专题21.6《四边形的综合问题》 4大题型专项突破 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形综合问题，通过4大题型系统覆盖中点四边形判定、动点动态分析、线段最值转化及新定义探究，构建从性质应用到创新拓展的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形|4题|结合对角线关系判定中点四边形形状，涉及矩形、菱形等性质|中位线定理→特殊四边形判定→性质逆向应用| |动点问题|5题|含单动点、双动点，涉及平行四边形存在性、正方形判定|动态几何→方程思想→分类讨论→图形性质应用| |线段最值|5题|利用对称、模型转化求最小值，涉及菱形、矩形、正方形|几何直观→对称性质→将军饮马模型→最值原理| |其他综合|5题|新定义（垂美、勾股四边形等）探究，含概念理解与性质证明|抽象能力→概念迁移→推理意识→综合应用|

专题21.6 四边形中的综合问题 【4大题型专项突破】 【题型1 中点四边形】................................................................................................................................. 【题型2 （特殊）平行四边形的动点问题】............................................................................................. 【题型3 四边形中的线段最值问题】......................................................................................................... 【题型4 四边形的其他综合问题问题】..................................................................................................... 题型1 中点四边形 1．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 3．（2026·内蒙古通辽·三模）中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 题型2 （特殊）平行四边形的动点问题 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 题型3 四边形中的线段最值问题 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 5．（2026·河南周口·二模）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 题型4 四边形的其他综合问题问题 1．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 2．（2026·广东茂名·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 3．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 4．（2026·江苏常州·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.6 四边形中的综合问题 【4大题型专项突破】 【题型1 中点四边形】................................................................................................................................. 【题型2 （特殊）平行四边形的动点问题】............................................................................................. 【题型3 四边形中的线段最值问题】......................................................................................................... 【题型4 四边形的其他综合问题问题】..................................................................................................... 题型1 中点四边形 1．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 3．（2026·内蒙古通辽·三模）中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过论证中点四边形是矩形来求面积即可. 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∴. 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 题型2 （特殊）平行四边形的动点问题 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当F在M的右侧时，当F在M的左侧时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】5或15 【分析】根据点的坐标得出相关线段的长度，利用矩形的性质得出相等线段，最后利用平行四边形的判定和性质列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,， 当时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， 解得或． 4．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 题型3 四边形中的线段最值问题 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小， ∵菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：. 2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项． 【详解】解：A选项，∵四边形是菱形，且， 是等边三角形． 是上的动点， ∴当时，最小，此时，， 故A选项不符合题意； B选项，∵四边形是菱形， ∴点关于对称， ． 如图1，连接交于点，当点与点重合时，， 此时，的值最小，过点作交的延长线于点F． ， ， ， ， ，， ，故B选项不符合题意； C选项，如图2，当是的中点时，连接，当三点共线时，的值最小． 是的中点， ， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当时，的值最小，此时，故D选项不符合题意． 【点睛】解题时，首先要分析清楚该问题属于哪一种最值题型，再去运用相关类型题目的解题方法求解． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和，，可证，利用全等三角形的性质可得出，，由此可得出四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，即四边形周长最小，过点作于点，由对称结合矩形的性质可知：、，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， 同理，可得出， 四边形是平行四边形， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时最小，即四边形周长最小， 如下图所示，过点作于点， ，， ， ， ， ． 5．（2026·河南周口·二模）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 题型4 四边形的其他综合问题问题 1．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 2．（2026·广东茂名·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 3．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．（2026·江苏常州·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 【答案】(1)证明：已知四边形是菱形，，，又，，即， 五边形满足等腰五边形全部定义条件， 五边形是等腰五边形． (2)证明：连接、， 在和中： ， ， ，， 为等腰三角形， ， ， ， 即． (3)，，或，，或，，或，，． 【分析】（1）只需证明3个条件：、、，利用菱形四边相等、的条件做线段等量代换，再证角相等； （2）已知，，，连接、构造全等三角形；先证，得到、，再由等腰底角相等，两角相加即可推出 ； （3）矩形长，宽，要剪出等腰五边形，只能在矩形一组对角处各剪去一个全等直角三角形；结合“至少3条边相等”分类讨论边长等量关系，筛选符合凸五边形、边长正数的方案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：矩形，， 设剪掉的全等直角三角形直角边长为，斜边为，满足3条边相等： 情况1:令 ， ，（舍去，无法剪出三角形）； 情况2: ， ，（舍去）； 情况3: 如图所示，三边相等， 令 ， ， ，； 斜边为； 情况4：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况5：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况6：如图所示，三边相等， ， ， 解得，斜边为； 此时直角三角形三边为，，或，，或，，或，，． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $