课时分层评价17 二项分布与超几何分布的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价17　二项分布与超几何分布的综合问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.已知随机变量X～B(4，p)，其中0＜p＜1，若P(X≤3)＝，则P(X＝3)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由二项分布的知识得P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－p4＝，得p4＝，又0＜p＜1，所以p＝，所以P(X＝3)＝×()3×(1－)＝.故选C. 2.袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则P(A)＝＝.故选D. 3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点(0，0)出发，每隔1 s等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于(2，4)的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：质点从原点(0，0)出发，移动6次后位于(2，4)，则质点向右移动2次，向上移动4次，由此质点移动6次后位于(2，4)的概率为×()4×()2＝.故选C. 4.(2025·河北衡水高二期中)设随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，且E(X)＞1.若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P(Y＝3)＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为X～B(3，p)，D(X)＝，则3p(1－p)＝，解得p＝或p＝，又因为E(X)＝3p＞1，则p＞，可得p＝，则＝5.所以P(Y＝3)＝＝.故选A. 5.(2025·浙江湖州高二期末)下列说法正确的是(　　) A.随机变量X～B(3，0.2)，则P(X＝2)＝0.032 B.某人在7次射击中，击中目标的次数为X且X～B(7，0.8)，则当X＝5时概率最大 C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D.从除颜色外完全相同的10个红球和20个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 答案：D 解析：对于A，由二项分布的概率公式可得P(X＝2)＝(0.2)2×0.8＝0.096，故A错误；对于B，在7次射击中，击中目标的次数为X且X～B(7，0.8)，当X＝k时，对应的概率为P(X＝k)＝·0.8k·0.27－k，当k≥1时，＝，由≥1可得1≤k≤，k∈N*，即当k＝6时概率最大，故B错误；对于C，至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误；对于D，设摸出红球的个数为X，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4，5)，故满足超几何分布，故D正确.故选D. 6.(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A.P(X＝1)＝ B.P(X＝2)＝ C.随机变量X服从超几何分布 D.随机变量X服从二项分布 答案：BC 解析：依题意，知随机变量X服从超几何分布；X的可能取值分别为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.故选BC. 7.若随机变量X服从二项分布B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，则k＝　　　　. 答案：10 解析：因为X～B(20，p)，当p＝时，P(X＝k)＝)k()20－k＝()20.显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值. 8.已知口袋中装有n(n＞1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球都是等可能的)，用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的均值为　　　　. X 0 1 2 P a b 答案：1 解析：依题意，可得P(X＝1)＝＝＝，解得n＝2或n＝1(舍去)，则a＝P(X＝0)＝＝，b＝P(X＝2)＝＝，即X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 故X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 9.腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动.已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为　　　　. 答案： 解析：依题意知，记机器人向右跳动的次数为X，则易知X～B(5，)，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝)5＋)1()4＋)2·()3＋)3()2＝. 10.(13分)已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为6∶3∶1. (1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率； (2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为X，求X的均值. 解：(1)设事件M＝“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为＝，分离出1个非轻水分子的概率为＝， 所以P(M)＝)2×()1＋)3×()0＝＝， 故至少分离出2个轻水分子的概率为. (2)因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 则P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(2025·山东青岛高二期中)某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X＞0)＝，则该社团的人数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.10 答案：C 解析：设该社团共有n人，所以P(X＝0)＝＝，因为P(X＝0)＝1－P(X＞0)＝，所以＝， 即(11n－18)(n－7)＝0，又因为n∈N*，解得n＝7.故选C. 12.(多选)(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是(　　) A.P(X＝0)＝ B.P(X＝5)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ 答案：ACD 解析：设A＝ “向右下落”， ＝ “向左下落”，则P(A)＝P()＝，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X～B(5，)，对于A，P(X＝0)＝(1－)5＝，故A正确；对于B，P(X＝5)＝()5＝，故B错误；对于C，E(X)＝5×＝，故C正确；对于D，D(X)＝5×(1－)＝，故D正确.故选ACD. 13.(双空题)为营造良好的学习氛围，某校组织学生开展互帮活动，其中数学学习小组有10位学生结成5对“1－1帮扶对”，为见证“1－1帮扶对”的学习成长，特别邀请一位数学老师进行“培优”讲座.若每个“1－1帮扶对”中两人同时参加讲座学习的概率为p且各“1－1帮扶对”是否参加讲座相互独立，记X为“1－1帮扶对”中两人一起参加讲座学习的对数，且P(X＝2)＜P(X＝3)，则E(X)的取值范围是　　　　，D(X)的取值范围是　　　　. 答案：(，5)　(0，) 解析：依题意可知X～B(5，p)，由P(X＝2)＜P(X＝3)可得p2(1－p)3＜p3(1－p)2，解得＜p＜1，所以E(X)＝5p∈(，5)，D(X)＝5p(1－p)＝－5(p－)2＋∈(0，). 14.(17分)为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比. 根据试验数据得到如下直方图： (1)求残留百分比直方图中a的值； (2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (3)在体内药物残留百分比位于区间[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间[6.5，7.5]的小鼠为X只，求X的分布列和均值. 解：(1)依题意，知0.15＋0.20＋a＋0.20＋0.10＋0.05＝1， 解得a＝0.3. (2)由图知，＝2×0.15＋3×0.2＋4×0.3＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.05＝4.05. (3)体内药物残留百分比位于区间[5.5，6.5)内的频率为0.1，位于[6.5，7.5]内的频率为0.05. 则百分比位于区间[5.5，6.5)内的小鼠有10只，位于[6.5，7.5]内的小鼠有5只， X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中：P1＝＝， ②投篮2次均投中：P2＝×＝＝， ③投篮3次均投中或仅投中2次：P3＝＋××＝， ④投篮4次均投中或仅投中3次：P4＝＋××＝， 显然甲同学继续投篮3次，最终得分不低于7分的概率最大.故选C. 16.(2025·山东潍坊高二期末)在一次以“二项分布的性质”为主题的探究活动中，某校数学第一小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记pk＝pk(1－p)n－k，k＝1，2，3，…，在探究pk＝pk(1－p)n－k，k＝1，2，3，…的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，而k取(n＋1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子并实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为　　　　的概率最大. 答案：18 解析：继续再进行80次投掷试验，出现点数为6的次数X服从二项分布X～B(80，)，由k＝(n＋1)p＝81×＝＝13.5，结合题中结论可知，k＝13时概率最大，即后面80次中出现13次点数6的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 学科网（北京）股份有限公司 $