精品解析：上海市控江中学2026届高三下学期考前自测数学试题

2026届上海市控江中学高三三模 一、填空题 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 2. 已知复数（为虚数单位），则______. 3. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 4. 若正数满足，则的最小值为______. 5. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 6. 已知，若，则______． 7. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 8. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 9. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 10. 设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________. 11. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 12. 对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 二、选择题 13. 已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 15. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为 A. B. C. D. 16. 设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解析题 17. 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 19. 已知连续函数和，设，集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求M； （2）若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 20. 已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. （1）设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； （2）设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； （3）过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 21. 设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. （1）为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； （2）设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； （3）已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届上海市控江中学高三三模 一、填空题 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 2. 已知复数（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法求得后，再根据复数的乘法计算． 【详解】由已知， 所以． 故答案为：2． 3. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 4. 若正数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 5. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6. 已知，若，则______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 7. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围. 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由. 故答案为： 8. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 【答案】； 【解析】 【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可. 【详解】因为， 所以，即， 解得或， 所以 的取值范围是， 故答案为：. 9. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 10. 设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________. 【答案】19 【解析】 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 11. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 【答案】 【解析】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 12. 对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 二、选择题 13. 已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 15. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解. 【详解】当时，有，所以. 在区间上总存在唯一确定的，使得， 所以存在唯一确定的，使得. ，所以. 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题. 16. 设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】命题①可构造不含原点的点集作为反例．命题②中，利用中点落在单位圆盘内得到两个坐标均有界，再令图象上的点横坐标趋于正无穷，可推出． 【详解】对于命题①，构造点集 显然． 下证仍是关于点集的“拟像函数”． 任取图象上一点． 当时，取，因为所以点在的图象上． 此时的中点为，且，所以． 当时，，取，则在的图象上，且的中点为． 因此是关于点集的“拟像函数”，但，所以命题①是假命题． 对于命题②，设是关于点集的“拟像函数”． 当时，点在的图象上． 由定义，存在图象上一点，使得的中点在中． 于是 所以 由可得，因此当趋于正无穷时，趋于． 将不等式 两边同时除以，得 令趋于正无穷，得，所以．故命题②是真命题． 三、解析题 17. 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 【答案】（1） （2）分布见解析，期望 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【小问1详解】 第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为， 第一次取出红球，第二次取出红球的概率为， 第一次取出白球，第二次取出红球的概率为， 所有第二次取出的球是红球的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布为， 它的期望为， 它的方差为. 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理及已知条件证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 19. 已知连续函数和，设，集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求M； （2）若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合集合定义，求解即可. （2）根据极值与导数关系，求解的范围，并通过判断即可. 【小问1详解】 设指数函数(且)，因为其图像过点，代入得，，则， 因此，因此， 而集合，其中， 令，则， 由于，故，即， 因为指数函数在上单调递增，所以， 因此，集合. 【小问2详解】 函数的定义域为， 对原函数求导得，， 因为在上存在极值点，所以在上有解， 即，故， 设，，则， 当时，且，故，即在上单调递增， 因为，，因此在上的值域为， 所以，实数的取值范围是， 由于在上单调递增，对于任意， 存在唯一的使得，即， 当时，，即，故，单调递减， 当时，，即，故，单调递增， 因此，是在上的极小值点， ， 将代入上式，， 故， 设，求导得，， 令，得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 因此，在处取得最大值，， 当时，，故， 当时，， 综上，对任意，， 因此，， 即成立，故. 20. 已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. （1）设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； （2）设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； （3）过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线焦点坐标并设点，利用数量积的坐标表示，结合双曲线范围求出范围. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用数量积的坐标表示及韦达定理计算得证. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标差，再由面积相等列式求解. 【小问1详解】 双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 21. 设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. （1）为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； （2）设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； （3）已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【答案】（1）； （2）； （3）因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 【解析】 【分析】（1）根据定义列出等式求解即可； （2）根据定义列出等式，再用三角函数的相关公式化简，得到=，所以的系数必须为0，常数项等于： （3），根据零点存在定理判断. 【小问1详解】 因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 【小问2详解】 由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $