精品解析：陕西西安市铁一中学2025- 2026学年七年级下学期期中考试数学试题

数学练习 一、选择题 1. 若，则的余角的大小是（ ） A. B. C. D. 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，边上的高线为（ ） A. B. C. D. 4. 下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（ ） A. 夕阳西下 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 水中捞月 5. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值（ ） A. 18 B. 9 C. D. 7. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，6，20 D. 5，5，11 8. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若，则添加不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（ ） A. 3或 B. 2或3 C. 2或 D. 或 二、填空题 11. 计算：_________． 12. 在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为______（精确到0.1）． 14. 如图，在中，，，，分别是角平分线和高，则的度数是___________． 15. 若是完全平方式，则m的值为________． 16. 如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值： ，其中，，． 19. 如图，已知线段，和，请用尺规作图，作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 21. 在一个口袋中只装有6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 22. 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． （1）求的度数； （2）若， ，求证：． 23. 解决下列问题 （1）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________． （2）若，，求与的值． 24. 【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 （2）如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题 1. 若，则的余角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果． 【详解】解：∵互余的两个角的和为，， ∴的余角为． 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 在中，边上的高线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 4. 下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（ ） A. 夕阳西下 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、夕阳西下是必然事件，发生可能性为1； B、旭日东升是必然事件，发生可能性为1； C、守株待兔是随机事件，发生可能性大于0且小于1； D、水中捞月是不可能事件，发生可能性为0； 则发生可能性最小的是水中捞月． 5. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 6. 已知，，则的值（ ） A. 18 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 7. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，6，20 D. 5，5，11 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，能摆成三角形，该选项符合题意； B、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； C、 ，不能摆成三角形，该选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，该选项不符合题意． 8. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，若，则添加不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，可以添加角，也可以添加边．若添加边，只能添加，若添加角，另外两组角随便添加即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、根据，，不能推出，故本选项符合题意； B、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； C、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； D、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（ ） A. 3或 B. 2或3 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴，， ∴ ； 当，时，， ∵，， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 二、填空题 11. 计算：_________． 【答案】 1 【解析】 【详解】解：， ． 12. 在下列条件中：①，②，③，能确定是直角三角形的条件有___________个． 【答案】 【解析】 【详解】解：①由和三角形内角和为，得， 所以，故是直角三角形． ②设， ， ，则 ，解得， 所以 ，故是直角三角形． ③由，得，则，故是直角三角形． 因此，能确定是直角三角形有①②③共3个． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为______（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题主要考查频率估计概率的思想，根据表格用试验发生的频率来估计概率即可． 【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右， ∴该油菜籽种子发芽的概率为0.8， 故答案为：0.8． 14. 如图，在中，，，，分别是角平分线和高，则的度数是___________． 【答案】##9度 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理，求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用角的和差求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 15. 若是完全平方式，则m的值为________． 【答案】9或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值． 本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：由于， ∴， 解得或． 故答案为：9或． 16. 如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得， ，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明 ，得到，设，则 ，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ， ，， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且 ， ∴，  的最大值为．, 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 19. 如图，已知线段，和，请用尺规作图，作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先作出 ，然后在边上截取得到点B，在边上截取得到点C，连接即可得到符合要求的图形． 【详解】解：如图所示，即为所求． 20. 已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线可得，再根据线段的和差得到，运用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 21. 在一个口袋中只装有6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 【答案】（1） （2）取走了10个红球 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可． （2）设取走了x个红球，即放入x个白球，然后根据概率公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：. 【小问2详解】 解：设取走了x个红球，即放入x个白球， 则， 解得：， 答：取走了10个红球． 22. 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． （1）求的度数； （2）若， ，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先求出，再利用平行线的性质即可求解； （2）由条件可知，因此可以先尝试证明，再利用平行于同一条直线的两直线即可求证． 【小问1详解】 解：设，则． 根据题意，得， 解得． ． ， ； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长交直线于点， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 23. 解决下列问题 （1）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________． （2）若，，求与的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）确定小正方形的边长，求面积；用大正方形面积减去四个小长方形面积； （2）根据完全平方公式即可求出，由（1）得，代入数据即可求出． 【小问1详解】 解：阴影部分（小正方形）边长为，面积为或阴影部分为， 则可以得到等式； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ； 由（1）， ∴ ． 24. 【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 （2）如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得解； （2）作于点，证明，得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）分三种情况：为直角边，，作直角边，，为斜边，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴；      【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵ ， ∴，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ ； 【小问3详解】 解：①当为直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， 同理（1）得：， ∴， ∴ ； 当作直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， 同理（1）得：， ∴ ， ∴ ； 当为斜边，时，如图，作高线，过作于点，过点作于点， ∵，，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵，， ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 同理，得， 设 ，则 ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $