10.1.3 古典概型 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦古典概型判断与概率求解，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|古典概型判断、简单概率计算|以基础选择为主，如第1题辨析古典概型特征，第2题直接应用概率公式，夯实概念理解| |B级|组合/排列情境应用、跨知识点综合|融入实际情境（第5题知识竞赛、第6题哥德巴赫猜想），通过多选题（第7题）和填空题（第8题对数应用）提升推理能力| |C级|集合与线性关系的概率综合|以多选题形式（第10题）考查样本点分布与概率最大值，培养数学建模与创新意识|

10.1.3　古典概型 第2课时　古典概型与其他知识的综合 A级 必备知识基础练 1.小明打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小明输入一次密码能够成功开机的概率是(　　) A. B. C. D. 2.新高考综合改革实施方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为(　　) A. B. C. D. 3.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游戏中甲获胜的概率,你认为哪个游戏是公平的? 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 B级 关键能力提升练 4.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为(　　) A. B. C. D. 5.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　.  6.某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下: 治疗效果 病情好转 疗效不明显 病情恶化 人数 800 200 200 现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率. 7.某校以课程建设为核心,建立了学生劳动实践基地,开发了农事劳作课程,开展课外种植、养殖活动,打算引进小动物甲以及成立养殖小组.为了解学生的养殖意愿,该校在一年级的100名学生中进行问卷调查,调查数据如下: 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 学校决定由一年级负责养殖小动物甲,现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组,再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人,求这2人恰好都是女生的概率. C级 学科素养创新练 8.中国田协在年龄组别上调整为8个:34岁以下组、35—39岁组、40—44岁组、45—49岁组、50—54岁组、55—59岁组、60—64岁组、65岁以上组.现抽取了1 000名年龄在35—64岁的参赛人员,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示. 用分层抽样的方法从年龄在(44,54]内的人数中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这两人中至少有一人的年龄在(49,54]中的概率. 参考答案 1.C　开机密码可能为(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种可能,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.故选C. 2.B　按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,政治),(物理,化学,地理),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,政治),(历史,化学,地理),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=.故选B. 3.解对于游戏1,甲获胜的概率为,游戏公平; 对于游戏2,设两个红球为A,B,两个白球为a,b,依次取出2个球共有AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab,共6种可能情况,其中两球同色情况为AB,ab,故甲获胜的概率为,游戏不公平; 对于游戏3,设3个红球为E,F,G,白球为e,依次取出2个球共有EF,EG,Ee,FG,Fe,Ge,共6种可能情况,其中两球同色情况为EF,EG,FG,故甲获胜的概率为,游戏公平; 故游戏1和游戏3公平. 4.C　设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛,所有的可能为 Aa,Bb,Cc,田忌得0分;Aa,Bc,Cb,田忌得1分; Ba,Ab,Cc,田忌得1分;Ba,Ac,Cb,田忌得1分; Ca,Ab,Bc,田忌得2分;Ca,Ac,Bb,田忌得1分. 故田忌得2分的概率P=.故选C. 5.　从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}. “A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2), 所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为. 6.解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本. 将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替, 则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点. 其中没有抽到病情恶化的志愿者的样本点为(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共10个样本点, 因此抽取的3人中病情都未恶化的志愿者的概率为. 7.解抽取的这6人中男生人数为6×=2,分别记为A,B, 女生人数为6×=4,分别记为a,b,c,d, 设抽取的2人分别为m,n,用数组(m,n)表示这个试验的一个样本点, 因此该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共15个样本点. 设事件E=“抽取的2人恰好都是女生”,则E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6个样本点. 因为样本空间Ω中每一个样本点出现的可能性相等,所以该试验是古典概型, 因此P(E)=. 8.解由题可得(0.01+0.02×2+a+0.05+0.06)×5=1, ∴a=0.04. ∵(44,49]的频率为0.06×5=0.3,(49,54]的频率为0.04×5=0.2, ∴这两组的频率之比为3∶2, ∴(44,49]抽取的人数为5×=3(人),记为A1,A2,A3,(49,54]抽取的人数为5×=2(人),记为B1,B2, 则5人中抽取2人包含的所有情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种,其中至少1人在(49,54]包含的所有情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共有7种. ∴这两人中至少有1人的年龄在(49,54]中的概率P=. 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.3　古典概型 第1课时　古典概型的判断及其概率的求解 A级 必备知识基础练 1.下列试验是古典概型的是(　　) A.种下一粒大豆观察它是否发芽 B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径 C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况 D.某人射击中靶或不中靶 2.若书架上数学、物理、化学的数量分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为(　　) A. B. C. D. 3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A. B. C. D. 4.甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. B级 关键能力提升练 5.某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是(　　) A. B. C. D. 6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(多选题)抛掷两枚硬币,若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1,P2,P3,则下列判断中,正确的是(　　) A.P1=P2=P3 B.P1+P2=P3 C.P1+P2+P3=1 D.P1+P2+2P3=1 8.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　　. 9.如图,地上有3个不同的桶,每次取一个桶,直到取完,则最后一个取到B的概率是　　　　　. C级 学科素养创新练 10.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 参考答案 1.C　只有C具有古典概型两个特征.故选C. 2.B　样本空间包含10个样本点,“随机抽出一本是物理书”包含3个样本点,所以其概率为,故选B. 3.B　从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设事件A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.故选B. 4.B　两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,共有16个样本点,为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),这16个样本点发生的可能性是相等的. 其中满足|a-b|≤1的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率P=.故选B. 5.D　现场选2名选手,共有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)15种情况,不妨设A,B,C,D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况共6个,所以至少有一名女同学被选中的概率为1-.故选D. 6.D　不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的只有(3,11)这1种选法,所以其和等于14的概率为.故选D. 7.BC　由题知,抛掷两枚硬币共有正正,反反,正反,反正,共4个基本事件,P1=,P2=,P3=,所以P1+P2=P3,P1+P2+P3=1.故选BC. 8.　从2,3,8,9中任取两个不同的数字,(a,b)的所有可能结果有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12种,其中log28=3,log39=2为整数,所以logab为整数的概率为. 9.　由题图可知,B桶不可能第一个被取到,故画树形图表示所有可能的取法,如图所示. 共有3种等可能的结果,其中最后一个取到B的结果有2种,所以最后一个取到B的概率为. 10.BC　由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3为“点P(m,n)落在直线x+y=3上”,包含(2,1)1个样本点,所以P(A3)=;事件A4为“点P(m,n)落在直线x+y=4上”,包含(2,2),(3,1)2个样本点,所以P(A4)=;事件A5为“点P(m,n)落在直线x+y=5上”,包含(2,3),(3,2),(4,1)3个样本点,所以P(A5)=;事件A6为“点P(m,n)落在直线x+y=6上”,包含(2,4),(3,3),(4,2)3个样本点,所以P(A6)=;事件A7为“点P(m,n)落在直线x+y=7上”,包含(3,4),(4,3)2个样本点,所以P(A7)=;事件A8为“点P(m,n)落在直线x+y=8上”,包含(4,4)1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.故选BC. 4 学科网（北京）股份有限公司 $