精品解析：2026年山东济宁市邹城市中心店镇东滩中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得：A、B、C、D四点依次循环， 数轴上表示的点到2的距离为， ， 所以落在数轴上的点是D． 故选：D． 2. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 4. 根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式的除法． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：不是同类项，不能合并，原计算错误； B：当时，，当时，原式无意义，原计算错误； C：，原计算错误； D：当且时，，原计算正确； 故选：D． 6. 明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人．共同饮了一十六，二十九客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒”，分别得出等式即可． 【详解】解：∵好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人， ∴每瓶好酒可以醉倒位客人；每瓶薄酒位客人， 根据题意，可列方程组为：． 故选：B． 7. 已知方程的两个根都是整数，则k的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，可以把分解成几个因数的积的形式，然后利用根与系数的关系就可以确定的值，掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数， ∴， ∴，则， ，则， ，则， ，则， ∴k的值有个， 故选：C． 8. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合．根据反比例函数的比例系数知，可排除选项CD；分和判断一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中，，则反比例函数图象经过二、四象限，选项C、D不符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意； 故选：A． 10. 抛物线的对称轴是直线，则该函数的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴公式得出k的值，再把代入即可得出该函数的最小值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式的开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且， 故答案为：且 12. 有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 13. 不等组的最大整数解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，不等数组的正整数解，先解出不等式组，然后求出不等式组的正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最大整数解是， 故答案为：． 14. 如图，把黑色围棋子按一定的规律摆放，第1个图案有4颗棋子，第2个图案有7颗棋子，……，第2024个图案有n颗棋子，则n的值为_______． 【答案】6073 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，总结出变化的一般规律． 根据图形，得出前面几个图形中棋子的个数，再总结出第m个图形的棋子个数为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第m个：， ∵第2024个图案有n颗棋子， ∴． 故答案为：6073． 15. 如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算加减． （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 17. 如图，是的直径，是的切线，交于点． （1）如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，求不规则图形面积，角平分线的性质和尺规作图： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，由切线的性质和角平分线的性质得到，进而解直角三角形得到，则，解直角三角形求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵是的切线， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， ，， ∴． 18. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）线段的函数关系式为；双曲线的函数关系式为 （2）能 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求解； （2）令（1）中两个函数关系式中的函数值大于等于36，求出x值的取值范围，结合图形即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图可知，点A，B，C的坐标分别为，，， 设线段的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得， 线段的函数关系式为； 设双曲线的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， 双曲线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， 令， 解得， 结合图形可知，当时，， ， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键利用待定系数法求出函数解析式． 19. 如图，是的直径，点C是延长线上的一点，点D是上的一点，，且． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，过上的点P，作的平行线，交于点E，F，若．求的值． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键． （1）连接，求出，即可证明结论； （2）作于点G，连接，证明得到，由平行线的性质得到，进一步得到，即可得到的值． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图2，作于点G，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的值为6． 20. 每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． （1）求货车的高度； （2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】（1）米 （2）符合 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能熟练利用解三角形的知识进行求解是解题的关键． （1）由平行线的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征即可求解； （2）由正切函数得，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ． ， ， ． ， ． ． （米）， 货车的高度约为米． 【小问2详解】 解：在中， ， ， ． 答：该货车停车符合规定的安全标准． 21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数）． （1）若该函数的图像经过和两点，求该函数的表达式，并写出该函数图像的顶点坐标． （2）写出一组，的值，使函数的图像与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）若，点，为函数图像上的两点，且．求的最小值． 【答案】（1）， （2），；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定抛物线的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，熟练掌握待定系数法和配方法是解题的关键． （1）将点、分别代入，得到关于、的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式，再利用配方法即可求得顶点坐标； （2）写出、的值后，说明即可； （3）将代入抛物线的解析式，根据函数图像上点的坐标特征得出，的值，再求出的值，然后利用配方法根据二次函数的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标是； 【小问2详解】 例如，，此时， ∵， ∴函数的图像与轴有两个不同的交点； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵点，为函数图像上的两点，且， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 22. 已知抛物线过点两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作，垂足为M，求证：四边形为正方形； （3）点P为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）证明：∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出，得到四边形为菱形，再根据，即可得证； （3）求出的解析式，设，，作轴，交于点M，进而得到点的坐标，根据三角形的面积公式，列出二次函数，求最值即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线过点两点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得， ∴直线的解析式为：， ∵点P在抛物线上，且位于直线下方， ∴设，其中，， 如图所示，作轴，交于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入，得， ∴此时点P的坐标为． 23. 探究解题 （1）【问题发现】如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接． ①线段与的数量关系为 ；②直线与所夹锐角的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． （3）【知识迁移】如图3，当矩形的边时，点E为线段上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长 ． （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，点P是直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围 ．（用含有a、b的代数式表示，可以不化简） 【答案】（1）①；② （2）成立，理由如下： 如图，连接，延长交的延长线于H，交于M， ∵矩形与矩形相似， ∴，， ， ∴， ∴， ，， ， ， 直线与所夹锐角的度数为． 设， ， ， ∴， ∴， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）延长，交于H，连接，先证明三点共线，再结合三角函数求出，即可得解； （2）连接，延长交的延长线于H，交于M，证明，可得，再求出，即可得解； （3）连接，先求出，， ，根据证明，可得，即可得解； （4）作，使，连接，证明，可得，，结合点圆最值可求出，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：延长，交于H，连接， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形是矩形， ， 矩形与矩形相似， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 线段与的数量关系为，直线与所夹锐角的度数为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，四边形是矩形， ∴四边形为正方形，， ， ， 为正方形，点H为正方形的中心， ， ， ， ， ∴，，， ∴， ， ∴， ， ∴； 【小问4详解】 解：如图，作，使，连接， ∴，， ，， ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ∴E在为直径圆心为O的圆弧上运动， ， 设与交于N，延长交于M， 当E与M重合时，取得最大值，当E与N重合时，取得最小值， ， ∵， ∴， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上的点是（ ） A. A B. B C. C D. D 2. 围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人．共同饮了一十六，二十九客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 已知方程的两个根都是整数，则k的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 8. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，则该函数的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 都不对 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 13. 不等组的最大整数解是______． 14. 如图，把黑色围棋子按一定的规律摆放，第1个图案有4颗棋子，第2个图案有7颗棋子，……，第2024个图案有n颗棋子，则n的值为_______． 15. 如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）解分式方程： 17. 如图，是的直径，是的切线，交于点． （1）如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积． 18. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 19. 如图，是的直径，点C是延长线上的一点，点D是上的一点，，且． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，过上的点P，作的平行线，交于点E，F，若．求的值． 20. 每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． （1）求货车的高度； （2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数）． （1）若该函数的图像经过和两点，求该函数的表达式，并写出该函数图像的顶点坐标． （2）写出一组，的值，使函数的图像与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）若，点，为函数图像上的两点，且．求的最小值． 22. 已知抛物线过点两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作，垂足为M，求证：四边形为正方形； （3）点P为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标． 23. 探究解题 （1）【问题发现】如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接． ①线段与的数量关系为 ；②直线与所夹锐角的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． （3）【知识迁移】如图3，当矩形的边时，点E为线段上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长 ． （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，点P是直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围 ．（用含有a、b的代数式表示，可以不化简） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $