精品解析：陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学2025-2026学年度第二学期期中学科成长足迹梳理数学试卷

【初2028届】2025-2026学年度第二学期期中学科成长足迹梳理 数学 （总分：100分＋20分 时间：100分钟） 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：0.0000033用科学记数法表示为． 2. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 已知，则的补角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互为补角的两个角的和为，代入数值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 6. 如图，以下结论中可以得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，，根据内错角相等，两直线平行，可证，故A选项符合题意； B选项：和是邻补角，不能说明任何两条直线平行，故B选项不符合题意； C选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的角，不能说明任何两条直线平行，故C选项不符合题意； D选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，，根据两直线平行，内错角相等，可知，但是不能证明，故D选项不符合题意． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式配方后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 8. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ． 9. 如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 10. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加得到关于,的等式，整理即可得到的值. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解白球个数即可． 【详解】解：设口袋中白球有个， 则口袋中球的总个数为个， 由频率估计概率可知，摸到红球的概率为， 根据概率公式可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为． 13. 如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外角的定义的得出，结合，得求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， ， ． 15. 等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即已知边长为腰长或为底边长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不能构成三角形的情况，即可得到符合题意的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况：若边长为腰长，则底边长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况； 情况：若边长为底边长，则腰长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴腰长为， 故答案为． 16. 如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的综合知识，解题的关键是根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，，再根据，进行解答，即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共7道小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式以及完全平方公式将括号内部分展开，再合并，最后计算单项式乘多项式，将x，y值代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握单项式乘单项式，单项式乘多项式以及完全平方公式的运算法则． 19. 如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使，交线段于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：直线即为所求． 【解析】 【分析】以为一边，在的同侧作，交于点即可． 【详解】略 20. 补全下面的推理过程，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，点在这条直线外，连接，，过点分别作的平行线，作的垂线，且． 求证：平分． 证明：（已知）， ___________（___________）． （已知）， （垂直的定义）， 即___________． 又（已知）， ___________（___________）． 平分（角平分线的定义）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，等角的余角相等，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先由得到，然后得到，利用等角的余角相等得到，进而求解即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （垂直的定义）， 即． 又（已知）， （等角的余角相等）． 平分（角平分线的定义） 21. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 【答案】（1）；（2）公平，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据红色的有4个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】解：（1）∵一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有4个扇形， ∴指针指向红色的概率为：； （2）由图可知：转盘被分成10个相同的扇形， 黄色区域有3块，绿色区域有3块， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，概率一样， ∴这个游戏对甲、乙公平． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 【答案】柳树的高度为 【解析】 【分析】先证明，再证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． ∴， 答：柳树的高度为． 23. 按要求解答问题： （1）如图，、都是等腰直角三角形，，，，连，，当、、三点共线时，与的数量关系为______． （2）如图2，、都是等边三角形，连接，，延长线与交于点，则的度数是多少? （3）如图3，公园里有一块等边三角形绿地，绿地中央有两条景观小路、，其中点，，分别在绿地边沿，，上，两条小路交于凉亭．已知，且两条小路的夹角，，．为改善公园景观，管理部门计划在绿地右侧空地修建一个等边三角形花坛，并铺设一条从凉亭到花坛顶点的直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道的长度． 【答案】（1） （2） （3）直线步道的长度为 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的边和角的关系，通过 证明，直接得到； （2）先证，再利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和，算出； （3）作辅助线构造等边，通过两次证明全等三角形，推导出，代入数值得到结果． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ． 【小问2详解】 解：∵、都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 四、能力提升题（共5道小题，每小题4分，共20分） 24. 若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过配方法对代数式变形，再利用完全平方式的非负性即可求出的最小值． 【详解】解:对进行配方，即， 对任意实数，都有， 当时，取得最小值，即最小值为， 故答案为． 25. 已知和的两边分别互相平行，且比的倍少，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别互相平行，则两个角相等或互补，设的度数为，则的度数为，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 和的两边分别互相平行， 分两种情况讨论： 情况1：当时，， 解得， 情况2：当时，， 解得， 综上，的度数为或， 故答案为或． 26. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 27. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 28. 如图，在等边中，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若等边三角形的边长为，则线段长度的最小值为______．（提示：在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半） 【答案】 【解析】 【分析】在线段上取点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，，根据等腰三角形的判定和性质，可知，为等腰三角形，求出，设的平分线与边交于点，则的运动轨迹为线段，当时，长度最短，求出，即可． 【详解】解：在线段上取点，使得，连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 即射线为的角平分线，设的平分线与边交于点，则的运动轨迹为线段， 当时，长度最短，如图2． 在中，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【初2028届】2025-2026学年度第二学期期中学科成长足迹梳理 数学 （总分：100分＋20分 时间：100分钟） 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的补角是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 如图，以下结论中可以得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，且，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有______个． 13. 如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 14. 如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 15. 等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 16. 如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 三、解答题（共7道小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使，交线段于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 20. 补全下面的推理过程，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，点在这条直线外，连接，，过点分别作的平行线，作的垂线，且． 求证：平分． 证明：（已知）， ___________（___________）． （已知）， （垂直的定义）， 即___________． 又（已知）， ___________（___________）． 平分（角平分线的定义）． 21. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 22. 在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 23. 按要求解答问题： （1）如图，、都是等腰直角三角形，，，，连，，当、、三点共线时，与的数量关系为______． （2）如图2，、都是等边三角形，连接，，延长线与交于点，则的度数是多少? （3）如图3，公园里有一块等边三角形绿地，绿地中央有两条景观小路、，其中点，，分别在绿地边沿，，上，两条小路交于凉亭．已知，且两条小路的夹角，，．为改善公园景观，管理部门计划在绿地右侧空地修建一个等边三角形花坛，并铺设一条从凉亭到花坛顶点的直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道的长度． 四、能力提升题（共5道小题，每小题4分，共20分） 24. 若，则的最小值是______． 25. 已知和的两边分别互相平行，且比的倍少，则的度数为______． 26. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 27. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 28. 如图，在等边中，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若等边三角形的边长为，则线段长度的最小值为______．（提示：在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $