7.4二项分布与超几何分布课时达标-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布 一．选择题 1.(多选题)下列例子中随机变量X不服从二项分布的是(　　) A.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X B.某射击爱好者击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数X C.从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数X D.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数 2.已知随机变量X,Y满足X+Y=8,且X服从二项分布,记作X~B(10,0.6),则E(Y)和D(Y)的值分别是(　　) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 3.已知X~B,Y~B,且E(X)=15,则E(Y)等于(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 4.在4重伯努利试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) A. B. C. D. 5.设X的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)=(　　) A.10 B.30 C.15 D.5 6.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 7.一个不透明的口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为(　　) A. B. C. D. 8.一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的8个小球,其中白球5个,分别编号1,2,3,4,5;红球3个,分别编号1,2,3,现从袋子中任取3个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)等于(　　) A. B. C. D. 9.一块高尔顿板示意图如图所示:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入④号球槽的概率为(　　) A. B. C. D. 二．填空题 10.抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次,正面朝上的次数X服从二项分布B,若P(X=1)=,则方差D(X)=　　　　　.  11.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其中次品数为X,已知P(X=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为　　　　　.  12.已知随机变量X服从二项分布,X~B,则E(2X+3)=　　,D(2X+3)=　　　. 13.把半圆弧分成4等份,以这些分点(包括直径的两端点)为顶点,作出三角形,从这些三角形中任取3个不同的三角形,则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的均值为　　　　　.  14.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=　　　　　.  三．解答题 15.某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元,命中4发不奖励,也不必付款,命中3发或3发以下,应付款2元.现有一游客,其命中率为. (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率; (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值. 16.在含有3件次品的8件产品中,任取3件,求: (1)取到的次品数的分布列; (2)至少取到1件次品的概率. 17.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个,且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X). 18.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分(两人得分之和)为X,求X≤3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大? 19.某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入后,有L1,L2两条巷道通往作业区(如图).L1巷道有A1,A2,A3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是;L2巷道有B1,B2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为. (1)求L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率; (2)若L2巷道堵塞点的个数为X,求X的分布列及均值E(X),并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,帮助救援队选择一条抢险路线,同时说明理由. 7.4二项分布与超几何分布 一．选择题 1. BCD 解析:A,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X~B(10,0.6),故是二项分布; B,对于某射击爱好者从开始射击到击中目标所需的射击次数X,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布; C,虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义; D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率不相等,故X表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布. 2. B 解析:由已知E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 因为X+Y=8,所以Y=8-X.所以E(Y)=-E(X)+8=2,D(Y)=(-1)2D(X)=2.4. 3. B 解析:因为E(X)=n=15,所以n=30,所以Y~B,所以E(Y)=30×=10. 4. A 解析:设事件A在一次试验中发生的概率为p.由题意得1-p0(1-p)4=,解得p=. 5. A 解析:由P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5)可知随机变量X服从二项分布B,因此D(X)=5×,D(3X)=9D(X)=10. 6. C 解析:因为随机变量X~B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=, 所以D(Y)=3×,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6. 7. D 解析:由S7=3,知在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选D. 8. D 解析:由题知,X=3可以分两种情况:第一种情况表示1个3,则P1=;第二种情况表示2个3,则P2=,因此P(X=3)=P1+P2=.故选D. 9. D 解析:设这个球落入④号球槽为事件A,落入④号球槽要经过两次向左,三次向右, 所以P(A)=32=. 二．填空题 10. 解析:因为3≤n≤8,随机变量X服从二项分布B,且P(X=1)=, 所以,即n,解得n=6, 所以方差D(X)=np(1-p)=6×. 11． 20% 解析:设10件产品中有x件次品,则P(X=1)=,所以x=2或8. 因为次品率不超过40%,所以x=2,所以次品率为2÷10×100%=20%. 12. 9　6 解析:∵随机变量X服从二项分布B, ∴E(X)=6×=3,D(X)=6×. 则E(2X+3)=2E(X)+3=9,D(2X+3)=22×D(X)=6.故答案为9,6. 13. 解析:以这些分点(包括直径的两端点)为顶点,一共能画出=10个三角形, 其中钝角三角形有7个,所以X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 所以E(X)=0×+1×+2×+3×. 14. 解析:由题意,得随机变量X的可能取值为6,9,12. P(X=6)=, P(X=9)=, P(X=12)=, 则E(X)=6×+9×+12×, D(X)=×2+×2+×2=. 三．解答题 15. 解(1)设5发子弹命中X(X=0,1,2,3,4,5)发,由题意知X~B,则由题意有P(X=5)=. (2)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 设游客在一次游戏中获得资金为Y元,于是Y的分布列为 Y -2 0 40 P 故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)=(-2)×+0×+40×=-. 16. 解(1)设在含有3件次品的8件产品中,任取3件,取到的次品数为X, 则X服从超几何分布,且N=8,M=3,n=3. X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)根据随机变量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=. 17. 解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个,且另1天的日销售量低于50个”. 因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)由题意知X~B(3,0.6). X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)=×(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432, P(X=3)=×0.63=0.216. 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 18. 解(1)由已知,得小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响. 记“这两人的累计得分X≤3”为事件A, 则事件A的对立事件为“这两人的累计得分X=5”. 因为P(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=. 所以这两人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2). 由已知得X1~B,X2~B, 所以E(X1)=2×,E(X2)=2×, 所以E(2X1)=2E(X1)=, E(3X2)=3E(X2)=. 因为E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大. 19. 解(1)设“L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A, 则P(A)=. (2)根据题意,知X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=×=, P(X=1)=×+×, P(X=2)=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×. 设L1巷道中堵塞点个数为Y,则随机变量Y~B, 所以E(Y)=3×. 因为E(X)<E(Y),所以选择L2巷道为抢险路线较好. 学科网（北京）股份有限公司 $