7.4 二项分布与超几何分布 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦二项分布与超几何分布，通过基础辨析、综合应用分层设计，构建从概念理解到实际建模的巩固路径，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选/填空）|分布定义、期望方差计算|以概念辨析题（如判断分布类型）和公式应用题（如超几何分布期望计算）为主，夯实基础| |进阶层（多选）|两种分布对比、条件概率|通过易混点区分题（如有放回与无放回摸球的分布差异），培养逻辑推理能力| |综合层（解答）|实际情境建模|结合射击比赛、满意度调查等情境，考查数据处理与模型构建，体现数学应用价值|

7.4二项分布与超几何分布 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．随机变量X服从二项分布，则 为（ ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 2．已知随机变量，则下列选项中不正确的为（    ） A． B．当取最大值时， C． D． 3．一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中球的编号为偶数的个数，则以下结论不正确的是（    ） A．若采取有放回摸球，则 B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 4．一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（   ） A． B． C． D． 5．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取户，分别记为组和组，这户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图，假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从组和组中分别随机抽取户家庭，记为组中抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，为组抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，比较方差与的大小.（    ） A． B． C． D．不能确定 8．一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（   ） A． B． C． D． 10．下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 11．一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 三、填空题 12．已知随机变量X服从二项分布，若且，则________． 13．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 14．设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 四、解答题 15．某种疾病的血液筛查有如下统计结果：患者中90%的人检测结果为阳性（真阳性），未患该病的人群中10%的人检测结果为阳性（假阳性），据历史数据统计知人群中该病的患病率为10%． (1)若某人筛查结果为阳性，求其为患者的概率； (2)若对3名初筛阳性者分别进行独立的复核检测（复核检测准确率为100%，即复核阳性者为确诊患者，复核阴性者为未患该病者），设这3人中复核结果为阳性人数为，求的概率分布列及期望； 16．某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 17．在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列； (3)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列． 18．我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.4二项分布与超几何分布 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D D B A BD AC 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】因为随机变量 X服从二项分布，所以. 2．C 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项， ，当时，有最大值， 此时，所以B选项正确； C选项，，则，所以，所以C选项错误； D选项，，则，则，所以D选项正确. 3．D 【详解】若采取有放回摸球，每次摸到偶数球的概率，摸3次，则摸到偶数球的个数满足： ，期望为； 方差，故A，C正确； 若采取不放回摸球，的可能性为，则 ， ； ； ， 方差为， 故B正确，D错误． 4．B 【详解】由题意，每次有放回取玩具，取到奇数编号的概率为，取到偶数编号的概率为，各次取玩具的结果相互独立. 事件等价于：前9次取玩具的过程中恰好有7次取到奇数，且第10次取到奇数. 前9次恰好有7次取到奇数的概率为，再乘以第10次取到奇数的概率， 所以. 5．D 【分析】由题意可得服从超几何分布，按照超几何分布的期望公式求得，由期望的线性性质，求得的值. 【详解】易知的可能取值为，且服从超几何分布， 所以， 所以. 6．D 【详解】由题可知，服从超几何分布， 所以，， ，， 所以A，B，C均正确，D错误． 7．B 【分析】分别求出、的可能值，再由超几何分布概率公式求出各个值对应的概率，利用方差公式计算并比较大小即可. 【详解】由茎叶图知：A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户， 所以的可能值为0，1，2，且服从超几何分布， 则有：， 可得，； 由茎叶图知：B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户， 所以的可能值0，1，2，且服从超几何分布， 则有：， 可得，； 所以. 8．A 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A 9．BD 【分析】根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项. 【详解】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误； 又，所以，故B项正确； 又，所以，故C项错误； ，故D项正确． 10．AC 【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断. 【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”， 则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率， 符合二项分布的定义，即有.故A正确； 对于B，X的取值是1，2，3，…，n，， 显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布.故B错误； 选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的， 因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且.故C正确，D错误. 故选：AC. 11．AC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC 12．/ 【详解】由题设，则，， 所以，可得 ，所以. 13．1 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望公式计算可得结果. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以. 14． 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 15．(1) (2)的分布列为 0 1 2 3 0.125 0.375 0.375 0.125 【分析】（1）根据贝叶斯公式，求出事件的概率即可； （2）根据二项分布的性质，求出分布列和期望. 【详解】（1）设事件为“患病”，事件为“检测为阳性”由题意患病率， . （2）由（1）知，每个初筛阳性者是患者的概率为，且3个人复检结果相互独立， 可知的可能取值为0，1，2，3，， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.125 0.375 0.375 0.125 所以. 16．(1)①的分布列 2 3 4 5 期望；② ，时达到最大； (2) 【分析】（1）①按比赛结束条件，分类讨论每一局数的概率，进而求出分布列及期望； ②用p表示各局数概率，构造函数分析单调性，求达到最大值； （2）用比值法分析概率数列的单调性，求出最大值点，进而求出概率最大值． 【详解】（1）（1）①比赛结束的条件为：（I）某选手连续2局获胜；（II）积分率先达到分， 由赛制规则分析可得，， ：前2局连胜（甲甲或乙乙），总积分8分未达分，满足条件（I）， ， ：前2局交替，第3局与第2局连胜（甲乙乙或乙甲甲），满足条件（I）， ， ：前3局交替，第4局与第3局连胜（甲乙甲甲或乙甲乙乙），此时胜者积分分， 满足条件（I），， ：前4局交替（甲乙甲乙或乙甲乙甲），两人各得8分，第5局无论谁胜， 胜者积分必达分，满足条件（II），， 的分布列如下： 2 3 4 5 ， ②设乙在单局比赛中获胜的概率为， （甲甲）（乙乙）， （乙甲甲）（甲乙乙）， （甲乙甲甲）（乙甲乙乙）， （甲乙甲乙）（乙甲乙甲）， 令，由且，可得： ， 由基本不等式，，故， 则， ， 设 ，其在区间上单调递增， 当（即）时，取得最大值， ， 故 ， 当时，比赛的平均总局数达到最大． （2）由已知，， 设， ， 令， 当时，，即随增大而增大； 当时，，即随增大而减小； ， 故是最大值，即的估计值为． 17．(1) (2) 0 1 2 (3) 0 1 2 0.49 0.42 0.09 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值； （2）可知的可能取值为，结合超几何分布求分布列； （3）分析可知，结合二项分布求分布列. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）因为评分在的频率为，抽取的人数为， 评分在的频率为，抽取的人数为， 所以的可能取值为，则，，， 所以的分布列为 0 1 2 （3）因为评分在的频率为，用频率估计概率， 则全校学生评分在的频率为0.3，所以的可能取值为，且， 所以，，， 所以的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 18．(1)，； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $