理将前面几步所得结果乘起来即可得解. 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将选出的4人与A进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）从8人中任选5人排列共有种不同排法， A，B，C三人全在内有种不同排法， 所以由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法. （3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， A、B必须相邻，有种不同排法， 由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将A、B这个整体与C插入至所选出的2人所产生的3个空位中其中2个有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. 7．（23-24高二下·上海闵行）12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果） (1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案； (2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序； (3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？ 【答案】(1) (2) (3)11508， 【知识点】分组分配问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）由题意根据隔板法求解； （2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解； （3）分别按分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解. 【详解】（1）利用隔板法：. （2）根据捆绑、插空：高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . （3）①.若按2，2，5分组，则有：种， ②.若按2，3，4分组，则有：种， ③.若按3，3，3分组，则有：种， 故共有种安排方式. 若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种， 若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有    种， 若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420种， 故甲、乙在同一组的概率为. 【题型六 组合数的计算问题】 1．（2024·湖南长沙·二模）若m，，，，则 ．（请用一个排列数来表示） 【答案】 【知识点】组合意义理解、其他计数模型、排列的意义理解、分类加法计数原理 【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素分类求解即可. 【详解】从n个元素中选取m个元素排列到m个位置上去， 对于两个指定的元素进行分类，都被选出来，有种排法， 中有一个被选出来，有种排法， 都没有被选出来，有种排法， 所以． 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）化简： . 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】由组合数公式可得，根据题意结合组合数的性质分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式、排列数方程和不等式 【分析】由排列数和组合数的公式代入求解即可. 【详解】由可得：， 即，则， 所以或（舍去）， 将检验，是原方程的解. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 【答案】（1）；（2）或 【知识点】组合数方程和不等式、排列数方程和不等式 【分析】（1）（2）应用排列组合数公式及已知方程和不等式求参数值. 【详解】（1）由题设，且， 则，整理得， 所以或（不是整数，舍）. （2）由题设且， 所以，可得， 综上，整数的值为或. 5．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的运算性质即可求证. 【详解】因为左边 右边. 所以. 6．（23-24高二上·上海·课后作业）（1）计算； （2）求满足等式的正整数n． 【答案】（1）；（2）4 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】（1）（2）利用组合数的性质求解即可. 【详解】（1）由性质，得． （2）由性质和， 得，． 所以已知等式可化为， 又由性质，得， 所以，则． 所以，即，解得或（舍去）， 故n的值为4． 【题型七 涂色问题】 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【知识点】涂色问题 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 2．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【知识点】涂色问题 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 3．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（   ）    A．156 B．144 C．96 D．78 【答案】A 【知识点】涂色问题、排列组合综合 【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类： 第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法; 第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种， C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法; 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种， C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法． 综上可得，共有（种）不同的种法． 故选：A 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【知识点】涂色问题、排列数的计算 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 5．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 6．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】1560 【知识点】涂色问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分涂5种颜色、4种颜色、3种颜色三种情况，应用分步乘法及排列组合数求不同涂色方法数. 【详解】 用5种颜色，则共有种， 用4种颜色，选出4种颜色有种，选B和E、A和C中的一组区域涂一种颜色有种，其它三个区域有种，则共有种， 用3种颜色，选出3种颜色有种，其中B和E、A和C两组区域分别各涂一种颜色有种，剩下的一个区域有1种涂法，则共有种， 所以，共有种. 故答案为：1560 【题型八 分组分配问题】 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可. 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 2．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 【答案】B 【知识点】分组分配问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算 【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可. 【详解】 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门， 人数分配为,可得, 若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则可得 故选：B. 3．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 【答案】C 【知识点】分组分配问题、排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按或将6人分成三组，再把分成的三组分配到3个村寨即可. 【详解】因为6人分成三组，且每组至多3人，所以可分成或两类， 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况； 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况， 所以不同的安排方法种数为. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）某地教体局为了响应银龄教师支教工作，准备从本地区选聘7位退休教师到新疆3所学校任教，要求每所学校至少去1位教师，且每位教师只能去1所学校支教，则不同的分配方案种数为（    ） A．2142 B．2016 C．1890 D．1806 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据先选后排的原则，先分类讨论分组方式的可能情况，结合排列数、组合数求不同的分组方法种数，再排列即可. 【详解】1.第一步，将7位教师分成3组，分组方式有四类： ①第一类为3，2，2，不同的分组方法种数为； ②第二类为4，2，1，不同的分组方法种数为； ③第三类为5，1，1，不同的分组方法种数为； ④第四类为1，3，3，不同的分组方法种数为． 根据分类加法计数原理得不同的分组方法种数为． 2.第二步，将3组教师分配到3所不同学校的分配方法种数为． 根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为. 故选：D． 5．（2025高三·北京·专题练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④. 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种. 【答案】348 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分两类：①若6人乘坐3只船和②若6人乘坐2只船，即可利用分组分配问题，即可求解. 【详解】①若6人乘坐3只船： 先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法，再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船： 共有种方法 综上共有：种方法. 故答案为：348 7．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 【答案】100 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算. 【详解】当村安排1人时，不同的安排方法种数为； 当村安排2人时，不同的安排方法种数为； 当村安排3人时，不同的安排方法种数为. 综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法. 故答案为：100 一、单选题 1．（23-24高二下·上海闵行·期中）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、分类加法计数原理 【分析】由题意，，再根据列举法求解即可. 【详解】因为函数的定义域，值域为， 所以要满足“增函数”的定义，一定是，； 元素的取值情况有如下几种： ①三个元素均与7对应，即，符合题意； ②三个元素中有2个元素与7对应，则有，或，，两种情况； ③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有，或，，或，，三种情况； 综上可得共有6种情况. 故选：B 2．（2024·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 3．（2024·宁夏银川·三模）现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】首先根据条件分组，然后再求解分配方法种数即可. 【详解】先将人分成组，有和两种分法， 若按分组，则甲、乙还需一人，此时分组方法有种， 若按分组，则只需将除甲、乙以外的人分成组，此时分组方法有种， 所以不同的选派方案共有种. 故选：C. 4．（23-24高一上·上海虹口·期中）若非空集合A、B满足以下两个条件：①，；②A的元素个数不是A的元素，B的元素个数不是B的元素．则有序集合对（A，B）的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【知识点】代数中的组合计数问题 【分析】讨论集合中的元素个数，从而确定集合中的元素，再结合组合数公式，即可求解. 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有4个元素，则，， 此时只有； 若集合中只有2个元素，则集合中只有3个元素，则，， 此时有； 若集合中只有3个元素，则集合中只有2个元素，则，， 此时有； 若集合中只有4个元素，则集合中只有1个元素，则，， 此时有， 有序集合对的个数为:. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有个数字0和个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当时，这样的信号序列有 种. 【答案】14 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据题意列出符合题意的序列即可. 【详解】根据题意可知第一位只能是1，最后一位只能是0， 符合题意的序列分别为： 11011000；11010100；11010010；11001100；11001010； 10111000；10101100；10110100；10101010；10110010； 11101000；11100100；11100010；11110000，共计14个， 故答案为：14. 6．（2024·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 【答案】9 【知识点】分类加法计数原理、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 7．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有 个“有序子集列”. 【答案】7680 【知识点】集合新定义、排列数的计算 【分析】根据题意，先确定满足“，，，且”的三元组，，的个数，再确定集合中除、、外的其他元素的分布情况，从而根据乘法原理算出集合的“有序子集列”的总数． 【详解】对于任一个“有序子集列”，必然存在一个三元组， 使得“，，，且”， 若中还有除了、、的其他元素，记为，则只能在之一中出现（或者根本不出现）． 另外，对于任一个三元组，都能通过令，，的形式，构建出一个“有序子集列” ，，． 集合中的三元组有个， 对于集合中除、、外的其他元素，每个都有4种可能：不属于，或属于，或属于，或属于． 再安排每个子集的其他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有个位置需要安排元素. 因为每个位置都有种选择（放入该子集或不放入），所以每个子集的安排方式有种. 理由：分步乘法计数原理，每个位置的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置选择方式的乘积. 最后计算总的“有序子集列”个数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个数为. 计算可得：. 故答案为：7680. 8．（24-25高二上·上海·假期作业）给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有 种 【答案】72 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是15，34，2，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是1，5，34，2或15，3，4，2，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 10．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 【答案】2,3,4,6,1,5 【知识点】其他排列模型 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 11．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解. 【详解】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 12．（24-25高二上·上海·期中）从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据正六棱柱的特征分类讨论结合古典概型计算即可. 【详解】 选择任意一条对角线， 若第二条对角线与其在同一个侧面上，则显然与之共面，6个侧面有6组选法； 若第二条对角线与其相交且交点为棱柱的顶点，则12个顶点有12组选法； 若第二条对角线与其相交，但交点在延长线上，比如， （因为由正六棱柱的特征可知，即共面）， 即此类对角线位于间隔一个侧面的两个侧面上，即有6对侧面；； ；每组侧面上都有有2组相应对角线符合题意，共有12组选法； 若第二条对角线与其平行，如，即此类对角线位于平行的两个侧面上， 3对相应平行侧面，每个相对侧面2组平行对角线，共有6组选法， 所以共面的概率为. 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个 【答案】14 【知识点】实际问题中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：14 14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【知识点】其他组合计数模型 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 15．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】根据题意，可先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，共有种分法， 然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案. 故答案为： 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 【答案】(1)40个； (2)7440． 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解. （2）我们要求正整数2160正因数的和，我们可以根据式子的展开式就是40个正因数．展开求和，即可得到答案． 【详解】（1）由题意，， 则2160的正因数， 因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3； 所以2160有个不同的正因数. （2）式子的展开式就是40个正因数之和． 所以，正因数之和为. 即2160所有正因数的和是. 17．（24-25高三·上海·课堂例题）球台上有标有1、2、3、4的4个黄球和标有1、2、3、4、5、6的6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？ 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意列不等式组求解击入黄球、红球的个数，再利用组合数运算及分类加法原理求解即可. 【详解】设击入黄球个、红球个符合要求， 则有（且、），得. 所以 相应每组解，击球方法数分别为，，，. 共有不同击球方法数为. 18．（25-26高三上·上海·单元测试）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ (2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (3)从中选出2名男生和2名女生分四个不同角色表演朗诵，有多少种选派方法？ 【答案】(1)1440 (2)3720 (3)432 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】（1）先全排，再插空即可； （2）特殊位置优先考虑，结合排列即可解决； （3）先选出人再排角色，结合分步乘法原理计算即可. 【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位． ②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则三名女生不能相邻的排法有1440种； （2）根据题意，分2种情况讨论：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况， ②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置， 有种站法，则此时有种站法，则一共有3720种站法； （3）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有种情况， 其次4人分四个不同角色，有种情况，共有种选派方法． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$