精品解析：四川广安市加德学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）

广安加德学校高2025级2025--2026下期半期考试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（ ）（） A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上．_． 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 14. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 16. 如图，已知在平面四边形中，． （1）设，若，求； （2）是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. 17. 如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积. 18. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校高2025级2025--2026下期半期考试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的定义判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由共线向量、相等向量和数量积的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误； 选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确； 选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误； 选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】将直观图还原为原图，如图，    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 4. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为是锐角三角形，所以，且， 所以，其中， 因为在上单调递增， 所以，所以充分性成立； 若，不妨设，满足， 但为直角三角形，故必要性不成立. 5. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系逐项验证即可求解. 【详解】对于A：若，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，故B错误； 对于C：若，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 故选：D. 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，过作的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在正四面体中，取中点，连接， 由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角， ，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（ ）（） A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m 【答案】D 【解析】 【分析】过作，垂足为.过作，垂足为.在中求得，从而得到.中，由正弦定理求得，从而得.在中，利用等边对等角，可求得，即A，B两点到水平面的高度差. 【详解】如图，过作，垂足为.过作，垂足为. 则. 又， 所以中，. 所以. 中，，，所以. . 由正弦定理得，， 所以. 在中，，所以， 所以. 即A，B两点到水平面的高度差约为. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系： 则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D. 【详解】因为的共轭复数为，所以A错误； 因为，，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为， 所以虚部为，所以D正确. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则，即，故A错误； 由正弦定理得外接圆的半径为，即， 所以外接圆的面积为，故B正确； 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确； 由，得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的周长为，故D错误， 故选：BC 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直可证判断A；利用等体积法可求到平面的距离判断B；求得外接球的半径，进而求得体积判断C；展开到一个平面，如图1，即的长为最小值，可判断D. 【详解】因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 设点到平面的距离为，由， 得，解得，故B错误； 因为， 所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确； 将沿转动到与在同一平面内，图1所示： 则周长的最小值为，由勾股定理可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上．_． 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，， 所以，即棱台的高为2， 所以棱台的体积. 故答案为：. 14. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式得出，分析可知，在等式两边同除，并令，可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 即， 两边同时除以，得， 即， 令，则， 故当时，即当时，取最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）当时，求； （2）设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 【答案】（1）1 （2）1或 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解； （2）由题，利用复数的几何意义求得，，利用两向量垂直的坐标关系求解. 【小问1详解】 当时，，则， ， . 【小问2详解】 由题，，所以，， 则， 由，则，解得或. 16. 如图，已知在平面四边形中，． （1）设，若，求； （2）是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，即可求解； （2）由平分，可得，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理得， 可得， 在中，因为，可得， 因为，所以． 【小问2详解】 假设存在，因为平分，可得， 由余弦定理，可得，解得， 所以， 但此时，所以假设不成立，不存在BD符合题意. 17. 如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）在边长为2的正方体中，设交于点，则是中点， 连接，因为为中点，所以， 又平面平面，所以平面. （2）在边长为2的正方体中，平面， 平面， 底面为正方形，， 平面平面， 平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理及正方体的性质可得； （3）根据棱锥的体积公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 18. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式得，由正弦定理得，最后由两角和的正弦公式即可求解； （2）①利用得，在和利用余弦定理得，在中由余弦定理得，即可求解，进而得，又即可求解； ②记则，在中，由正弦定理得，在等腰中，，由即可求解. 【小问1详解】 由得，， 则，由正弦定理得 ； 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理：得： ，化简的：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）与平面所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【解析】 【分析】（1）连接交于点M，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面所成的角，求解即可； （3）作于，连接，所以即为与平面所成的角为，过作，垂足为，连结，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值. 【小问1详解】 连接交于点M，连接， 因为，，所以， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； 【小问2详解】 因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，平面，所以平面， 又平面，.所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $