10.3.1频率的稳定性 10.3.2随机模拟课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦概率中的频率稳定性与随机模拟，从掷硬币试验导入，衔接随机事件、样本空间等前序概念，通过频率随机性到稳定性的探究，搭建从具体试验到抽象概率估计的学习支架。 其亮点在于结合垃圾分类数据、转盘游戏等生活实例及羽毛球比赛模拟案例，用数学眼光观察现实问题，通过例题变式训练发展数学思维，以数据表格和随机数模拟强化数学语言表达。助力学生提升探究与应用能力，为教师提供系统教学资源与方法。

第十章　概率 10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 【课标要求】 1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念. 2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系. 3.理解事件A与事件B之间的关系,及并事件、交事件、互斥事件、互为对立事件等相关概念. 基础落实•必备知识全过关 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 课标要求 1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系. 2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A). 3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　随机事件的频率与概率的关系 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有_______.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会_____,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的　　　　.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).  P(A)≈fn(A),n越大,估计效果越好 随机性 缩小 稳定性 名师点睛 对于频率与概率的区别和联系的剖析 (1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的. (2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关. (3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)频率是客观存在的,与试验次数无关.(　　) (2)概率是随机的,在试验前不能确定.(　　) (3)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.(　　) × × √ 2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系? 提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生. 知识点二　随机模拟 1.随机数与伪随机数 (1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. (2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数. 2.蒙特卡洛方法 利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用　　　　　　　　解决问题的方法为蒙特卡洛方法.  随机模拟 过关自诊 用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢? 提示 因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了. 重难探究•能力素养全提升 探究点一　对概率的正确理解 【例1】 下列说法一定正确的是(　　) A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况 B.随机事件发生的概率与试验次数无关 C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万张的彩票一定会中奖 D.一个骰子掷1次得到2点的概率是,则掷6次一定会出现一次2点 B　 解析 A选项,一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,也可能出现三投都不中的情况,A错误;B选项,随机事件发生的概率是一个固定的值,与试验次数无关,B正确;C选项,若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万张的彩票不一定会中奖,C错误;D选项,一个骰子掷1次得到2点的概率是,掷6次出现2点的次数不确定,可能是1次,也可能是2次或者其他次数,D错误.故选B. 规律方法　对频率与概率的理解 (1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关. 变式训练1下列说法合理的是(　　) A.抛掷一枚硬币,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率 B.由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨 D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 A 解析 在A中,抛掷一枚硬币,由概率的定义得,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率,故A正确; 在B中,一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),故B错误; 在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性会下雨,故C错误; 在D中,事件A,B中至少有一个发生的概率包括事件A发生B不发生;A不发生B发生;A,B都发生,3种情况.A,B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生;A不发生B发生,2种情况.当事件A,B为对立事件时,事件A,B都发生的概率为0,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故D错误. 探究点二　随机事件的频率与概率 【例2】 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): 类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率 解 (1)厨余垃圾投放正确的概率为 . (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量, 即P(A)==0.3. 规律方法　1.由统计定义求概率的一般步骤: (1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数); (2)由fn(A)=计算频率fn(A); (3)由频率fn(A)估计概率P(A). 2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 变式训练2(1)在一次抛硬币的试验中,同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了45次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A.0.45　0.45 B.0.5　0.5 C.0.5　 0.45 D.0.45　0.5 D 解析 (1)出现正面的频率是45÷100=0.45,出现正面的概率是0.5. (2)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,则估计该厂这20万件产品中合格产品约有(　　) A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.2万件 C 解析 (2)由题意,合格率为P=, 因此合格品约有20×=19(万件),故选C. 探究点三　游戏公平性的判断 【例3】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么? 解 该方案是公平的,理由如下: 各种情况如下表所示: 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种. 所以(1)班代表获胜的概率为, (2)班代表获胜的概率为,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的. 规律方法 变式训练3有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种: A.猜“是奇数”或“是偶数”; B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”. 请回答下列问题: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么? 解 (1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为0.2,“不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大. (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的. 探究点四　利用随机数求事件的概率 【例4】 在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.为此,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.因为要比赛三局,所以每3个随机数为一组.如下,产生了20组随机数: 423　231　423　344　114　453　525 323　152　342　345　443　512　541 125　342　334　252　324　254 相当于做了20次重复试验,用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为　　　　.  0.65 解析 由题意可知,20组随机数中甲获胜的有423 231　423　114　323　152　342　512　125　342　334　252 324,共13组, 所以甲获胜的频率为=0.65,所以甲获得冠军的概率的近似值为0.65. 故答案为0.65. 规律方法　用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑: (1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点; (2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数; (3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高; (4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的. 变式训练4袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件A发生的概率为(　　) A. B. C. D. C 解析 组随机数中,利用列举法求出事件A发生的随机数有210,021,001,130,031,103,共6个,估计事件A发生的概率为P=. 故选C. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)概率与频率的关系. (2)用频率估计概率. (3)用随机模拟估计概率. 2.常见误区: 频率与概率的关系易混淆. 本 课 结 束 更多精彩内容请登录 志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ $