第8章 四边形 期末复习训练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学四边形单元期末复习训练，涵盖选择、填空、解答题，知识覆盖平行四边形、菱形等核心内容，梯度合理，注重几何直观与推理能力，适配期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平行四边形性质（1题）、菱形计算（3题）|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|10题|矩形对角线（12题）、梯形动态问题（18题）|设置开放探究，培养创新意识| |解答题|10题|平行四边形证明（21题）、动态面积（25题）|综合几何与代数，发展应用意识|

期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第8章 四边形 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•万州区校级月考）在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝100°，则∠A的度数为（　　） A．110° B．130° C．120° D．135° 2．（2026•桑植县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC 3．（2026•三原县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝24，AD＝15，点E在OA上，AE＝4，连接BE，则BE的长为（　　） A．9 B．12 C．13 D．15 4．（2026•长沙模拟）如图，Rt△DEF的直角顶点D与矩形ABCD的顶点重合，点F在BC上，EF交AD于点G．若∠E＝35°，DA平分∠EDF，则∠BFG的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 5．（2026•石家庄二模）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且AF⊥BF于F，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 6．（2026•景德镇二模）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD且∠BAD＝120°，点E是其内部一点，连接AE，BE，CE，DE，若△ABE，△ADE，△CDE的面积分别为3，4，6，则等腰梯形ABCD的面积为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 7．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026•庐江县模拟）如图，在四边形ABCD中，BA＝DA，BC＝DC，对角线AC与BD相交于点O．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（　　） A．若补充“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形 B．若补充“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 C．若补充“OA＝OC”，则四边形ABCD是矩形 D．若补充“AC＝BD”，则四边形ABCD是正方形 9．（2026•新昌县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6．点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，连结EF，作点A关于EF的对称点G，连结CG，则点F从点A运动到点B的过程中，CG的最大值与最小值之和为（　　） A． B． C． D． 10．（2026•淄川区二模）如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，M是CD的中点，点P在AM上（不与点A重合），且，连接CP并延长交AD于点N，连接ON，OC．有下列结论：①AP＝PM；②∠MAB＝∠PBC；③∠NOC＝90°；④若AN＝1，BC＝4，则NC＝5．其中结论正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题 11．（2026•九龙县模拟）如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为　 　 ． 12．（2026•丽江二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E为AC上一点，BE＝3，CE＝5，则△BOE的周长为　 　 ． 13．（2026•鼓楼区校级模拟）将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为　 　 时，这个菱形就是正方形． 14．（2026•曹县二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若OF＝2，则AE＝　 　 ． 15．（2026•天山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝3，AD＝8，则CD的长为 　 　 ． 16．（2026•寒亭区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为矩形ABCD内一动点，连接AE，DE，BE，∠AED＝90°，点M，N分别为BE，BC的中点，连接MN，则MN的最小值为 　 　 ． 17．（2026春•徐汇区校级月考）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，联结AC，BD交于点O，过A作AH⊥BD，垂足为H，则OH的长为 　 　 ． 18．（2026春•闵行区校级月考）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10，AD＝8，BE平分∠ABC，交边AD于点E．如果△BEC是直角三角形，那么DE的长为　 　 ． 19．（2026春•浦东新区校级月考）在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为　 　 ． 20．（2026•文登区一模）如图，矩形ABCD，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE．若AB＝2，BC＝3，则BF+DE的最小值是　 　 ． 三．解答题 21．（2026春•江阴市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB∥CD，BO＝DO． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝8，AC＝12，AC⊥AB，求BD的长． 22．（2026•海州区校级二模）如图所示，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，DE是AB边上的高，∠OAB＝∠BDE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠BAD＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 23．（2026•五华区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，连接EF，且AC⊥EF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OE，若点E是AB的中点，，，求四边形ABCD的面积． 24．（2026春•吴忠期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 25．（2026春•福田区期中）已知大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2cm，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1cm/s的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为t（s）（t＞0），两个正方形重叠部分的面积为S（cm2）．完成下列问题： （1）平移1.5s时，S＝　 　 cm2； （2）根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间t（s）的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 　 　 2t 第二种运动状态 2≤t＜4 　 　 第三种运动状态 　 　 　 　 第四种运动状态 t≥　 　 0 （3）当S＝2cm2时，小正方形平移的时间为　 　 秒． 26．（2026春•东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG． （1）试判断△EFG的形状，并说明理由； （2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长． 27．（2026春•无锡期中）如图，在梯形ABCD上，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm． （1）求该梯形上下底的和； （2）求该梯形的面积． 28．（2026春•泰兴市期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图1，分别过点A、D向BC作垂线，垂足为点E、F，… 方法二：如图2，延长BA与CD相交于点G，… 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：　 　 （填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 29．（2026春•天山区校级期中）如图①，在▱ABCD中，AD＝12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在AD上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒． （1）当点P从A向D运动时，PD＝　 　 ，QC＝　 　 ；当点P从D向A运动时，PA＝　 　 （用含t的代数式表示）． （2）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 30．（2025春•西城区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y）和图形W，给出如下定义： 若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个段盖特征点． （1）已知点C（2，3）， ①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是三角形ABC的覆盖特征点的为 　 　 ； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形ABC的覆盖特征点组成的图形． （2）点N是坐标轴上的动点．若点R（x，y）是三角形ABN的覆盖特征点，且x+y的最小值为6，则点N的坐标为 　 　 ． （3）以点D（m﹣1，m﹣1）为对角线交点，为边长作正方形EFGH，并且正方形EFGH的两条对角线分别与坐标轴平行，若经过点（0，b），（b，0）的直线上存在正方形EFGH的覆盖特征点， 直接写出m和b满足的关系是 　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第8章 四边形 期末复习训练 一．选择题 1．（2026春•万州区校级月考）在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝100°，则∠A的度数为（　　） A．110° B．130° C．120° D．135° 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，∠B＝∠D，而∠B+∠D＝100°，则2∠B＝100°，所以∠B＝50°，求得∠A＝180°﹣∠B＝130°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝100°， ∴2∠B＝100°， ∴∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝130°， 故选：B． 2．（2026•桑植县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意， 故选：D． 3．（2026•三原县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝24，AD＝15，点E在OA上，AE＝4，连接BE，则BE的长为（　　） A．9 B．12 C．13 D．15 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝ODBD＝12， ∴OA， ∵AE＝4， ∴OE＝OA﹣AE＝9﹣4＝5， ∴BE， 故选：C． 4．（2026•长沙模拟）如图，Rt△DEF的直角顶点D与矩形ABCD的顶点重合，点F在BC上，EF交AD于点G．若∠E＝35°，DA平分∠EDF，则∠BFG的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠EFD，根据角平分线的定义求出∠ADF，利用矩形对边平行得到内错角相等求出∠CFD，最后利用平角的定义计算∠BFG的度数； 【解答】解：在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝35°，∠EDF+∠E+∠EFD＝180°， ∴∠EFD＝90°﹣35°＝55°， ∵DA平分∠EDF， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CFD＝∠ADF＝45°， ∵点B、F、C在同一直线上， ∴∠BFG＝180°﹣∠EFD﹣∠CFD＝180°﹣55°﹣45°＝80°， 故选：C． 5．（2026•石家庄二模）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F是线段DE上的点，且AF⊥BF于F，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可． 【解答】解：∵BC＝8，D、E分别为AB，AC的中点， ∴DEBC＝4， ∵AF⊥BF， ∵D为AB的中点，AB＝5， ∴DFAB＝2.5， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5． 故选：B． 6．（2026•景德镇二模）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD且∠BAD＝120°，点E是其内部一点，连接AE，BE，CE，DE，若△ABE，△ADE，△CDE的面积分别为3，4，6，则等腰梯形ABCD的面积为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】延长BA、CD交于点F，连接EF，过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明四边形ABGD为平行四边形，得出DG＝AB，证明△FAD为等边三角形，得出FA＝FD＝AD，求出AB＝FA＝FD＝CD＝AD，得出S△AEF＝S△ABE＝3，S△DEF＝S△CDE＝6，得出S△ADF＝S△AEF+S△DEF﹣S△AED＝3+6﹣4＝5，证明△ADF∽△BCF，得出，求出S△BCF＝4S△ADF＝4×5＝20，最后得出答案即可． 【解答】解：四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD且∠BAD＝120°， 延长BA、CD交于点F，连接EF，过点D作DG∥AB，交BC于点G，如图所示： 则∠DGC＝∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴DG＝AB， ∵AB＝CD， ∴DG＝CD， ∴∠DCB＝∠DGC， ∵∠DGC＝∠ABC， ∴∠DCB＝∠ABC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠FAD＝∠ABC＝60°，∠FDA＝∠GCD＝60°， ∴FA＝FD＝AD， ∵AB＝CD＝AD， ∴AB＝FA＝FD＝CD＝AD， ∴S△AEF＝S△ABE＝3，S△DEF＝S△CDE＝6， ∴S△ADF＝S△AEF+S△DEF﹣S△AED＝3+6﹣4＝5， ∵AF＝AB， ∴， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△BCF， ∴， ∴S△BCF＝4S△ADF＝4×5＝20， ∴S梯形ABCD＝S△BCF﹣S△ADF＝20﹣5＝15． 故选：A． 7．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰梯形的性质判断①；根据等腰梯形的概念判断②；根据平行线的性质、等腰三角形的性质判断③；证明全等三角形的判定和性质判断④． 【解答】解：①根据等腰梯形的两底角相等可知：∠BAD＝∠CDA，故本小题结论正确； ②∵AD∥BC， ∴当AO＝CO时，AD＝BC，不符合题意，故本小题结论错误； ③∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， 当AD＝DC时，∠DAC＝∠ACD，才能得出∠ACB＝∠ACD故本小题结论错误； ④在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BAC＝∠CDB， ∴△ABO≌△DCO（AAS），故本小题结论正确； 故选：B． 8．（2026•庐江县模拟）如图，在四边形ABCD中，BA＝DA，BC＝DC，对角线AC与BD相交于点O．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（　　） A．若补充“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形 B．若补充“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 C．若补充“OA＝OC”，则四边形ABCD是矩形 D．若补充“AC＝BD”，则四边形ABCD是正方形 【分析】根据AB＝AD，BC＝DC，可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：当添加“∠BAD＝90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； ∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC垂直平分BD， 当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠DBC， ∴∠ABO＝∠CBO， 又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC， ∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴BA＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意； 当添加条件“OA＝OC”时， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； 当添加条件AC＝BD时，四边形ABCD是矩形， 故选项D不符合题意； 故选：B． 9．（2026•新昌县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6．点E为AD的中点，点F为AB边上的动点，连结EF，作点A关于EF的对称点G，连结CG，则点F从点A运动到点B的过程中，CG的最大值与最小值之和为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接EG，CE，以点E为圆心，EA为半径作⊙E，依题意得EA＝ED＝3，先由勾股定理求出AC＝10，CE，根据对称的性质得EG＝AD＝3，由此得点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动，因此当点F与点A重合时，此时点G与点A重合，CG为最大，最大值为10，再根据“两点之间线段最短”得CG≥CE﹣EG，即当点E，G，C共线时，CG为最小，最小值为，据此可得CG的最大值与最小值之和． 【解答】解：连接EG，CE，以点E为圆心，EA为半径作⊙E，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝8， ∴CD＝AB＝8，∠ADC＝90°， ∵点E是AD的中点，且AD＝6， ∴EA＝EDAD＝3， ∵∠ADC＝90°， ∴△ADC和△EDC都是直角三角形， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC10， 在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE， ∵点A关于EF的对称点为点G， ∴EG＝AD＝3， ∴点F从点A运动到点B的过程中，点G始终在矩形内部的⊙E上运动， ∴当点F与点A重合时，点G与点A重合，此时CG为最大，最大值为10， 根据“两点之间线段最短”得：CG+EG≥CE， ∴CG≥CE﹣EG， ∴当点G在线段CE上时，CG为最小，最小值为， ∴CG的最大值与最小值之和为：． 故选：B． 10．（2026•淄川区二模）如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，M是CD的中点，点P在AM上（不与点A重合），且，连接CP并延长交AD于点N，连接ON，OC．有下列结论：①AP＝PM；②∠MAB＝∠PBC；③∠NOC＝90°；④若AN＝1，BC＝4，则NC＝5．其中结论正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①由点O是AB的中点得OA＝OBAB，再由OPAB得OP＝OA＝OB，由此得∠OBA＝∠OAP，∠OPB＝∠OBP，进而在△APB中，由三角形内角和定理得∠APB＝90°，则BP⊥AM，但是根据已知条件无法判定AP＝PM，据此得结论①不正确， ②在△APB中，根据∠APB＝90°得∠MAB+∠ABP＝90°，再根据∠ABC＝∠PBC+∠ABP＝90°得∠MAB＝∠PBC，据此得结论②正确； ③延长AM与BC的延长线相交于点Q，设ON交AM于点E，OC与PB相交于点F，证明△CMQ和△DMA全等得CQ＝AD＝BC，证明△QPB是直角三角形得PC＝BC＝CQBQ，则∠Q＝∠CPQ，由此得∠NPA＝∠DAM，则AN＝PN，继而得ON是线段AP的垂直平分线，则∠OEP＝90°，同理可证明OC是线段BP的垂直平分线，则∠OFP＝90°，由此得四边形OEPF是矩形，则∠EOF＝90°，据此得结论③正确； ④根据PC＝BC，AN＝PN，AN＝1，BC＝4得CN＝PC+PN＝5，据此得结论④正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵点O是AB的中点， ∴OA＝OBAB， 又∵OPAB， ∴OP＝OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAP，∠OPB＝∠OBP， ∴∠APB＝∠OBA+∠OPB＝∠OAP+∠OBP， 在△APB中，∠APB+∠OAP+∠OBP＝180°， ∴2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°， 即BP⊥AM， 但是根据已知条件无法判定AP＝PM， 故结论①不正确， ②在△APB中，∠APB＝90°， ∴∠MAB+∠ABP＝90°， 在矩形ABCD中，∠ABC＝∠PBC+∠ABP＝90°， ∴∠MAB＝∠PBC， 故结论②正确； ③延长AM与BC的延长线相交于点Q，设ON交AM于点E，OC与PB相交于点F，如图所示： 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠D＝90°， ∴∠Q＝∠DAM，∠MCQ＝∠D＝90°， ∵点M是CD的中点， ∴CM＝DM， 在△CMQ和△DMA中， ， ∴△CMQ≌△DMA（AAS）， ∴CQ＝AD＝BC， ∴点C是BQ的中点， ∵BP⊥AM， ∴∠QPB＝90°， ∴△QPB是直角三角形， ∴PC是Rt△QPB的斜边BQ上的中线， ∴PC＝BC＝CQBQ， ∴∠Q＝∠CPQ， 又∵∠CPQ＝∠NPA，∠Q＝∠DAM， ∴∠NPA＝∠DAM， ∴AN＝PN， ∴点N在线段AP的垂直平分线上， ∵OP＝OA， ∴点N在线段AP的垂直平分线上， ∴ON是线段AP的垂直平分线， ∴ON⊥AP， ∴∠OEP＝90°， 同理：OC是线段BP的垂直平分线， ∴OC⊥BP， ∴∠OFP＝90°， ∴∠OEP＝∠APB＝∠OFP＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴∠EOF＝90°， 即∠NOC＝90°， 故结论③正确； ④∵PC＝BC，AN＝PN，AN＝1，BC＝4， ∴PC＝4，PN＝1， ∴CN＝PC+PN＝5， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是②③④，共3个． 故选：B． 二．填空题 11．（2026•九龙县模拟）如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为　5　 ． 【分析】根据菱形的性质，求出OA，OB且AC⊥BD，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【解答】解：设AC，BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， ∴， ∴两条对角线AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为5． 故答案为：5． 12．（2026•丽江二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E为AC上一点，BE＝3，CE＝5，则△BOE的周长为　8　 ． 【分析】由矩形的性质得出OB＝OC，再结合周长公式计算即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，BE＝3，CE＝5， ∴，AC＝BD，， ∴OB＝OC， ∴△BOE的周长＝BE+BO+OE＝BE+OC+OE＝BE+（OC+OE）＝BE+CE＝3+5＝8， 故答案为：8． 13．（2026•鼓楼区校级模拟）将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为　1　 时，这个菱形就是正方形． 【分析】有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【解答】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴1， ∴当1时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 14．（2026•曹县二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若OF＝2，则AE＝　2　 ． 【分析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得BC＝2OF，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出AE． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点， 又∵点F为CD的中点， ∴OF是△BCD的中位线， ∴AD＝BC＝2OF， ∵OF＝2， ∴BC＝2×2＝4， ∵AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴AE是Rt△ABC斜边BC上的中线， ∴， 故答案为：2． 15．（2026•天山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝3，AD＝8，则CD的长为 　5　 ． 【分析】根据平行四边形的对边平行，结合角平分线平分角，推出CD＝DF，AE＝AF，进一步求解即可． 【解答】解：如图，AD与CE相交于点F， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DFC＝∠BCE，∠AEC＝∠DCF， ∵∠BCD的平分线交BA的延长线于点E， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠DFC＝∠BCE＝∠AEC＝∠DCF， ∴CD＝DF， ∵∠AFE＝∠DFC＝∠AEF， ∴AF＝AE＝3， ∴CD＝DF＝AD﹣AF＝5． 故答案为：5． 16．（2026•寒亭区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为矩形ABCD内一动点，连接AE，DE，BE，∠AED＝90°，点M，N分别为BE，BC的中点，连接MN，则MN的最小值为 　　 ． 【分析】设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，则OD＝OA＝2，再由勾股定理求出OC，依题意得点E在以O为圆心，以2为半径的圆上（正方形ABCD内部的半圆上），则OE＝OD＝2，证明MN是△BCE的中位线得MNCE，由此得当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，根据“两点之间线段最短”得CE≥OC﹣OE，据此可得MN的最小值． 【解答】解：设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠OCD＝90°， ∴△OCD是直角三角形， ∵点O是AD的中点， ∴OD＝OAAD＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC， ∵点E为矩形ABCD内一动点，且∠AED＝90°， ∴点E在以O为圆心，以2为半径的圆上（正方形ABCD内部的半圆上）， ∴OE＝OD＝2， ∵点M，N分别为BE，BC的中点， ∴MN是△BCE的中位线， ∴MNCE， ∴当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为1/2CE， 根据“两点之间线段最短”得：CE+OE≥OC， ∴CE≥OC﹣OE， ∴MN的最小值为． 17．（2026春•徐汇区校级月考）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，联结AC，BD交于点O，过A作AH⊥BD，垂足为H，则OH的长为 　　 ． 【分析】由矩形性质得AD＝BC＝4，OA＝OBBD，∠BAD＝90°，进而在Rt△ABC中，由勾股定理求出BD＝5得OA＝OBBD，再由三角形的面积公式求出AH，继而在Rt△AHO中，由勾股定理可得OH的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如图所示： ∴AD＝BC＝4，OA＝OBBD，∠BAD＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB＝3，AD＝4， 由勾股定理得：BD5， ∴OA＝OBBD， ∵AH⊥BD，垂足为H， ∴∠AHO＝90°， 由三角形的面积公式得：S△ABDBD•AHAB•AD， ∴AH， 在△AHO中，∠AHO＝90°， 由勾股定理得：OH． 故答案为：． 18．（2026春•闵行区校级月考）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10，AD＝8，BE平分∠ABC，交边AD于点E．如果△BEC是直角三角形，那么DE的长为　3或4　 ． 【分析】分两种情况讨论：（Ⅰ）当∠BCE＝90°时，过点C作AB的垂线，交AB于点F，容易证明△ABE≌△CBE，四边形AFCD为矩形，结合CE2＝CD2+DE2，即可求得DE的数值；（Ⅱ）当∠BEC＝90°时，如图所示，过点E作BC的垂线，交BC于点F，容易证明△ABE≌△BFE，△DCE≌△FCE，可得DE＝EF，即可求得DE的数值． 【解答】解： 当∠BEC＝90°时，如图所示，过点E作BC的垂线，交BC于点F， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， 同（Ⅰ）可证得△ABE≌△BFE（AAS）， 所以∠AEB＝∠BEF，AE＝EF＝8﹣x， 因为∠BEF+∠CEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°， 所以∠DEC＝∠CEF， 又因为EC＝EC，∠D＝∠EFC＝90°， 所以△DCE≌△FCE（AAS）， 所以DE＝EF， 所以x＝8﹣x， 所以x＝4， 所以DE＝4； 当∠BCE＝90°时，如图所示，过点C作AB的垂线，交AB于点F， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE， 又因为∠A＝∠BCE＝90°，BE＝BE， 所以△ABE≌△CBE（AAS）， 所以AE＝CE＝8﹣x，AB＝BC＝10， 因为AB∥CD，∠A＝90°， 所以∠A＝∠D＝90°， 又因为∠AFC＝90°， 所以四边形AFCD为矩形， 所以AD＝FC＝8，CD＝AF， 所以， 所以AF＝4， 所以CD＝4， 因为CE2＝CD2+DE2， 所以（8﹣x）2＝42+x2 所以x＝3， 所以DE＝3． 综上所述，DE＝3或4． 19．（2026春•浦东新区校级月考）在一张直角三角形纸片的两条直角边上各取一点，沿它们与斜边中点的连线剪掉两个三角形，剩下的部分是一个直角梯形，已知这个直角梯形上底为2，下底为3，面积为5，那么原直角三角形的斜边长为　或　 ． 【分析】先利用直角梯形面积公式求出梯形的高，再分情况讨论平行对边的位置，结合中点性质得到原直角三角形两条直角边的长度，最后利用勾股定理计算斜边长． 【解答】解：设原直角三角形为Rt△ABC，∠C＝90°，斜边AB中点为M，剩余直角梯形为CDME，D在AC上，E在BC上． 由直角梯形面积公式， 代入已知S＝5，上底2，下底3，得：， 解得h＝2，即梯形的高为2． 分情况讨论：情况1：DM∥CE，DM，CE为梯形的两个底，CD为梯形的高． 连接CM， ∵点 M为AB中点， ∴， ∴△ACM是等腰三角形， 由条件可知∠ADM＝90°，即MD⊥AC， ∴， ∵h＝2，即CD＝2， ∴AC＝2CD＝4， 由条件可知DM是△ABC的中位线， ∴BC＝2DM， 若DM＝2，则BC＝2DM＝4， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 若DM＝3，则BC＝2DM＝6， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 情况2：EM∥CD，EM，CD为梯形的两个底，CE为梯形的高． 连接CM， ∵点 M为AB中点， ∴， ∴△BCM是等腰三角形， 由条件可知∠MEB＝90°，即ME⊥BC， ∴， ∵h＝2，即CE＝2， ∴BC＝2CE＝4， 由条件可知EM是△ABC的中位线， ∴AC＝2EM， 若EM＝2，则AC＝2EM＝4， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 若EM＝3，则AC＝2EM＝6， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：． 综上，原直角三角形的斜边长为或． 故答案为： 或 ． 20．（2026•文登区一模）如图，矩形ABCD，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE．若AB＝2，BC＝3，则BF+DE的最小值是　　 ． 【分析】利用BE＝CF设变量x，借助勾股定理把BF、DE转化为含x的二次根式；利用数形结合将根式和转化为x轴上动点到两定点的距离和，再由两点间线段最短求线段长即最小值． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3， ∴CD＝AB＝2，∠C＝90°， 设BE＝CF＝x，则EC＝BC﹣BE＝3﹣x， ∵Rt△BCF，Rt△DCE， ∴，DE， ∴， 建立平面直角坐标系：令M（x，0）、P（0，3）、Q（3，﹣2）， ∴，MQ， 即BF+DE＝MP+MQ， ∵两点之间线段最短MP+MQmin＝PQ， ∴． 故答案为：． 三．解答题 21．（2026春•江阴市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB∥CD，BO＝DO． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝8，AC＝12，AC⊥AB，求BD的长． 【分析】（1）根据题意，利用ASA可证得△ABO≌△CDO，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴， ∴BD＝2BO＝20． 22．（2026•海州区校级二模）如图所示，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，DE是AB边上的高，∠OAB＝∠BDE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠BAD＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）结合垂直的定义、对顶角性质、三角形内角和定理求出∠AEM＝∠DOM＝90°，则AC⊥BD，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证； （2）根据菱形的性质求出OAAC，OBBD，∠OAB∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理求出OB＝2，OA＝2，则BD＝4，AC＝4，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【解答】（1）证明：如图，AC交DE于点M， ∵DE是AB边上的高， ∴DE⊥AB， ∴∠AEM＝90°， ∵∠OAB＝∠BDE，∠AME＝∠DMO，∠OAB+∠AME+∠AEM＝180°，∠BDE+∠DOM+∠DMO＝180°， ∴∠AEM＝∠DOM＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴OAAC，OBBD，∠OAB∠BAD＝30°， ∵AC⊥BD，AB＝2， ∴OBAB＝1， ∴OA， ∴BD＝2，AC＝2， ∴菱形ABCD的面积AC•BD22＝2． 23．（2026•五华区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，连接EF，且AC⊥EF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OE，若点E是AB的中点，，，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得∠CAD＝∠ACB，再证∠BAC＝∠DAC，得△ABC为等腰三角形即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质得OEAB，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AC⊥EF， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴△ABC为等腰三角形， ∴BA＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵E为AB的中点， ∴OEAB， ∵，， ∴AB＝2OE＝2，OB＝2OA， ∵OA2+OB2＝AB2， ∴5OA2＝20， ∴OA＝2（负值已经舍去）， ∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4OA＝8， ∴四边形ABCD的面积AC•BD4×8＝16． 24．（2026春•吴忠期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案； （2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 25．（2026春•福田区期中）已知大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2cm，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1cm/s的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为t（s）（t＞0），两个正方形重叠部分的面积为S（cm2）．完成下列问题： （1）平移1.5s时，S＝　3　 cm2； （2）根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间t（s）的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 　0≤t＜2　 2t 第二种运动状态 2≤t＜4 　4　 第三种运动状态 　4≤t＜6　 　（12﹣2t）　 第四种运动状态 t≥　6　 0 （3）当S＝2cm2时，小正方形平移的时间为　1或5　 秒． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形列式计算即可得解； （2）画出图形，计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【解答】解：（1）1.5s时，小正方形向右移动1.5cm， S＝2×1.5＝3（cm2）； 故答案为：3； （2）当0≤t＜2时，两正方形重叠部分的面积＝2t（cm2）； 当2≤t＜4时，两正方形重叠部分的面积＝2×2＝4（cm2）； 当4≤t＜6时，两正方形重叠部分的面积＝2×[2﹣（t﹣4）]＝（12﹣2t）（cm2）； 当t≥6时，两正方形重叠部分的面积＝0； 故答案为：0≤t＜2，4，4≤t＜6，（4t﹣16），6； （3）当S＝2时，重叠部分长方形的宽＝2÷2＝1cm， 重叠部分在大正方形的左边时，t＝1÷1＝1秒， 重叠部分在大正方形的右边时，t＝（4+2﹣1）÷1＝5秒， 综上所述，小正方形平移的时间为1或5， 故答案为：1或5． 26．（2026春•东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG． （1）试判断△EFG的形状，并说明理由； （2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长． 【分析】（1）△EFG是直角三角形，先证明EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，由平行线的性质结合∠ABC＝90°，即可得到∠EFG＝90°即可； （2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，可得EF＝5，FG＝12，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）△EFG是直角三角形，理由如下： ∵点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点， ∴EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EF∥AB，FG∥BC， ∴∠EFD＝∠ABD，∠GFD＝∠CBD， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EFG＝∠EFD+∠GFD＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°， ∴△EFG是直角三角形； （2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，AB＝10，BC＝24， ∴， ∴EF＝5，FG＝12， ∵△EFG是直角三角形，且∠EFG＝90°， ∴． 27．（2026春•无锡期中）如图，在梯形ABCD上，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm． （1）求该梯形上下底的和； （2）求该梯形的面积． 【分析】（1）过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，证明四边形ACED是平行四边形，故AD+BC＝BE，AC⊥DE，再把数值代入BE2＝BD2+DE2计算，即可作答． （2）根据结合平行线之间距离处处相等，得出S△ABD＝S△CED，又因为S梯形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝S△EBD计算，即可作答． 【解答】解：（1）过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， 由条件可知四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE，DE＝AC＝5cm， ∴AD+BC＝CE+BC＝BE， ∵AC⊥BD，AC∥DE， ∴AC⊥DE， 在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝144+25＝169， ∴BE＝13（负值已舍去）， 即该梯形上下底的和为13cm． （2）由（1）得出AD＝CE， S梯形ABCD＝S△ABD+S△CBD ＝S△CED+S△CBD ＝S△EBD ＝30（cm2）． 28．（2026春•泰兴市期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图1，分别过点A、D向BC作垂线，垂足为点E、F，… 方法二：如图2，延长BA与CD相交于点G，… 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：　方法一　 （填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【分析】法一：过梯形的上底两端点作下底的垂线，利用“一组对边平行且相等”证明四边形AEFD为平行四边形，得到两高AE＝DF，再结合已知的∠B＝∠C，通过AAS证明△ABE≌△DCF，推出两腰AB＝DC，从而证明该梯形为等腰梯形； 法二：通过延长梯形两腰交于点G，利用平行线的性质得到∠GAD＝∠B、∠GDA＝∠C，结合∠B＝∠C推出∠GAD＝∠GDA，进而得到GA＝GD；再由∠B＝∠C得出△GBC为等腰三角形，即GB＝GC，通过等式相减得到AB＝DC，从而证明梯形ABCD是等腰梯形． 【解答】解：选择方法一，证明过程如下： 过梯形的上底两端点作下底的垂线， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF； ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DCF中： ， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴AB＝DC， ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形； 选择方法二，证明过程如下： 延长梯形两腰交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠B，∠GDA＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠GAD＝∠GDA， ∴GA＝GD， ∵∠B＝∠C， ∴△GBC是等腰三角形， ∴GB＝GC， ∴GB﹣GA＝GC﹣GD， 即AB＝DC ∵AD∥BC，AB＝DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形． 故答案为：方法一． 29．（2026春•天山区校级期中）如图①，在▱ABCD中，AD＝12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在AD上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒． （1）当点P从A向D运动时，PD＝　12﹣5t或36﹣5t ，QC＝　12﹣2t ；当点P从D向A运动时，PA＝　24﹣5t （用含t的代数式表示）． （2）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分三种情况：当点P第一次从点A向点D运动时，四边形MPNQ为平行四边形，当点P从点D向点A运动时，四边形PNQM为平行四边形，当点P第二次从点A向点D运动时，四边形PNQM为平行四边形，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当点P第一次从A向D运动时，PA＝5t，则PD＝12﹣5t， 当点P第二次从A向D运动时，PA＝5t﹣24，则PD＝12﹣（5t﹣24）＝36﹣5t， ∵BQ＝2t， ∴QC＝12﹣2t； 当点P从D向A运动时，PA＝24﹣5t． （2）点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时， ∵AD＝BC＝12，由题意可得： ∴， 当点P第一次从点A向点D运动时，四边形MPNQ为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即5t﹣6＝6﹣2t， 解得：； 当点P从点D向点A运动时，四边形PNQM为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即5t﹣12﹣6＝2t﹣6， 解得：t＝4； 当点P第二次从点A向点D运动时，四边形PNQM为平行四边形， 则此时PM＝QN， 即30﹣5t＝2t﹣6， 解得：； 综上，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或4或． 30．（2025春•西城区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y）和图形W，给出如下定义： 若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个段盖特征点． （1）已知点C（2，3）， ①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是三角形ABC的覆盖特征点的为 P2、P3 ； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形ABC的覆盖特征点组成的图形． （2）点N是坐标轴上的动点．若点R（x，y）是三角形ABN的覆盖特征点，且x+y的最小值为6，则点N的坐标为 　（0，3）或（4，0）　 ． （3）以点D（m﹣1，m﹣1）为对角线交点，为边长作正方形EFGH，并且正方形EFGH的两条对角线分别与坐标轴平行，若经过点（0，b），（b，0）的直线上存在正方形EFGH的覆盖特征点， 直接写出m和b满足的关系是 b≥2m ． 【分析】（1）①根据覆盖特征点的定义得到x≥3，y≥3，然后逐一判断解答即可②根据x≥3，y≥3画出阴影区域即可； （2）分为点N在y轴上和点N在x轴上两种情况，根据覆盖特征点的定义解答即可； （3）先得到正方形的四个顶点坐标，然后根据覆盖特征点的定义得到x≥m，y≥m，再求出过（0，b），（b，0）直线解析式为y＝﹣x+b，即x+y＝b，然后代入计算解答即可． 【解答】解：（1）①根据覆盖特征点的定义可得：x≥3，y≥3， ∴符合的点的坐标可以为（3，3），（4，4）， 故答案为：P2，P3； ②根据x≥3，y≥3，则覆盖特征点的图形如图中阴影部分； （2）当点N在y轴上时，设点N的坐标为（0，n）， 则x≥3，y≥2，y≥n，根据x+y最小是6，x最小为3，解得n＝3， ∴点A的坐标为（0，3）； 当点N在x轴上时， 设点N的坐标为（m，0），则x≥3，y≥2，x≥m， 根据x+y最小是6，y最小为2解得n＝4， ∴点A的坐标为（4，0）； 故答案为：（0，3）或（4，0）； （3）∵正方形的对角线交点坐标D（m﹣1，m﹣1），为边长作正方形EFGH， 即顶点坐标分别是点D向左、右，上、下移动1个单位长度，即顶点坐标为（m，m﹣1），（m﹣2，m﹣1），（m﹣1，m），（m﹣1，m﹣2）． ∴覆盖特征点需满足x≥m，y≥m， 设经过点（0，b），（b，0）的直线解析式为y＝kx+b， 则kb+b＝0，解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+b，即x+y＝b， ∴m+m≤x+y＝b，解得b≥2m， 1 学科网（北京）股份有限公司 $