10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章　概率 10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 频率的稳定性是概率论的理论基础,说明随机现象的规律性是客观存在的,事件发生的可能性大小是可度量的.现实生活中大量随机事件不能像古典概型那样,直接计算事件的概率,需要用频率来估计.例如,在保险领域中各种“事故”发生的概率,都是用频率来估计的.本学习单元的知识明线具体结构如下图所示. 本学习单元的最终目标是掌握频率与概率的联系与区别,能用频率估计概率,理解频率的稳定性规律.具体来说,主要掌握以下内容:一是对于频率与概率意义的直观认识,二是通过试验认识频率的稳定性,三是认识频率与概率的本质区别,四是通过具体计算或计算机模拟认识频率的稳定性.在此学习过程中,培养直观想象、数据分析、数学运算等素养. 学习目标 1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系. (数学抽象、逻辑推理) 2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A).(数学运算) 3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法.(数学抽象) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:随机事件的频率与概率的关系 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有　　　　　.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会 　　　,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的　　　　.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A). 随机性 缩小 稳定性 名师点睛 对于频率与概率的区别和联系的剖析 (1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的. (2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关. (3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值. 思考辨析 随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系? 提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生. 知识点二:随机模拟 1.随机数与伪随机数: (1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. (2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数. 2.蒙特卡洛方法:利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用　　　　　　　解决问题的方法为蒙特卡洛方法.  随机模拟 思考辨析 用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢? 提示 利用计算器或计算机软件可以生成随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验. 重难探究·能力素养速提升 问题1 对于样本点等可能的试验,可以用古典概型计算相关事件的概率.但现实中,很多试验的概率是无法预知的,如何寻找计算概率的方法? 问题2 重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小呢?频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢? 探究点一 对概率的正确理解 问题3 如何理解概率? 【例1】 下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 D 解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张奖票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 规律方法　概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性. 探究点二 随机事件的频率与概率 问题4 随机事件的频率与概率有何区别与联系? 【例2】 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量, 规律方法　1.由统计定义求概率的一般步骤: (1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数); (3)由频率fn(A)估计概率P(A). 2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 探究点三 随机数的产生 问题5 随机事件的频率依赖于试验的次数,费时费力,如何借助信息技术来优化随机试验的模拟? 【例3】 某校高一全年级20个班共1 200人,期中考试时如何把学生分配到40个考场去? 解 (1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机; (2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同); (3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从1到1 200人的考试序号.(注:1号应为0001,2号应为0002,用0补足位数.前面再加上有关信息号码即可) 规律方法　1.产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等.抽签法产生的随机数能保证机会均等,而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能性,但是后者较前者速度快,操作简单,省时省力. 2.用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:(1)进行正确的编号,并且编号要连续;(2)正确把握抽取的范围和容量. 探究点四 利用随机模拟估计事件的概率 问题6 如何利用随机模拟试验估计事件的概率? 【例4】 一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率: (1)任取一球,得到白球; (2)任取三球,都是白球. 解 用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球. (1)步骤: ①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n; ②统计这n组数中小于6的组数m; (2)步骤: ①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n'; ②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m'; 规律方法　用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑: (1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点; (2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数; (3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高; (4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(例1对点题)气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为70%”.基于这些信息,关于明天降雨情况的描述最为准确的是 (　　) A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降雨,而中心城区将不会有降雨 D.如果明天降雨,郊区的降雨量一定比中心城区多 B 1 2 3 4 解析 对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同,故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%,故A错误; 对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大,故B正确; 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨,故C错误; 对于D,降雨量并不取决于降雨概率,反而是降雨时长以及有效覆盖面积(即下雨的区域在该参考区域的面积)会影响降雨量,故D错误. 故选B. 1 2 3 4 2.(例2对点题)某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下: 种子粒数 100 200 500 1 000 3 000 5 000 发芽种子粒数 79 156 405 790 2 400 4 100 发芽频率             (1)计算各批种子的发芽频率,填入上表; (2)根据频率的稳定性估计种子发芽的概率. 解 (1)发芽频率从左到右依次为:0.79,0.78,0.81,0.79,0.80,0.82. (2)由(1)知,发芽频率逐渐稳定在0.80,因此可以估计种子发芽的概率为0.80. 1 2 3 4 3.(例3对点题)一体育代表队共有21名水平相当的运动员,现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加.写出利用随机数抽取的过程. 解 (1)把除甲之外的20名运动员编号,号码为1,2,3,…,19,20; (2)用计算器的随机函数RANDBETWEEN(1,20)产生10个1~20之间的整数值随机数,如果有重复,就重新产生一个; (3)以上号码对应的10名运动员与甲运动员就是要抽取的对象. 1 2 3 4 4.(例4对点题)甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.(结果保留3位小数) 1 2 3 4 解 利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6. 因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数: 034　743　738　636　964　736　614　698　637　162　332　616　804　560　111　410　959　774　246　762　428 114　572　042　533　237　322　707　360　751, 就相当于做了30次试验. 如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中,就表示乙获胜, 它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个. 所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为 ≈0.367. 解 (1)厨余垃圾投放正确的概率为. 即P(A)==0.3. (2)由fn(A)=计算频率fn(A); ③则任取一球,得到白球的概率近似为. ③则任取三球,都是白球的概率近似为. $$