专题3平行四边形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦平行四边形10类核心题型，以易错点为导向，系统提炼性质判定应用技巧，培养几何直观与推理意识，构建从基础到压轴的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用（3类）|12题（含选择/填空/解答）|边角性质优先策略、中心对称特征应用|从性质直接应用到综合全等、三角形内角和的拓展| |判定应用（3类）|14题（含判定证明/条件添加）|四类判定定理择优法、对角线分类讨论|从基础判定到动态找点、条件补全的逻辑深化| |综合与压轴（4类）|15题（含实践应用/动点/旋转）|先判定后性质逻辑、分类讨论破题|衔接特殊四边形，融合方程思想与几何建模，体现应用意识|

专题3平行四边形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共10类核心必考题型，作为八下几何入门核心考点，是矩形、菱形、正方形学习的基础。学生常出现性质判定混淆、条件遗漏、坐标找点漏解等问题，本专题系统梳理易错短板，总结标准化解题技巧，助力突破几何基础与压轴难点。 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【题型6 添加一个条件成为平行四边形】 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【题型9 平行四边形性质和判定的应用】 【题型5 判断能否构成平行四边形】 【题型10 平行四边形压轴大题5道】 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 易错点：混淆平行四边形边角性质；记错对角线平分特征；计算角度、线段时忽略邻角互补、对边相等关系。 解题技巧：牢记核心性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；求线段优先用对边相等，求角度优先用邻角互补与对角相等，快速代入计算。 1．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，由余角的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 2．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，得到，，再利用三角形三边关系求的范围即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 根据三角形三边关系可得 ∴ ∴得 ． 选项中只有满足，因此的长可能是． 3．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 【答案】 【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知，，根据勾股定理可知，，再由线段的和差关系可知，即可求解． 【详解】 解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴, ∴， ∵， ∴中， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．中，与的平分线交于点P，，，则________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，结合角平分线的定义可求出，根据三角形内角和定理得出，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴，， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴. 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 易错点：证明跳步，未先说明平行四边形条件直接用性质；边角、平行关系推导逻辑混乱。 解题技巧：证明线段、角、平行关系时，先点明四边形为平行四边形，再对应套用性质；根据结论匹配定理，证线段相等用对边相等，证平行用对边平行，步骤规范不跳步。 5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，，， 但无法证明． 6．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 先根据平行四边形的性质证明，再由证明，则，即可等量代换证明①；延长，交于点，证明，根据直角三角形斜边中线得到，即可证明②；根据互余关系证明③；由，得到，由为中点，得到，即可证明④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，故正确； 延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ，故正确； ，， ， ， 即， ， ， ，故正确； ∵， ∴， ∵为中点， ∴，故④正确 故答案为： 7．如图，在平行四边形中，对角线交于点，，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵点M，N分别为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 易错点：不会结合全等、三角形内角和综合解题；忽略平行四边形中心对称的隐藏性质。 解题技巧：灵活运用平行四边形中心对称、对角线平分的特征；将复杂图形拆解为三角形，结合全等、线段和差、角度换算解决衍生类题型。 9．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 10．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 11．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 12．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 【题型4 证明四边形是平行四边形】 易错点：判定定理混用、记混条件；只用一组条件仓促判定，缺少关键依据。 解题技巧：熟练四类判定：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分；根据题干已知条件择优选用定理，补齐全部判定条件再下结论。 13．下列命题错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】据平行四边形的判定定理逐项判断命题的正误，即可找出错误的命题． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，命题错误，符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； D、如图，若，，则， ， ， 四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意． 14．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的判定方法，得出答案即可． 【详解】解：根据作图可知：，， 因此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形． 15．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明得到，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 16．如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【题型5 判断能否构成平行四边形】 易错点：仅凭边长相等盲目判定；忽略“一组对边平行且相等”的核心要求，混淆判定条件。 解题技巧：边长条件需满足两组对边分别相等；线段位置需满足平行关系；缺一不可，杜绝单边相等、单边平行就判定平行四边形的错误。 17．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 18．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 19．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 20．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 【题型6 添加一个条件成为平行四边形】 易错点：添加条件多余或无效；条件与已知条件冲突；混淆平行四边形与特殊四边形条件。 解题技巧：根据已有条件精准补全短板：已知一组对边平行，可添这组对边相等或另一组对边平行；已知一组对边相等，可添这组对边平行或另一组对边相等，条件最简有效。 21．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意． 22．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图， A．，，无法证明四边形为平行四边形； B．，，能够证明四边形为平行四边形； C．，，无法证明四边形为平行四边形； D．由可知，无法证明四边形为平行四边形． 23．已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 【答案】 或 【分析】本题根据四边形中一组对边，添加符合判定定理的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 或，， 四边形是平行四边形． 24．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 易错点：分类讨论不全，容易漏解、少算点位；不会利用对角线分组确定动点位置。 解题技巧：固定三点，分三种情况讨论：分别以三条线段作为平行四边形对角线；标准题型固定有3个符合条件的点，按对角线分类可杜绝漏解。 25．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 26．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 27．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 28．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 易错点：逻辑顺序颠倒，未判定图形直接套用性质；综合题型不会结合判定与性质分步解题。 解题技巧：严格遵循“先判定、后性质”的解题逻辑；先通过已知条件证出平行四边形，再利用边角、对角线性质求解线段、角度、周长等问题。 29．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 30．如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接、，容易证明四边形是平行四边形，则，利用同高的三角形之间的关系，依次求出，． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 31．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 32．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【题型9 平行四边形性质和判定的应用】 易错点：实际问题、几何综合题不会建模；无法区分何时用判定、何时用性质。 解题技巧：未知图形需证结论用判定，已知图形求边角用性质；将实际几何场景抽象为平行四边形模型，结合定理转化边角与线段关系。 33．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 34．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：， ， 又， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 36．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 【题型10 平行四边形压轴大题5道】 易错点：动点问题不会分类讨论；图形变换、存在性问题漏解；不会结合方程、全等综合解题。 解题技巧：压轴题拆解为判定、计算、证明小模块；动点问题按点位变化分类讨论；利用平行四边形不变性质，结合勾股定理、方程思想解题，规范步骤拿满分。 37．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)如图2，将图1中的沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，设点，问：直线上是否存在点，使得以点、、为顶点，以线段为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，为直线上一动点，且点在点的上方，、为轴上动点，在右侧且 ①当时，求出点坐标________； ②在①的条件下，连和，此时最小值为________． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，然后将直线和直线联立，即可求得点； （2）分成当和时，分类讨论即可； （3）①不妨设， 那么，，利用，可求得答案；②将点往右平移一个单位得到，连接，，先证明四边形是平行四边形，得到，，当取得最小值时，最小，过点作关于轴的对称点，连接，， 由，推出当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时最小值为，然后利用两点距离公式即可求得答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，，， ，， 设直线的解析式为，代入点，， 得到， ，， 直线的解析式为， 联立，解得， ； （2）解：存在，或，理由如下： 当时，依题意，如图所示： 由，得， ， 解得， ； 当时，依题意，如图所示： 由，得，当代入，得到， ， ， 解得， ； 综上： 或； （3）解：①不妨设， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； 故答案为：； ②将点往右平移一个单位得到，连接，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当取得最小值时，最小， 过点作关于轴的对称点，连接，，如图所示： 根据对称，可知，， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点和数形结合是解题的关键． 39．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 40．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 41．问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据证明过程即可求解； （2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，， 证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解； （3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解 【详解】解：（1）作且，则四边形是平行四边形； ∵，， ∴是等边三角形； 由三角形三边关系可知，， 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，， ∴； 故答案为：平行四边形，等边三角形，； （2）①作且，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ②作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）作且，连接，作，如图所示： 则四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平移、平行四边形判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，根据平移作出辅助线，转移角度和线段是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3平行四边形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共10类核心必考题型，作为八下几何入门核心考点，是矩形、菱形、正方形学习的基础。学生常出现性质判定混淆、条件遗漏、坐标找点漏解等问题，本专题系统梳理易错短板，总结标准化解题技巧，助力突破几何基础与压轴难点。 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【题型6 添加一个条件成为平行四边形】 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【题型9 平行四边形性质和判定的应用】 【题型5 判断能否构成平行四边形】 【题型10 平行四边形压轴大题5道】 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 易错点：混淆平行四边形边角性质；记错对角线平分特征；计算角度、线段时忽略邻角互补、对边相等关系。 解题技巧：牢记核心性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；求线段优先用对边相等，求角度优先用邻角互补与对角相等，快速代入计算。 1．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 3．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 4．中，与的平分线交于点P，，，则________． 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 易错点：证明跳步，未先说明平行四边形条件直接用性质；边角、平行关系推导逻辑混乱。 解题技巧：证明线段、角、平行关系时，先点明四边形为平行四边形，再对应套用性质；根据结论匹配定理，证线段相等用对边相等，证平行用对边平行，步骤规范不跳步。 5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是_____． 7．如图，在平行四边形中，对角线交于点，，，垂足分别为．求证：． 8．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为的中点，连接．求证：． 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 易错点：不会结合全等、三角形内角和综合解题；忽略平行四边形中心对称的隐藏性质。 解题技巧：灵活运用平行四边形中心对称、对角线平分的特征；将复杂图形拆解为三角形，结合全等、线段和差、角度换算解决衍生类题型。 9．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 10．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 12．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【题型4 证明四边形是平行四边形】 易错点：判定定理混用、记混条件；只用一组条件仓促判定，缺少关键依据。 解题技巧：熟练四类判定：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分；根据题干已知条件择优选用定理，补齐全部判定条件再下结论。 13．下列命题错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 14．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 15．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 16．如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型5 判断能否构成平行四边形】 易错点：仅凭边长相等盲目判定；忽略“一组对边平行且相等”的核心要求，混淆判定条件。 解题技巧：边长条件需满足两组对边分别相等；线段位置需满足平行关系；缺一不可，杜绝单边相等、单边平行就判定平行四边形的错误。 17．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 19．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 20．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型6 添加一个条件成为平行四边形】 易错点：添加条件多余或无效；条件与已知条件冲突；混淆平行四边形与特殊四边形条件。 解题技巧：根据已有条件精准补全短板：已知一组对边平行，可添这组对边相等或另一组对边平行；已知一组对边相等，可添这组对边平行或另一组对边相等，条件最简有效。 21．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 22．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 23．已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 24．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 易错点：分类讨论不全，容易漏解、少算点位；不会利用对角线分组确定动点位置。 解题技巧：固定三点，分三种情况讨论：分别以三条线段作为平行四边形对角线；标准题型固定有3个符合条件的点，按对角线分类可杜绝漏解。 25．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 26．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 27．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 28．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 易错点：逻辑顺序颠倒，未判定图形直接套用性质；综合题型不会结合判定与性质分步解题。 解题技巧：严格遵循“先判定、后性质”的解题逻辑；先通过已知条件证出平行四边形，再利用边角、对角线性质求解线段、角度、周长等问题。 29．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 31．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 32．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【题型9 平行四边形性质和判定的应用】 易错点：实际问题、几何综合题不会建模；无法区分何时用判定、何时用性质。 解题技巧：未知图形需证结论用判定，已知图形求边角用性质；将实际几何场景抽象为平行四边形模型，结合定理转化边角与线段关系。 33．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 34．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 35．如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 36．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【题型10 平行四边形压轴大题5道】 易错点：动点问题不会分类讨论；图形变换、存在性问题漏解；不会结合方程、全等综合解题。 解题技巧：压轴题拆解为判定、计算、证明小模块；动点问题按点位变化分类讨论；利用平行四边形不变性质，结合勾股定理、方程思想解题，规范步骤拿满分。 37．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)如图2，将图1中的沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，设点，问：直线上是否存在点，使得以点、、为顶点，以线段为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，为直线上一动点，且点在点的上方，、为轴上动点，在右侧且 ①当时，求出点坐标________； ②在①的条件下，连和，此时最小值为________． 39．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 40．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 41．问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $