期末提分练案 平面向量基本定理及坐标表示-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 通过分层训练构建从坐标运算到几何应用的逻辑链条，培养数学思维与运算能力，实现基础巩固到素养提升的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级|8题|基本概念与运算|从坐标表示到平行垂直判定，夯实向量线性运算基础| |B级|4题|综合应用与易错辨析|数量积、投影向量与几何性质结合，强化推理意识| |C级|1题|动态问题与最值探究|向量坐标化与三角函数模型构建，提升数学语言表达能力|

专题　平面向量基本定理及坐标表示 A级 必备知识基础练 1.已知平面向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,t),若(a+c)∥b,则t=(　　) A. B.- C.- D.- 2.若向量a,b满足a=(-1,1),|b|=2,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 4.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则=　　　　　.  6.(2025新高考Ⅱ)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　　.  7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.  8.如图,在△ABO中,,AD与BC相交于点M.设=a,=b. (1)试用基底{a,b}表示向量; (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,若=λ=μ,求的值. B级 关键能力提升练 9.向量a=(2,2)在向量b=(,1)上的投影向量是(　　) A.(-3,) B.(3,) C.(3,-) D.(-3,-) 10.(多选题)下列选项中正确的是(　　) A.已知向量a=(1,),b=(cos θ,sin θ),若a∥b,则tan θ= B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6 C.已知非零向量a,b,若|a+b|=|a|+|b|,则a与b同向共线 D.若+3+4=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8 11.如图,在平面四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AC=,∠BAC=45°,则|+2|的最小值为　　　　　.  12.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,),点M满足,点P在线段BC上运动(包括端点),如图所示. (1)求与共线的单位向量a的坐标; (2)求∠OCM的余弦值; (3)是否存在实数λ,使(-λ)⊥?若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. C级 学科素养创新练 13.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 参考答案 1.B　因为a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,t),所以a+c=(-1+t,2+t),又(a+c)∥b,所以3×(2+t)=(-2)×(-1+t),解得t=-.故选B. 2.C　a=(-1,1),则|a|=,由(2a+b)⊥b,有(2a+b)·b=2a·b+b2=0,得a·b=-2,由cos<a,b>==-,则a与b的夹角为.故选C. 3.D　(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=2(1+λμ)=0所以λμ=-1.故选D. 4.B　向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), |a|2-|b|2=a2-b2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1.故选B. 5.3　由题意,||=||=2,, 则=-, =-=-1+4=3. 6.　由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|=. 7.30　∵=(4,-2),=(7,4),=(3,6), ∴=4×3-2×6=0,=(3,6)==(4,-2)=,∴,∴四边形ABCD为矩形, ∵||=,||=,∴四边形ABCD的面积为=30. 故答案为30. 8.解(1)因为C,M,B三点共线,D,M,A三点共线, 所以设=s=t, 则=s+(1-s)=s=t+(1-t)+(1-t), 所以解得所以a+b. (2)由(1)知a+b=, 因为E,M,F三点共线,所以=1,所以=7. 9.B　因为a=(2,2),b=(,1),所以a·b=2×+2×1=4,|b|==2,所以向量a在向量b上的投影向量为,1)=(3,).故选B. 10.ACD　对于选项A,若a∥b,则sin θ=cos θ,可得tan θ=,故A正确;对于选项B,若a,b的夹角为钝角,则解得m<6且m≠-,故B错误;对于选项C,若|a+b|=|a|+|b|,且a,b为非零向量,由向量加法的三角形法则可知a,b同向,即a与b同向共线,故C正确;对于选项D,若+3+4=0,即()+3()=0, 可得2+6=0(D,E分别为AC,BC的中点),即=-3,可知点O在线段DE上,且OD=DE,如图,则S△ABC=2S△ACE=2×S△AOC=S△AOC,即,所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确.故选ACD. 11.　 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设B(b,0),D(0,d), 因为∠BAC=45°,且|AC|=, 故C(1,1),故=(-1,d-1),=(b-1,-1),故+2=(b-3,2d-3),而∠BCD=90°,故=0, 故-1×(b-1)-1×(d-1)=0, 即b+d=2,所以|+2|=, 所以当d=1时,|+2|min=. 12.解(1)因为点C(1,),所以=(1,), 所以a=±(1,)=±(1,), 可得a=或a=. (2)由题意可得=(6,0),=(1,),=(3,0),=(3,0)-(1,)=(2,-),=(-1,-),cos∠OCM=cos<>=. (3)设P(t,),其中1≤t≤5,λ=(λt,λ),-λ=(6-λt,-λ),=(2,-). 若(-λ)⊥,则(-λ)·=0,即12-2λt+3λ=0,可得(2t-3)λ=12.若t=,则λ不存在,若t≠,则λ=, 因为t∈, 故λ∈(-∞,-12]∪. 13.D　在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°, 以C为坐标原点,CA,CB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图, 则A(3,0),B(0,4),C(0,0), 设P(x,y), 因为PC=1, 所以x2+y2=1, 又=(3-x,-y),=(-x,4-y), =-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+1, 设x=cos θ,y=sin θ, =-(3cos θ+4sin θ)+1=-5sin(θ+φ)+1, 其中tan φ=, 当sin(θ+φ)=1时,有最小值为-4, 当sin(θ+φ)=-1时,有最大值为6, 所以∈[-4,6].故选D. 5 学科网（北京）股份有限公司 $