江苏南京市2025-2026学年数学八年级下册期末考试模拟练习卷

**基本信息** 南京市八年级数学下册期末模拟卷，100分钟100分，覆盖平行四边形、二次根式、因式分解等核心知识，通过折叠问题、试根法探究等创新题型，考查抽象能力、几何直观与运算能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|平行四边形性质、确定事件、函数自变量范围|折叠变换（第6题）结合空间观念| |填空题|10/20|二次根式意义、垂直平分线、频率、分式方程|数轴与无理数表示（第14题）体现数感| |解答题|10/68|统计图表、矩形证明、试根法因式分解、网格作图|试根法探究（第22题）培养创新意识，网格作图（第25题）发展几何直观|

2025-2026学年南京市八年级数学下册期末考试模拟练习卷 【参考答案】 考试时间：100分钟试卷满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 题号 1 2 4 5 6 答案 B A A B D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 7.3(答案不唯一) 8. 9.20 10.0.24 11.5、4、2、1 12.号 13.4(2x+y)(x+2y) 14.21015.是-=克 16.2 三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题6分)(1)解：54×周-V18÷V2 =54×言-V18÷2 =V18-g =32-3: (2)解：(5+2)(5-2)+(5-1) -[(5)2-22]+[(5)2-2×5×1+(1)] =(5-4)+(3-25+1) =1+(4-2V5) =1+4-25 =5-25. 18.(本题4分)解：号+1=云， 1/8 X-2+2x-1=-1, 3x-3=-1, 3x=3-1, 3x=2, 解得x=司， 经检验，x=号是原方程的解， ∴原方程的解为x=号 19.（本题4分解：原式=[++÷ 4+3x 2+2x 2+x 1-x2 2+8 =最 点+1=0， 1+2+x=0 解得x=-3, 经检验x=-3是原分式方程的解， 当x=一3时， 原式=周=号=-2。 20.(本题6分)(1)解：14÷35%=40（人）， 答：共抽取了40个参赛学生的成绩， (2)解：a=40-10-14-8=8(人)，补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 频数/人 16------- 14 14 12 10 10 8 8 6 2 0 60708090100 成绩/分 故答案为：8. (3)解：360°×8=90， 答：图中“甲”对应的圆心角度数为90。. 2/8 (4)解：若×100%=556， 答：在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是55%. 21.(本题6分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, CF=BE, ∴.CF+CE=BE+CE, ∴.EF=BC=AD, AD‖EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形， :AE⊥EF, .∠AEF=90°， ∴.四边形AEFD是矩形 (2)解：由(1)知：四边形AEFD是矩形， A D B E ∴AF=DE=20E=2×2=4, ,AB=3,BF=5, .AB2+AF2=BF2, ∴.△ABF是直角三角形，∠BAF=90°， ·AB⊥AF 22.（本题6分)(1)解：将x=-2代入多项式，得x2-2x-8 =(-2)2-2×(-2)-8 =4十4-8 =0, .多项式含有因式(x+2), 设x2-2x-8=(x+2)(X+k), ∴.(x+2)(x+k)=x2+(k+2)x+2k 3/8 .一次项系数：k十2=一2 解得k=-4, 常数项：2k=-8, ∴.x2-2x-8=(x+2)(x-4); (2)解：由题意得，(x-1)(x2+ax+b) =x3+ax2+bx-x2-ax-b =x3+(a-1)x2+(b-a)x-b, .二次项系数：a一1=-1 解得a=0, 常数项：-b=3 解得b=-3. 23.(本题6分)(1)解：设B型自行车的进货单价为x元，则A型自行车的进货单价为x一300)元.根 据题意， 得988=690， 解得x=1500. 经检验，x=1500是原分式方程的解，且符合题意. 则x-300=1500-300=1200(元). 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元. (2)解：由题意得，每辆A型车的利润为1500一1200=300（元），每辆B型车的利润为 2000-1500=500(元). 设售出A型车m辆，则售出B型车(25一m)辆，总利润为W元. 则W=300m+500(25-m)=-200m+12500· 根据题意得m<25-m≤2m· 解不等式m<25-m得m<12.5· 解不等式25-m≤2m得m≥. 因为m为正整数，所以m的取值为9,10,11,12， :W=-200m+12500中，-200<0， ·W随m的增大而减小， 4/8 ·当m=9时，W取得最大值，此时W=-200×9+12500=10700(元)，25-m=16(辆). 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元. 24（*楼8分：应=问-5-1. 2-1 3-2 V2025-V2024 (2)解：原式=5+12-+5+25-万+……+2025+2024W20252024 =V2-1+V5-2+……+V2025-V2024 =V2025-1 =45-1 =44. V5+2 3>解：a=点55习=5+2， .2a2-8a+1=2(a2-4a+4)-7 =2(a-2)2-7 =2×(5+2-2)2-7 =2×5-7 =3. 25.（本题10分)(1)解：如图，平行四边形ABCD即为所求； D 图1 理由：AB=CD=3,AD=BC=V12+22=5, ∴.四边形ABCD是平行四边形； (2)解：如图，平行四边形ABCD即为所求； 5/8 B C 图2 理由：：AB=CD=2,AD=BC=V2+1=2, ∴.四边形ABCD是平行四边形； (3)解：如图，矩形ABCD即为所作： D B 图3 理由：，∠A=45°+45°=90°，∠B=45°十45°=90°，∠C=45°+45°=90°， ∠A=∠B=∠C=90°， ,四边形ABCD是矩形， 26.(本题12分)解：(1)①证明：由旋转的性质可知，PM=MP,∠MPM=, ·∠APM+∠MPB=180°-∠MPM=180°-a, ,∠A=∠B=C, .∠APM+∠PMA=180°-∠A=180°-， ·∠PMA=∠MPB, 在△APM和△BMP中， ∠A=∠B ∠PMA=∠MPB PM=MP ∴.△APM≌△BMP(AAS); ②点P和点M如图所示， 6/8 M 步骤如下： 1.过点M作BC的垂线，交BA的延长线于点E: 2.在线段BE上截取BP=EM; 3.在射线BC上截取BM=EP: 则点P和点M为所作，且x=45°. (2)如图，在BA延长线上取点E,使得∠MEA=30°，在AB延长线上取点F,使得∠MFB=30·, 作MG⊥AB,垂足为G,设正方形边长为a, AP G ,四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=a,∠D=∠DAB=∠ABC=90o, ,MG⊥AB, .∠MGA=90°， ∴.四边形AGMD是矩形， ..AD=GM=a, 在直角△EGM中，∠MEG=30°，∠MGE=90°， ∴.EM=2GM=2a, 同理，MF=2BM=6, 由勾股定理可得，BF=√MP2-BM=V62-3=35, ∠MEG=30°， ·∠EMP+∠MPE=180°-∠MEG=150°， ,∠MPM=30°， ∴.∠MPE+∠FPM=180°-∠MPM=150°， 7/8 ·∠EMP=∠FPM' 由旋转的性质可知，PM=MP, 在△PEM和△MFP中， I∠EMP=∠FPM ∠E=∠F PM-MP .△PEM≌△MFP(AAS), .FP=EM=2a, AP=1, .BP=AB-AP=a-1, 'PF=BF十BP, ∴2a=a-1+3V5, 解得a=3V3-1. ∴.正方形ABCD的边长为3V3-1. 故答案为：3V3-1. 8/8 2025-2026学年南京市八年级数学下册期末考试模拟练习卷 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 3．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 6．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7．请写出一个使二次根式有意义的x的值________． 8．化简__________． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，则的周长是___________． 10．从一副扑克牌中抽出一张牌记下花色再放回洗匀，抽了50次，出现梅花的次数有12次，则出现梅花的频率为___． 11．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 12．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 13．因式分解：________． 14．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为___________． 15．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______． 16．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1)， (2) 18．（本题4分）解方程： 19．（本题4分）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 20．（本题6分）我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加了安全知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 安全知识竞赛成绩统计表 组别 成绩x/分 频数/人 甲组 10 乙组 a 丙组 14 丁组 8 (1)求一共抽取了多少个参赛学生的成绩； (2)表中________，在图中补全频数分布直方图（用阴影呈现）； (3)计算图中“甲”对应的圆心角度数； (4)若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是多少？ 21．（本题6分）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 22．（本题6分）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 23．（本题6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 24．（本题8分）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 25．（本题10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6； (2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）； (3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数． 26．（本题12分）（1）在中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点落在边上的处，设旋转角为． ①如图①，若，求证：． ②如图②，已知点，，求作点，，使.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图③，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点恰好落在边上的处．若，，则正方形的边长为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南京市八年级数学下册期末考试模拟练习卷 【全解全析】 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平行四边形的性质判断即可． 【规范解答】解：∵在中，对角线与相交于点O， ∴，，， 无法判断， ∴结论错误的是B． 2．下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【思路引导】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【规范解答】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 3．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：∵是分式，分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得． 4．在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，结合已知角度比例即可求出的度数． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补， ∴， 又∵平行四边形对角相等， ∴． ∵， 设，， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【思路引导】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【规范解答】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 6．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【规范解答】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7．请写出一个使二次根式有意义的x的值________． 【答案】3（答案不唯一） 【思路引导】要使二次根式有意义，被开方数需大于等于，据此列不等式得到的取值范围，任取该范围内的一个值即可． 【规范解答】解：二次根式有意义， ， 解得：， 取（满足的任意实数均可）． 8．化简__________． 【答案】 【规范解答】解： ． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，则的周长是___________． 【答案】 20 【思路引导】根据垂直平分线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果. 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴的周长为. 10．从一副扑克牌中抽出一张牌记下花色再放回洗匀，抽了50次，出现梅花的次数有12次，则出现梅花的频率为___． 【答案】0.24 【思路引导】本题考查了频数与频率，掌握频数与频率的定义是关键．直接利用频率等于频数除以总数进行计算即可． 【规范解答】解：抽牌总次数为50次，出现梅花12次， 因此频率为． 故答案为：0.24． 11．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【思路引导】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【规范解答】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 12．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 【答案】 【思路引导】连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得：时，线段的长最小，进而解答即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得：时，线段的长最小， 在中，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为． 13．因式分解：________． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，通过观察表达式符合平方差公式形式，利用平方差公式进行因式分解，然后化简表达式即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 14．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为___________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 【规范解答】解：由图可知，根据勾股定理： ， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了列分式方程． 根据比赛时间比训练前少用3分钟，即小时，利用时间关系列出分式方程即可． 【规范解答】解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时； 比赛时速度为千米/时，所需时间为小时． 由于比赛时少用3分钟，即小时， 因此有． 故答案为：． 16．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 【答案】2 【思路引导】连接，，推出是线段的垂直平分线，得到，作于点，作于点，证明四边形是正方形，再证明是等腰直角三角形，求得，作于点，证明，据此求解即可． 【规范解答】解：连接，， ∵，且点M是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 作于点，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 作于点， ∵正方形，∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题4分）解方程： 【答案】 【规范解答】解：， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 19．（本题4分）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】， 【思路引导】先利用分式的混合运算法则化简，然后解分式方程求出，再代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 当时， 原式． 20．（本题6分）我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加了安全知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 安全知识竞赛成绩统计表 组别 成绩x/分 频数/人 甲组 10 乙组 a 丙组 14 丁组 8 (1)求一共抽取了多少个参赛学生的成绩； (2)表中________，在图中补全频数分布直方图（用阴影呈现）； (3)计算图中“甲”对应的圆心角度数； (4)若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是多少？ 【答案】(1)40 (2)8；图见解析 (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了统计表与统计图，解题的关键是掌握频数分布直方图和扇形统计图的特点． （1）用丙组的频数除以丙组所占比例得到总个数即可； （2）用总个数减去甲、丙、丁组的频数得到乙组的频数，补全频数分布直方图即可； （3）用乘以甲组所占比例即可得到扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数； （4）用丙组和丁组的人数和除以总人数即可得到学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比． 【规范解答】（1）解：（人）， 答： 共抽取了40个参赛学生的成绩． （2）解：（人），补全频数分布直方图如下： 故答案为：8． （3）解：， 答：图中“甲”对应的圆心角度数为． （4）解：， 答：在所抽取学生中，成绩为“优”的学生人数所占百分比是． 21．（本题6分）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 22．（本题6分）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【思路引导】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 23．（本题6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 (2)售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【思路引导】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【规范解答】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 24．（本题8分）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3)3 【思路引导】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 25．（本题10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6； (2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）； (3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）作底边是3，高是2的平行四边形即可； （2）作边长分别为和2的平行四边形即可； （3）作边长分别为和的矩形即可． 【规范解答】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 理由：∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，平行四边形即为所求； 理由：∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，矩形即为所作： 理由：∵，，, ∴， ∴四边形是矩形． 26．（本题12分）（1）在中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点落在边上的处，设旋转角为． ①如图①，若，求证：． ②如图②，已知点，，求作点，，使.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图③，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点恰好落在边上的处．若，，则正方形的边长为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【思路引导】（1）①由，结合等量代换可得，，使用角角边的判定定理可证明； ②仿照①中的图形进行尺规作图即可； （2）在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，作，垂足为，设正方形边长为，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，，，．容易证明，则．利用的长构造方程，求出的值． 【规范解答】解：（1）①证明：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②点和点如图所示， 步骤如下： 1．过点作的垂线，交的延长线于点； 2．在线段上截取； 3．在射线上截取； 则点和点为所作，且. （2）如图，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，作，垂足为，设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 同理，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴正方形的边长为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，尺规作图，正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理，理解题意并运用模型来构造全等三角形是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $