10.1.3 古典概型分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.3　古典概型 一、必备知识基础练 1.下列试验是古典概型的是(　　) A.种下一粒大豆观察它是否发芽 B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径 C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况 D.某人射击中靶或不中靶 2.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2025湖北咸宁高二月考)工厂从三名男工人和两名女工人中,选出两人参加技能大赛,则这两名工人恰好都是男工人的概率为(　　) A. B. C. D. 4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A. B. C. D. 5.在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“是整数”的概率为(　　) A. B. C. D. 6.算盘起源于中国,迄今已有2 600多年的历史,是中国传统的计算工具:现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为(　　) 图1 图2 A. B. C. D. 7.有5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,从中任取2张,则 (1)卡片上数字全是奇数的概率为　　　　　;  (2)卡片上数字之积为偶数的概率为　　　　　.  8.一只口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出2个球. (1)共有多少个样本点? (2)摸出的2个球都是白球的概率是多少? 9.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,求它们的长度恰好相差0.3 m的概率. 二、关键能力提升练 10.(多选题)下列试验是古典概型的是(　　) A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率 11.(多选题)已知某养老院75岁及以上的老人占60%,75岁以下的老人中,需要有人全天候陪同的占10%;75岁及以上的老人中,需要有人全天候陪同的占30%.如果从该养老院随机抽取一位老人,则以下结论中,正确的是(　　) A.抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35% B.抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22% C.抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4% D.抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40% 12.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是　　　　　.  13.数字人民币在数字经济时代中体现价值、交易媒介和支付手段职能,为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式,同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.现从某市使用数字人民币的市民中随机选出200人,并将他们按年龄(单位:岁)进行分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65]. (1)求直方图中a的值和第25百分位数; (2)在这200名市民中用分层随机抽样的方法从年龄在[25,35)和[45,55)内抽取6名市民做问卷调查,并从中随机抽2名幸运市民,求2名幸运市民年龄都在[25,35)内的概率. 14.某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂,邀请了40名女性作为研究对象,将其随机分成两组,其余变量不变的情况下,实验组每天喝220 g酸奶,对照组每天喝220 g牛奶,持续24周后,得到如下数据. 单位:人 受试者 脂肪 合计 没有减少1 kg 减少1 kg 实验组 2 18 20 对照组 8 12 20 (1)从这些研究对象中随机抽取1人,求此人每天喝220 g酸奶且脂肪减少1 kg的概率; (2)用分层随机抽样的方法从脂肪减少1 kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查,并从这5人中随机选2人发一份小礼品,求这2人都来自实验组的概率. 15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下: ①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 答案 1.C 2.A　解析 根据题意列出树形图如下: 样本点的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10,故所求概率P=. 3.C　解析 三名男工人记为A,B,C,两名女工人记为a,b,任选两人的试验的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共10个样本点.设M为选出两人恰好都是男工人的事件,则M={AB,AC,BC},共3个样本点,所以这两名工人恰好都是男工人的概率P(M)=.故选C. 4.B　解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率P=. 5.A　解析 在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,基本事件总数n=12,是整数包含的样本点有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4个,则“是整数”的概率P=.故选A. 6.B　解析 拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法: 第一类,只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为2,6,20,60; 第二类,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为11,15,51,55. 所以表示不同整数的个数为8,其中表示的数字大于50的有51,55,60,共3个,所以表示的数字大于50的概率为.故选B. 7.(1)　(2)　从标有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任取2张,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点,且每个样本点是等可能发生的.设A=“2张卡片上数字全是奇数”,B=“2张卡片上数字之积为偶数”. (1)A={(1,3),(1,5),(3,5)},共3个样本点,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=. (2)(方法一)B={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)},共7个样本点,由古典概型的概率计算公式可得P(B)=. (方法二)从5张卡片中任取2张,“卡片上数字全是奇数”与“卡片上数字之积为偶数”是对立事件,由(1)可知P(B)=1-. 8.解 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5). 因此,共有10个样本点. (2)上述10个样本点发生的可能性相同,且只有3个样本点是摸到两个白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3), 故P(A)=. 故摸出2个球都是白球的概率为. 9.解 从5根竹竿中一次随机抽取2根有10种等可能结果,它们的长度恰好相差0.3 m的可能结果有两种,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为. 10.BD 11.BC　解析 不妨设共有100名老人,则根据题意可作出如下表格: 年龄 是否需要全天候陪同 合计 是 否 75岁及以上 18 42 60 75岁以下 4 36 40 合计 22 78 100 所以如果从该养老院随机抽取一位老人,抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%,故A错误; 抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%,故B正确; 抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%,故C正确; 抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为42%,故D错误. 12.　在四个数中重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2,共4种,故所求的概率为. 13.解 (1)(a+0.03+0.015+0.01×2)×10=1,解得a=0.035. 因为第1组的频率为0.01×10=0.1,0.1<0.25, 第2组的频率为0.03×10=0.3,0.1+0.3>0.25, 所以第25百分位数在第2组,设为x, 则0.1+×0.3=0.25,解得x=30, 所以第25百分位数为30. (2)年龄在[25,35)的市民人数为200×0.3=60, 年龄在[45,55)的市民人数为200×0.15=30, 用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25,35)的人数为6×=4人, 年龄在[45,55)的人数为6×=2人, 设年龄在[25,35)的4人为A,B,C,D,年龄在[45,55)的2人为E,F, 从这6名市民中随机抽取2名的样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15个样本点, 其中2名年龄都在[25,35)内的样本点有{(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点, 所以2名幸运市民年龄都在[25,35)内的概率为. 14.解 (1)由题意可知,这些研究对象中共有18人每天喝220 g酸奶且脂肪减少1 kg, 所以从这些研究对象中随机抽取1人,此人每天喝220 g酸奶且脂肪减少1 kg的概率为. (2)由题意可知抽取的5人中有3人来自实验组,分别记为A,B,C,2人来自对照组,分别记为a,b. 再从5人中随机选2人构成的基本事件有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种,其中这2人都来自实验组的基本事件有AB,AC,BC,共3种, 所以从这5人中随机选2人发一份小礼品,这2人都来自实验组的概率为. 15.解 (1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},即样本点的总数为16,记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1), 所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为. (2)获得水杯的概率大于获得饮料的概率.理由如下: 记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的样本点共6个,分别为(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=. 事件C包含的样本点共5个,分别为(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1), 所以P(C)=. 因为, 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 8 学科网（北京）股份有限公司 $