2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习必考点4：特殊的平行四边形（分层练习）

**基本信息** 以特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质为核心，通过分层练习构建从基础到综合的知识网络，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判定|选择1-2、填空9|以定义、对角线关系为考点|从平行四边形出发，逐步添加特殊条件（垂直、相等）生成菱形、矩形，最终整合为正方形| |性质应用|选择3-5、填空10-13|结合边长、角度、面积计算|运用特殊平行四边形的边、角、对角线性质，关联勾股定理、全等三角形进行推理计算| |动态探究|选择6-8、解答21-24|折叠、旋转、动点问题|通过图形变换（折叠）、运动变化（动点）考查空间观念，体现从静态性质到动态应用的拓展|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点4：特殊的平行四边形 (分层练习) （满分100分，时间90分钟) 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列条件中，能判定。ABCD是菱形的是() A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD 2.下列判断错误的是() A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.邻边相等的平行四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 3.已知菱形ABCD的周长为56，∠B=60°，则AC=() A.14 B.14√2 C.14V3 D.12 4.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，∠A0C=45°，0C=V2,则点B的坐标为() A.（2, B.（1,2) c.(2+1,1 D.(1,2+1 5.如图，正方形ABCD中，AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=( 4 A.45° B.30° C.60° D.55 6.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,若 折痕为P9,则Pp的长为() 第1页共24页 A.13 B.14 C.15 D.16 7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落 在对角线AC上的点F处，若∠EAC∠ECA,则AC的长是() A.3V5 B.6 C.4 D.5 8.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6,点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF, 则EF的最小值是() F D A.2 B.3 C.25 D.35 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC BD时，四边形EFGH 是矩形. 10.如图，矩形ABCD中，若∠AOB=60°，AC=2,则BC= D 0 B 11.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置，旋转角为o<90°，若∠1=114°， 则a=°. 第2页共24页 A B D 12.如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EB平分∠AEC,若AB=3,AE=1,则BEC的面 积为 13.如图，四边形ABCD是菱形，AC=24,BD=10,DH LAB于点H,则线段DH的长为 B 14.如图，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2,A1,0),∠DAB=60°.若将菱形 ABCD绕点A逆时针旋转90°后得到菱形AB,C,D,则C的坐标是、 D 15.如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE,点A与点P关于DE对 称，连接EP、DP、BP,若AB=3,BC=4,则BP的最小值为 D 第3页共24页 16.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知矩形ABCO,B(4,3),点D为x轴上的一个动点， 以AD为边在AD右侧作等边ADE,连接OE,则OE的最小值为. B C衣 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.己知：如图矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证： 四边形AFCE为菱形. 18.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,试求∠BFC 的度数. D 19.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC,DE相交 于点0. E B A (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若∠AOE=90°，AE=2,求矩形ADCE对角线的长. 第4页共24页 20.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=AD,对角线AC、'BD交于O,AC平分 ∠BAD· D B E (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE,若AB=3V5,BD=6,求OE的长. 21.如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连结AG,过G作GE⊥CD, GF⊥BC,E、F分别为垂足，连接EF D G B (1)求证：AG=EF; (2)当AB=6,AG=V26时，BG=—· 22.如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, 第5页共24页 A D A D E G B F C C 备用图 (1)求证：ED=EF; (2)若AB=2,CE=√2，求CG的长度； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数. 23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm ,点P从点A出发，以lcms的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为 ts P D B (1)CD边的长度为cm,t的取值范围为 (2)从运动开始，当t取何值时，四边形ABQP为矩形？ (3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD? 第6页共24页 24.如图，取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下： A P D D 图 图 备用图 (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P,沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM, BM,根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM= °； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ,当点M在EF上时，求∠MBQ的度数； (3)【拓展延伸】 在(2)的探究中，正方形纸片的边长为4cm,改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重 合)，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,并延长PM交CD于 点Q,连接BQ,当QF=1cm时，请求出AP的长. 第7页共24页 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列条件中，能判定。ABCD是菱形的是() A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD 【答案】D 2.下列判断错误的是() A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.邻边相等的平行四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 3.已知菱形ABCD的周长为56，∠B=60°，则AC=() A.14 B.14V2 C.143 D.12 【答案】A 4.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，∠A0C=45°，0C=√2，则点B的坐标为() A.（2, B.（1,V2) C.(2+1, D.(1,V2+1 【答案】C 5.如图，正方形ABCD中，AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=( 第8页共24页 A.45° B.30 C.60 D.55° 【答案】A 6.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,若 折痕为Po,则P2的长为() D B A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】A 7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落 在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA,则AC的长是() A.3V5 B.6 C.4 D.5 【答案】B 8.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6,点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF, 则EF的最小值是() A D A.2 B.3 C.2W5 D.35 【答案】D 第9页共24页 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC BD时，四边形EFGH 是矩形. 【答案】⊥ 10.如图，矩形ABCD中，若∠AOB=60°，AC=2,则BC= D 【答案】√ 11.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD'的位置，旋转角为<90°，若∠1=114°， 则=°. A D B 【答案】24 12.如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EB平分∠AEC,若AB=3,AE=1,则BEC的面 积为 E D 【答1月 13.如图，四边形ABCD是菱形，AC=24,BD=10,DH⊥AB于点H,则线段DH的长为· D B 第10页共24页 【答案】 120 13 14.如图，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2,A1,O),∠DAB=60°.若将菱形 ABCD绕点A逆时针旋转90°后得到菱形AB,CD,则C的坐标是一， D 【答案】1-V5,3) 15.如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE,点A与点P关于DE对 称，连接EP、DP、BP,若AB=3,BC=4,则BP的最小值为 D E B 【答案】1 16.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知矩形ABCO,B(4,3),点D为x轴上的一个动点， 以AD为边在AD右侧作等边ADE,连接OE,则OE的最小值为· D 【答案】 3 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.己知：如图矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证： 四边形AFCE为菱形. 第11页共24页 【答案】：四边形ABCD为矩形， .AE∥FC, ∴.∠EAO=∠FCO, :EF垂直平分AC, ∴.AO=CO,EF⊥AC, 在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠COF AO=CO ∠AOE=∠COF=90° ∴.△AOE≌△COF, ∴.AE=FC, ∴.四边形AFCE为平行四边形， ,EF⊥AC, .四边形AFCE为菱形. 18.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,试求∠BFC 的度数. B D 【答案】，四边形ABCD是正方形， :AB=AD, 又：△ADE是等边三角形， 第12页共24页 AE=AD=DE,∠DAE=60°， :AB=AE, .∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°， .∠ABE=180°-150°)÷2=15°， 又.∠BAC=45°， .∠BFC=45°+15°=60°. 19.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC,DE相交 于点0. D B (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若∠AOE=90°，AE=2,求矩形ADCE对角线的长. 【答案】(1)证明：，四边形ABDE是平行四边形， ∴.BD=AE,BD∥AE, .D为BC的中点， ∴.CD=BD, .'.CD=AE. ∴.四边形ADCE是平行四边形. 又，AB=AC,D为边BC的中点， .AD⊥BC, ∴.∠ADC=90°， ∴.四边形ADCE是矩形. 第13页共24页 小问2详解】 ,四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°， ∴.矩形ADCE是正方形， ∴.CE=AE=2,∠AEC=90°， ∴.AC=V2AE=2V2, 即矩形ADCE对角线的长为2V2. 20.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=AD,对角线AC、BD交于O,AC平分 ∠BAD. B (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE,若AB=3√5，BD=6,求OE的长 【答案】(1)证明：，AB∥CD, :Z CAB Z D CA .AC为∠DAB的平分线， .∠CAB=∠DAC, .∠DCA=∠DAC, .CD=AD, ∴.CD=AB, .AB∥CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又：AD=AB, 第14页共24页 :ABCD是菱形； 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形，BD=6, .OA=OC,BD⊥AC,OB=二BD=3, 2 .CE⊥AB, .∠AEC=90°， 0E=号AC=0A=0C 在RtAAOB中，AB=3V5,OB=3, .0A=VAB2-0B=35-32=6, 0E=0A=6. 21.如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连结AG,过G作GE⊥CD, GF⊥BC,E、F分别为垂足，连接EF D G B (1)求证：AG=EF; (2)当AB=6,AG=√26时，BG= 【答案】(1)解：连接CG,EF,如图所示： D E B .'GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°， ∴.四边形EGFC是矩形， ∴.CG=EF, 第15页共24页 在△ABG和△CBG中， AB=CB ∠ABG=∠CBG, BG=BG .△ABG≌CBG(SAS, ∴.AG=CG, .AG =EF 【小问2详解】 解：在Rt△CEG中，GE2+CE2=CG, ∴.GE2+GF2=AG2; 设GE=x=CF,则GF=6-x=BF, 由勾股定理得：x2+(6-x)2=（V26, .x=1或x=5, 当x=1时， ∴BF=GF=5, .BG=√BF2+GF2=√25+25=5√2， 当x=5时， ∴.BF=GF=1, .BG=BF2+GF2=1+1=2, 故答案为：52或√互 22.如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, 第16页共24页 A D E G B C 备用图 (1)求证：ED=EF; (2)若AB=2,CE=√2，求CG的长度； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数. 【答案】(1)证明：，正方形ABCD, ∴.∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°， 作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q, E B 图1 ∴.四边形EQCP为矩形，△EQC为等腰直角三角形，∠EQC=∠DPE=90°， ∴.∠PEQ=90°，EQ=CQ, ∴.四边形EQCP为正方形， ∴QE=EP, .矩形DEFG, ∴.∠DEF=90°， ∴.∠QEF=∠PED=90°-∠PEF, ∴.RtAEOF≌RtAEPD(ASA, ∴.EF=ED; 【小问2详解】 解：如图2中，在Rt△ABC中，AC=√2AB=2√， 第17页共24页 :EC=2, .'AE=CE, .E为AC的中点， ∴CE=DE, 点F与C重合，矩形CEDG为正方形， ..CG=EC=2. D E G【小问3详解】 C(F) 图2 解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE=30°， D E G B 则∠CDE=90°-30°=60°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°-90°-90°-60°=120°， ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30°，如图3所示： G 图3 .'∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD, ∴.∠EFC=∠CDE=30°， 综上所述，∠EFC=120°或30°. 第18页共24页 23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm ,点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动；点？从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为 ts. P D A 8h ←0C (1)CD边的长度为 cm,t的取值范围为 (2)从运动开始，当t取何值时，四边形ABQP为矩形？ (3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD? 【答案】(1)如图1，过点D作DE⊥BC于E,则∠DEB=∠DEC=90°， D Bh ←0 图1 .AD∥BC, .∠A+∠B=180°， .∠B=90°， ∴.∠A=∠B=∠DEB=90°， ∴.四边形ABED是矩形， .DE=AB=8,BE AD=12, .BC=18, .CE=18-12=6, 由勾股定理得：CD=V62+82=10(cm); ,点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动，AD=12cm, ∴.点P运动到D的时间为：12s, 第19页共24页 18=9s, 同理得：点Q运动到点B的时间为： .0≤t≤9； 故答案为：10,0≤t≤9； 【小问2详解】 解：如图所示，当ABQP是矩形时，AP=BQ, AP=t,BO=BC-CO=18-2t P→P ∴.t=18-2t 解得：1=6； 【小问3详解】 如图2，过点P作PF⊥BC于F,过点D作DE⊥BC于E, PD Bh O F E← 图2 当PQ=CD时， .'PF=DE, ∴.Rt△PQF≌Rt△DCE, ∴.FQ=CE=6, ,∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°， 四边形DPFE矩形， ∴.PD=EF=12-t, ∴.CQ=QF+EF+CE,即6+6+12-t=2t, .t=8, 如图3，，AD∥BC, 第20页共24页 A B 图3 ∴.PD∥CQ, 当PD=CQ时，四边形DPQC是平行四边形， .PQ∥CD, ∴.12-1=2t, .t=4, 即当t=4时，PQ∥CD,此时PD=CQ: 综上所述，当t=8或t=4时，PQ=CD; 24.如图，取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下： A D D A P D 图 图 备用图 (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P,沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM, BM,根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM= °； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ,当点M在EF上时，求∠MBQ的度数； (3)【拓展延伸】 在(2)的探究中，正方形纸片的边长为4cm,改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重 合)，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,并延长PM交CD于 第21页共24页 点Q,连接BQ,当QF=1cm时，请求出AP的长 【答案】(1)解：如图，连接AM, A P D 、、M F, B C .对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF, ∴.EF垂直平分AB, .AM BM AE BE, .沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处， .AB=BM,LABP=∠PBM, .AM BM =AB, .△ABM是等边三角形， ∴.∠ABM=60°， ∴.∠PBM=∠ABP=30°， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：如图， 同(1)可证∠ABM=60°， .∴.∠CBM=∠ABC-∠ABM=90°-60°=30°， 在正方形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°， 由折叠知AB=BM,∠PMB=∠A=90°， ∴.BC=BM,∠BMQ=∠C=90°， 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， BC=BM BO=BO' ∴.Rt△BMQ≌Rt△BCOHL, 第22页共24页 ∴.∠MBQ=∠CBQ, ∠MB0=∠CBM=x30°=15°： 2 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图， D B .正方形ABCD中，AD=CD=4, .DQ=QF+DF=1+-CD=1+2=3, .CQ=CD-DQ=4-3=1, 由(2)知Rt△BMQ≌RtABCO(HL), .∴.MQ=CQ=1, 设AP=x,由折叠知MP=AP=x, ..PO=MP+MO=x+1,PD=AD-AP=4-x, 在Rt△PDQ中，PD+DQ=PQ, (4-x)2+32=(x+1)2, 即P2。 解得x=12 当点Q在点F的上方时，如图， AP D 则D0=DF-QF=CD-1=2-1=1, ∴.CQ=CD-DQ=4-1=3, ∴.MQ=CQ=3, 设AP=MP=x, 第23页共24页 PD=AD-AP=4-x,PO=MP+MO=x+3, 在Rt△PDQ中，PD+DQ=PQ, (4-x)2+12=(x+32, 解得x=子，即AP=m; 7 12 4 综上可知，4P的长为与cm或cm. 第24页共24页